第8节 利用空间向量求空间角
[学习目标]
能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量法在研究空间角问题中的作用.
1.两条异面直线所成角的求法
设a,b分别是两条异面直线l1,l2的方向向量.
l1与l2所成的角θ a与b的夹角β
范围 (0,]
求法 cos θ= cos β=
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与n的夹角为β,则sin θ= =.
3.二面角的求法
(1)如图(1),AB,CD分别是二面角αlβ的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<,>.
(2)如图(2)和图(3),n1,n2分别是二面角αlβ的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|= =,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
(3)平面α与平面β相交,形成四个二面角,这四个二面角中 的二面角称为平面α与平面β的夹角.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)两条直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角.( )
(4)两异面直线夹角的范围是(0,],直线与平面所成角的范围是[0,],二面角的范围是[0,π].( )
(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( )
2.(人教A版选择性必修第一册P38练习T1改编)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
3.(人教A版选择性必修第一册P43习题1.4 T10改编)若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则直线l与平面α所成角的正弦值为 .
4.(北师大版选择性必修第一册P140习题34 A组 T7改编)已知两平面的法向量分别为
(0,-1,3),(2,2,4),则这两个平面所成角的余弦值为 .
5.(人教A版选择性必修第一册P41练习T1改编)如图,二面角αlβ的棱上有A,B两点,线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内,且都垂直于棱l.已知AB=1,AC=2,BD=3,CD=2,则平面α与平面β的夹角为 .
考点一 用空间向量求异面直线所成的角
[例1] 如图,矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面,AB=AD=2,点E在上底面圆周上,且=2,F为线段BC的中点,则异面直线AE与DF所成角的余弦值为 .
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.
(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
[针对训练]
如图,在棱长为1的正方体ABCDA′B′C′D′中,点M,N分别是棱A′B′,BB′的中点,则异面直线AM与CN所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
考点二 用空间向量求直线与平面所成的角
[例2] 如图,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,=,PA=2AB=4,BC=2,AC=2.
(1)证明:BC⊥平面PAB;
(2)求直线CP与平面ABD所成角的正弦值.
利用空间向量求直线与平面所成的角的解题步骤
[针对训练]
正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点有3个,记这3个点分别为E,F,G,则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
考点三 用空间向量求二面角
[例3] (2024·北京卷)已知四棱锥PABCD,BC∥AD,AB=BC=1,AD=3,点E在AD上,且PE⊥AD,PE=DE=2.
(1)若F为线段PE的中点,求证:BF∥平面PCD;
(2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第一册P39例10.
利用空间向量计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2)找与两平面交线垂直的向量:分别在二面角的两个半平面内找到与两平面交线垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
[针对训练] (2025·广东茂名模拟)在如图所示的圆柱中,AB是圆O的直径,AA1,CC1为圆柱的母线,四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形,且AD=CD=BC=AB=AA1,E,F分别为A1D,
CC1的中点.
(1)证明:EF∥平面ABCD;
(2)求平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值.第8节 利用空间向量求空间角
[学习目标]
能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量法在研究空间角问题中的作用.
1.两条异面直线所成角的求法
设a,b分别是两条异面直线l1,l2的方向向量.
l1与l2所成的角θ a与b的夹角β
范围 (0,] (0,π)
求法 cos θ= cos β=
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与n的夹角为β,则sin θ=|cos β|=.
3.二面角的求法
(1)如图(1),AB,CD分别是二面角αlβ的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<,>.
(2)如图(2)和图(3),n1,n2分别是二面角αlβ的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|=|cos|=,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
(3)平面α与平面β相交,形成四个二面角,这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)两条直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角.( )
(4)两异面直线夹角的范围是(0,],直线与平面所成角的范围是[0,],二面角的范围是[0,π].( )
(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
2.(人教A版选择性必修第一册P38练习T1改编)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,四边形ABCD为正方形,以D为坐标原点,
DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,2),D1(0,0,2),
所以=(0,1,-2),=(-1,0,2),
所以cos<,>===-,所以异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.故选D.
3.(人教A版选择性必修第一册P43习题1.4 T10改编)若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则直线l与平面α所成角的正弦值为 .
【答案】
【解析】 因为n=(4,1,1),a=(-2,-3,3),所以直线l与平面α所成角的正弦值为|cos|=
==.
4.(北师大版选择性必修第一册P140习题34 A组 T7改编)已知两平面的法向量分别为
(0,-1,3),(2,2,4),则这两个平面所成角的余弦值为 .
【答案】
【解析】 设这两个平面所成的角为θ,则cos θ==.
5.(人教A版选择性必修第一册P41练习T1改编)如图,二面角αlβ的棱上有A,B两点,线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内,且都垂直于棱l.已知AB=1,AC=2,BD=3,CD=2,则平面α与平面β的夹角为 .
【答案】
【解析】 设平面α与平面β的夹角为θ,由=++可得,
=(++)2=+++2·+2·+2·=4+1+9+2||·||cos<,>=14+12cos(π-θ)=(2)2.又θ∈[0,],所以cos θ=,即平面α与平面β的夹角为.
考点一 用空间向量求异面直线所成的角
[例1] 如图,矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面,AB=AD=2,点E在上底面圆周上,且=2,F为线段BC的中点,则异面直线AE与DF所成角的余弦值为 .
【答案】
【解析】 如图,连接O1O2,过点E作EE1∥O1O2,交下底面圆周于点E1,连接O2E1,
则=2,∠E1O2A=.以O2为坐标原点,在下底面中,过点O2作AB的垂线为x轴,分别以O2B,O2O1所在的直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系.则由已知可得A(0,-1,0),D(0,-1,2),
F(0,1,1),E1(,-,0),E(,-,2).所以=(,,2),=(0,2,-1).所以 cos<,>===
-,所以异面直线AE与DF所成角的余弦值为.
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.
(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
[针对训练]
如图,在棱长为1的正方体ABCDA′B′C′D′中,点M,N分别是棱A′B′,BB′的中点,则异面直线AM与CN所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,因为正方体的棱长为1,所以A(0,0,0),M(,0,1),C(1,1,0),N(1,0,),所以 =(,0,1),=
(0,-1,),则||=,||=,所以异面直线AM与CN所成角的余弦值为|cos<,>|=
==,所以正弦值为=.故选C.
考点二 用空间向量求直线与平面所成的角
[例2] 如图,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,=,PA=2AB=4,BC=2,AC=2.
(1)证明:BC⊥平面PAB;
(2)求直线CP与平面ABD所成角的正弦值.
(1)【证明】 因为PA⊥平面ABC,且BC 平面ABC,所以PA⊥BC.
因为AB=2,BC=2,AC=2,所以AB2+BC2=AC2,则AB⊥BC.
又PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB.
(2)【解】 以B为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),P(0,2,4),D(,1,2),
所以=(0,2,0),=(,1,2),=(-2,2,4).
设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),由得令z=-1,则x=,y=0,得平面ABD的一个法向量为n=(,0,-1).
设直线CP与平面ABD所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===,
即直线CP与平面ABD所成角的正弦值为.
利用空间向量求直线与平面所成的角的解题步骤
[针对训练]
正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点有3个,记这3个点分别为E,F,G,则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为D1,BC的中点,B1C1的四等分点(靠近B1),不妨设D1与G重合,BC的中点为E,B1C1的四等分点(靠近B1)为F.以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图.
设AB=2,则E(1,2,0),F(,2,2),G(0,0,2),A(2,0,0),C1(0,2,2),
从而=(,0,2),=(,2,0),=(-2,2,2).
设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),
则即
令x=4,则y=-3,z=-1,得平面EFG的一个法向量为n=(4,-3,-1).
设直线AC1与平面EFG所成角为θ,
则sin θ=|cos|==.故选D.
考点三 用空间向量求二面角
[例3] (2024·北京卷)已知四棱锥PABCD,BC∥AD,AB=BC=1,AD=3,点E在AD上,且PE⊥AD,PE=DE=2.
(1)若F为线段PE的中点,求证:BF∥平面PCD;
(2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第一册P39例10.
(1)【证明】 如图,取PD的中点为S,连接SF,SC,
则SF∥DE,SF=DE=1,
而DE∥BC,DE=2BC,故SFBC,故四边形SFBC为平行四边形,
故BF∥SC,而BF 平面PCD,SC 平面PCD,所以BF∥平面PCD.
(2)【解】 因为DE=2,故AE=1,故AEBC,故四边形AECB为平行四边形,故CE∥AB,因为AB⊥平面PAD,所以CE⊥平面PAD,而PE,DE 平面PAD,故CE⊥PE,CE⊥DE,又PE⊥DE,故建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),则 =(0,-1,-2),=(1,-1,-2),=(1,0,-2),=(0,2,-2).
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),
则由可得取m=(0,-2,1)为平面PAB的一个法向量.
设平面PCD的法向量为n=(a,b,c),
则由可得取n=(2,1,1)为平面PCD的一个法向量,
故|cos|===,
故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为.
利用空间向量计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2)找与两平面交线垂直的向量:分别在二面角的两个半平面内找到与两平面交线垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
[针对训练] (2025·广东茂名模拟)在如图所示的圆柱中,AB是圆O的直径,AA1,CC1为圆柱的母线,四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形,且AD=CD=BC=AB=AA1,E,F分别为A1D,
CC1的中点.
(1)证明:EF∥平面ABCD;
(2)求平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值.
(1)【证明】 如图,取AA1的中点G,连接EG,FG,AC,则EG∥AD.
因为EG 平面ABCD,AD 平面ABCD,所以EG∥平面ABCD,
因为AG∥CF,AG=CF,
所以四边形AGFC是平行四边形,所以FG∥AC,
又FG 平面ABCD,AC 平面ABCD,
所以FG∥平面ABCD,
因为FG∩EG=G,FG,EG 平面EFG,
所以平面EFG∥平面ABCD,
因为EF 平面EFG,所以EF∥平面ABCD.
(2)【解】 设AD=CD=BC=AA1=AB=2,
由AD=CD=BC,得∠DAB=∠ABC=60°,
易知AC⊥BC,所以AC==2,
由题意知CA,CB,CC1两两垂直,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、
z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),A1(2,0,4),B(0,2,0),C1(0,0,4),D(,-1,0),E(,-,2),
所以=(-,,2),=(0,-2,4).
设平面C1EB的法向量为n=(x,y,z),
由得
取z=1,得x=,y=2,故平面C1EB的一个法向量为n=(,2,1),
连接BD,因为BD⊥AD,BD⊥AA1,AD∩AA1=A,AD,AA1 平面AA1D,所以BD⊥平面AA1D,
所以平面AA1D的一个法向量为=(-,3,0).
所以|cos<,n>|===,
所以平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值为.
