第1节 导数的概念及其意义、导数的运算
[学习目标]
1.了解导数概念的实际背景,能通过函数图象直观理解导数的几何意义.2.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数,并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
定义:如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在 x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作 或 ,即f′(x0)==.
定义的变化形式:f′(x0)=.
2.函数y=f(x)的导函数
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f′(x0)是一个 的数.这样,当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′,即f′(x)=y′=.
3.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的 的斜率k0,即k0=
(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为f′(x0)的切线,具有唯一性.
(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P不一定是切点,切线可能有多条.
4.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f′(x)=
f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f′(x)=
f(x)=sin x f′(x)=
f(x)=cos x f′(x)=
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f′(x)=
f(x)=ex f′(x)=
f(x)=loga x(a>0,且a≠1) f′(x)=
f(x)=ln x f′(x)=
函数的解析式中含有根式的,在求导时要先将根式化为分数指数幂后求导数.
5.导数的运算法则
若f′(x),g′(x)存在,则有下列结论.
(1)[f(x)±g(x)]′= ;
(2)[f(x)g(x)]′= ;
(3)[]′=(g(x)≠0).
6.复合函数的导数
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x= .即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
2.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.
3.熟记以下结论:
(1)()′=-.
(2)()′=.
(3)[]′=-(f(x)≠0).
(4)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( )
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )
(3)f′(x0)=[f′(x0)]′.( )
(4)若f(x)=-sin x,则f′(x)=cos(-x).( )
(5)若f(x)=log2(2x+1),则f′(x)=.( )
2.(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2 T6改编)已知函数f(x)=2xf′(1)+xln x,则f′(1)等于( )
A.e B.1 C.-1 D.-e
3.(人教A版选择性必修第二册P64练习T2改编)函数f(x)=ex+x2-2x的图象在点(0,f(0))处的切线方程为( )
A.x+y-1=0 B.x+y+1=0
C.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0
4.(人教A版选择性必修第二册P82习题5.2 T11)设曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直,则a= .
考点一 导数的概念与运算
[例1] (1)下列结论正确的是( )
A.若y=cos ,则y′=-sin
B.若y=sin x2,则y′=2xcos x2
C.若y=cos 5x,则y′=-sin 5x
D.若y=xsin 2x,则y′=xsin 2x
(2)(2025·河南郑州模拟)若函数f(x)满足f(x+1)=(ex-e-x)sin x,则f′(1)=( )
A.0 B.1 C.2 D.-1
(1)导数运算的原则:先化简解析式,使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导.
(2)导数运算的方法.
①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;
②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;
③对数形式:先化为和、差的形式,再求导;
④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;
⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导;
⑥复合函数:明确复合关系,由外向内,层层求导.
[针对训练]
(1)下列导数运算正确的是( )
A.(cos 3)′=-sin 3 B.(e3x)′=e3x
C.()′= D.(log2x)′=
(2)(2025·四川内江模拟)已知函数f(x)=-x2+ln x,则的值为( )
A.e B.-2
C.- D.0
考点二 导数的几何意义及应用
角度一 求切线方程
[例2] (1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ,
.
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5 T4.
在求曲线的切线方程时,注意两个“说法”:求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0,y0)的切线方程.在点P处的切线,一定是以点P为切点;过点P的切线,不论点P在不在曲线上,点P不一定是切点.
(1)在点P处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).
(2)求过点P的切线方程的步骤.
第一步:设出切点坐标P′(x1,f(x1));
第二步:写出在点P′(x1,f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1);
第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程,求出x1;
第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.
角度二 求参数的值或范围
[例3](1)若函数f(x)=x2+bln x的图象在点M(1,f(1))处的切线恰为直线x+2y-3=0,则a+2b=( )
A.3 B.-1 C.1 D.-3
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
处理与切线有关的参数问题,关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程:
(1)切点处的导数是切线的斜率.
(2)切点在切线上.
(3)切点在曲线上.
角度三 公切线问题
[例4] (2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a= .
确定两曲线的公切线问题,切点是切线的核心,解决这类问题的关键是设出切点的坐标,用好相切的特征,即若两个函数的图象有相同的切线,则需根据函数与切线在切点处的函数值相等以及两函数在切点处的导函数的函数值也相等,构建方程(组)加以求解.
[针对训练]
1.(角度一)(2025·陕西安康模拟)已知f(x)=(x+a)cos x为奇函数,则曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为( )
A.x+πy-π=0 B.x-πy+π=0
C.x-y+π=0 D.x+y=0
2.(角度二)已知直线y=kx+1与曲线y=ln x相切,则k等于( )
A. B. C.e D.e2
3.(角度三)若直线l是曲线y=ln x-1与y=ln(x-1)的公切线,则直线l的方程为( )
A.y=x-2 B.y=x
C.y=x+1 D.y=ex
考点三 导数与原函数的图象
[例5] 函数y=f(x)的图象如图所示,下列不等关系正确的是( )
A.0B.0C.0D.0f′(x0)表示曲线y=f(x)在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率k0,表示经过曲线y=f(x)上两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的割线的斜率,根据这两种直线的斜率的几何意义常常能判断函数图象的特征.
[针对训练]
已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( )
A B
C D第1节 导数的概念及其意义、导数的运算
[学习目标]
1.了解导数概念的实际背景,能通过函数图象直观理解导数的几何意义.2.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数,并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
定义:如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在 x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f′(x0)或y′,即f′(x0)==.
定义的变化形式:f′(x0)=.
2.函数y=f(x)的导函数
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f′(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′,即f′(x)=y′=.
3.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k0,即k0==f′(x0).
(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为f′(x0)的切线,具有唯一性.
(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P不一定是切点,切线可能有多条.
4.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f′(x)=0
f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f′(x)=αxα-1
f(x)=sin x f′(x)=cos x
f(x)=cos x f′(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f′(x)=axln a
f(x)=ex f′(x)=ex
f(x)=loga x(a>0,且a≠1) f′(x)=
f(x)=ln x f′(x)=
函数的解析式中含有根式的,在求导时要先将根式化为分数指数幂后求导数.
5.导数的运算法则
若f′(x),g′(x)存在,则有下列结论.
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)[]′=(g(x)≠0).
6.复合函数的导数
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=yu′·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
2.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.
3.熟记以下结论:
(1)()′=-.
(2)()′=.
(3)[]′=-(f(x)≠0).
(4)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( )
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )
(3)f′(x0)=[f′(x0)]′.( )
(4)若f(x)=-sin x,则f′(x)=cos(-x).( )
(5)若f(x)=log2(2x+1),则f′(x)=.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2 T6改编)已知函数f(x)=2xf′(1)+xln x,则f′(1)等于( )
A.e B.1 C.-1 D.-e
【答案】 C
【解析】 f′(x)=2f′(1)+ln x+1,当x=1时,f′(1)=2f′(1)+1,所以f′(1)=-1.故选C.
3.(人教A版选择性必修第二册P64练习T2改编)函数f(x)=ex+x2-2x的图象在点(0,f(0))处的切线方程为( )
A.x+y-1=0 B.x+y+1=0
C.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=ex+x2-2x,所以f′(x)=ex+2x-2,所以f′(0)=-1.又f(0)=1,所以所求切线方程为y-1=-(x-0),即x+y-1=0.故选A.
4.(人教A版选择性必修第二册P82习题5.2 T11)设曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直,则a= .
【答案】 -
【解析】 因为y′=2ae2ax,所以y′|x=0=2a=-,所以a=-.
考点一 导数的概念与运算
[例1] (1)下列结论正确的是( )
A.若y=cos ,则y′=-sin
B.若y=sin x2,则y′=2xcos x2
C.若y=cos 5x,则y′=-sin 5x
D.若y=xsin 2x,则y′=xsin 2x
(2)(2025·河南郑州模拟)若函数f(x)满足f(x+1)=(ex-e-x)sin x,则f′(1)=( )
A.0 B.1 C.2 D.-1
【答案】 (1)B (2)A
【解析】 (1)对于A,y=cos ,则y′=sin ,故错误;对于B,y=sin x2,则y′=2xcos x2,故正确;对于C,y=cos 5x,则y′=-5sin 5x,故错误;对于D,y=xsin 2x,则y′=sin 2x+xcos 2x,故错误.
故选B.
(2)对f(x+1)=(ex-e-x)sin x两边分别求导得f′(x+1)=(ex+e-x)sin x+(ex-e-x)cos x,当x=0时,
f′(1)=(e0+e0)sin 0+(e0-e0)cos 0=0,所以f′(1)=0.故选A.
(1)导数运算的原则:先化简解析式,使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导.
(2)导数运算的方法.
①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;
②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;
③对数形式:先化为和、差的形式,再求导;
④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;
⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导;
⑥复合函数:明确复合关系,由外向内,层层求导.
[针对训练]
(1)下列导数运算正确的是( )
A.(cos 3)′=-sin 3 B.(e3x)′=e3x
C.()′= D.(log2x)′=
(2)(2025·四川内江模拟)已知函数f(x)=-x2+ln x,则的值为( )
A.e B.-2
C.- D.0
【答案】 (1)D (2)D
【解析】 (1)因为cos 3是常数,所以(cos 3)′=0,故A错误;利用复合函数的求导法则,(e3x)′=e3x·(3x)′=3e3x,故B错误;()′=(x-1)′=-x-2=-,故C错误;易得(log2x)′=,故D正确.故选D.
(2)因为f′(x)=-x+,所以=f′(1)=0.故选D.
考点二 导数的几何意义及应用
角度一 求切线方程
[例2] (1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ,
.
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5 T4.
【答案】 (1)A (2)y=x y=-x
【解析】 (1)f′(x)=,
则f′(0)==3,即该切线方程为y-1=3x,即y=3x+1,令x=0,则y=1,令y=0,则x=-,故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S=×1×|-|=.故选A.
(2)因为y=ln|x|,当x>0时,y=ln x,设切点为(x0,ln x0),由y′=,则y′=,
所以切线方程为y-ln x0=(x-x0),又切线过坐标原点,所以-ln x0=(-x0),解得x0=e,所以切线方程为y-1=(x-e),即y=x;结合对称性,当x<0时,切线方程为y=-x.
在求曲线的切线方程时,注意两个“说法”:求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0,y0)的切线方程.在点P处的切线,一定是以点P为切点;过点P的切线,不论点P在不在曲线上,点P不一定是切点.
(1)在点P处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).
(2)求过点P的切线方程的步骤.
第一步:设出切点坐标P′(x1,f(x1));
第二步:写出在点P′(x1,f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1);
第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程,求出x1;
第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.
角度二 求参数的值或范围
[例3](1)若函数f(x)=x2+bln x的图象在点M(1,f(1))处的切线恰为直线x+2y-3=0,则a+2b=( )
A.3 B.-1 C.1 D.-3
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
【答案】 (1)D (2)(-∞,-4)∪(0,+∞)
【解析】 (1)因为f(x)=x2+bln x,所以f′(x)=ax+,由题意,f(1)=+bln 1=1,f′(1)=a+b=-,解得b=-,a=2,则a+2b=2-5=-3.故选D.
(2)因为y=(x+a)ex,所以y′=(x+a+1)ex.设切点为A(x0,(x0+a)),O为坐标原点,由题意,得切线斜率kOA=(x0+a+1)=,化简,得+ax0-a=0.因为曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,所以方程+ax0-a=0有两个不同的根,所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,所以a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
处理与切线有关的参数问题,关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程:
(1)切点处的导数是切线的斜率.
(2)切点在切线上.
(3)切点在曲线上.
角度三 公切线问题
[例4] (2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a= .
【答案】 ln 2
【解析】 由y=ex+x得y′=ex+1,y′|x=0=e0+1=2,故曲线y=ex+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1;由y=ln(x+1)+a得y′=,设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0,ln(x0+1)+a),由两曲线有公切线得y′==2,解得x0=-,则切点为(-,a+ln),
切线方程为y=2(x+)+a+ln=2x+1+a-ln 2,
根据两切线重合,所以a-ln 2=0,解得 a=ln 2.
确定两曲线的公切线问题,切点是切线的核心,解决这类问题的关键是设出切点的坐标,用好相切的特征,即若两个函数的图象有相同的切线,则需根据函数与切线在切点处的函数值相等以及两函数在切点处的导函数的函数值也相等,构建方程(组)加以求解.
[针对训练]
1.(角度一)(2025·陕西安康模拟)已知f(x)=(x+a)cos x为奇函数,则曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为( )
A.x+πy-π=0 B.x-πy+π=0
C.x-y+π=0 D.x+y=0
【答案】 D
【解析】 因为f(x)=(x+a)cos x为奇函数,且定义域为R,所以f(0)=0,即f(0)=(0+a)cos 0=0,即a=0,所以f(x)=xcos x,经检验符合题意,则f′(x)=cos x-xsin x,曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线斜率为f′(π)=cos π-πsin π=-1,又f(π)=πcos π=-π,所以曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为y-(-π)=-1×(x-π),即x+y=0.故选D.
2.(角度二)已知直线y=kx+1与曲线y=ln x相切,则k等于( )
A. B. C.e D.e2
【答案】 A
【解析】 因为y=ln x,所以y′=,
设切点为(m,ln m),
得切线的斜率为k=y′|x=m=,
因为切点在直线y=kx+1上,
所以ln m=·m+1,
即ln m=2,则m=e2,则k=.故选A.
3.(角度三)若直线l是曲线y=ln x-1与y=ln(x-1)的公切线,则直线l的方程为( )
A.y=x-2 B.y=x
C.y=x+1 D.y=ex
【答案】 A
【解析】 由y=ln x-1,得y′=,由y=ln(x-1),得y′=.设直线l与曲线y=ln x-1相切于点
(x1,ln x1-1),与曲线y=ln(x-1)相切于点(x2,ln(x2-1)),则=,故x1=x2-1.又=,解得x1=1,x2=2,所以直线l过点(1,-1),斜率为1,即直线l的方程为y=x-2.故选A.
考点三 导数与原函数的图象
[例5] 函数y=f(x)的图象如图所示,下列不等关系正确的是( )
A.0B.0C.0D.0【答案】 C
【解析】 根据导数的几何意义,可得f′(2)表示切线l1的斜率k1>0,f′(3)表示切线l3的斜率k3>0,又由平均变化率的定义,可得=f(3)-f(2),表示割线l2的斜率k2,结合题中图象,可得0f′(x0)表示曲线y=f(x)在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率k0,表示经过曲线y=f(x)上两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的割线的斜率,根据这两种直线的斜率的几何意义常常能判断函数图象的特征.
[针对训练]
已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( )
A B
C D
【答案】 B
【解析】 由y=f′(x)的图象是先上升后下降可知,函数y=f(x)图象的切线的斜率先增大后减小.故选B.
