第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[学习目标]
1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.能解决简单的实际问题.
两个计数原理
计数 原理 目标 策略 过程 方法 总数
分类加 法计数 原理 完 成 一 件 事 有两类 不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法 N=m+n种不同的方法
分步乘 法计数 原理 需要两 个步骤 做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法 N=m×n种不同的方法
分类加法和分步乘法计数原理的区别在于分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)两个计数原理可以分别推广到含有“n类方案”和“n个步骤”的情况.( )
(2)从甲地经丙地到乙地是分步问题.( )
(3)从书架上任取数学书、语文书各一本是分类问题.( )
(4)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.(人教A版选择性必修第三册P5练习T1改编)一项工作可以用2种方法完成,有3人只会用第1种方法完成,另外5人只会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这件工作,不同选法的种数是( )
A.8 B.15
C.16 D.30
【答案】 A
【解析】 由题意,不同选法的种数是3+5=8.故选A.
3.(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1 T5改编)一个口袋内装有4个小球,另一个口袋内装有3个小球,所有这些小球的颜色互不相同,从两个口袋内分别取1个小球,则不同的取法数为( )
A.7 B.16
C.9 D.12
【答案】 D
【解析】 由题意,从两个袋子中分别取1个球,分两步进行:第一步,从第一个口袋内取一个球,有4种取法;第二步,从另一个口袋内取一个球,有3种取法.
根据分步乘法计数原理得,从两个口袋内分别取1个小球,共有4×3=12(种)取法.故选D.
4.(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1 T2改编)如图,从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路,从甲地到丙地有2条路,从丙地到丁地有4条路.则从甲地到丁地不同的路线有( )
A.11条 B.12条
C.13条 D.14条
【答案】 D
【解析】 从甲到丁分为两类:
第一类,从甲过乙到丁分两步,
从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路,由分步乘法计数原理得,从甲地到丁地有6条不同的路线;
第二类,从甲地过丙地到丁地分两步,从甲地到丙地有2条路,从丙地到丁地有4条路.
由分步乘法计数原理得,从甲地到丁地有8条不同的路线,再由分类加法计数原理得,从甲地到丁地共有6+8=14(条)不同的路线.故选D.
5.(人教A版选择性必修第三册P6例4改编)要从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出
2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,则不同的挂法种数是 .(用数字作答)
【答案】 12
【解析】 第一步先从4幅画中选1幅挂在左边,再在剩下的3幅画中选1幅挂在右边,共有4×3=12(种)挂法.
考点一 分类加法计数原理的应用
[例1] (1)从1,2,3,4,9五个数中每次取出两个数记为a,b,则可得到loga b的不同值的个数为( )
A.9 B.10
C.13 D.16
(2)(2025·海南海口模拟)已知集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是( )
A.9 B.14
C.15 D.21
【答案】 (1)A (2)B
【解析】 (1)显然a≠1,若a=2,3,4,9,b=1时,有loga b=0,1个;
若a=2,b=3,4,9时,有log23,log24=2,log29,3个;
若a=3,b=2,4,9时,有log32,log34,log39=2(舍去),2个;
若a=4,b=2,3,9时,有log42=,log43,log49=log23(舍去),2个;
若a=9,b=2,3,4时,有log92,log93=(舍去),log94=log32(舍去),1个,
共有1+3+2+2+1=9(个).故选A.
(2)因为P={x,1},Q={y,1,2},且P Q,所以x∈{y,2}.
所以当x=2时,y=3,4,5,6,7,8,9,共有7种情况;
当x=y时,x=3,4,5,6,7,8,9,共有7种情况.
故共有7+7=14(种)情况,即这样的点的个数为14.故选B.
使用分类加法计数原理的三个注意点
(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统一,不能遗漏.
(2)分类时,注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,不能重复.
(3)若是正面分类比较复杂,而其反面情况比较简单,且总的情况容易求解,则用间接法(正难则反).
[针对训练]
(1)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )
A.4种 B.10种
C.18种 D.20种
(2)已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定 个平面.
【答案】 (1)B (2)13
【解析】 (1)赠送1本画册,3本集邮册,需从4人中选取1人赠送画册,其余赠送集邮册,有4种方法;赠送2本画册,2本集邮册,只需从4人中选出2人赠送画册,其余2人赠送集邮册,有6种方法.
由分类加法计数原理可知,不同的赠送方法共有 4+6=10(种).故选B.
(2)异面直线a与异面直线b上的8个点中的任意一个点都可以构成一个平面;异面直线b与异面直线a上的5个点中的任意一个点都可以构成一个平面,所以共可以确定8+5=13(个)平面.
考点二 分步乘法计数原理的应用
[例2] (1)为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在食堂提供的2种主食、3种素菜、
2种大荤、4种小荤中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有( )
A.48种 B.36种
C.24种 D.12种
(2)(2025·江苏徐州模拟)甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩,其中甲去过北京,所以甲不去北京,则不同的选法有( )
A.18种 B.48种
C.108种 D.192种
【答案】 (1)B (2)D
【解析】 (1)由题意可知,分三步完成:
第一步,从2种主食中任选1种有2种选法;
第二步,从3种素菜中任选1种有3种选法;
第三步,从6种荤菜中任选1种有6种选法.
根据分步乘法计数原理,共有2×3×6=36(种)不同的选取方法.故选B.
(2)因为甲不去北京,所以应该分步完成:
第一步,甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个,有3种选法;
第二步,乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个,有4×4×4=64(种)选法;
由分步乘法计数原理,可得不同选法有3×64=192(种).故选D.
利用分步乘法计数原理解题的两个注意点
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么,确定完成这件事需要几个步骤,且每步都是独立的.
(2)将这件事划分成几个步骤来完成,各步骤之间有一定的连续性,只有当所有步骤都完成了,整个事件才算完成.
[针对训练]
(1)求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积,例如12=31×22,12的正整数因数只需分别从{30,31},{20,21,22}中各选一个元素相乘即可.则500的正整数因数的个数为( )
A.12 B.15
C.16 D.18
(2)若将6本不同的书放到5个不同的盒子里,则不同的放法种数为( )
A. B.
C.56 D.66
【答案】 (1)A (2)C
【解析】 (1)因为500=22×53,由题意可知500的正整数因数只需分别从{20,21,22},{50,51,52,53}中各选一个元素相乘即可,所以500的正整数因数的个数为3×4=12.故选A.
(2)将6本不同的书放到5个不同的盒子里,每本书都有5种放法,根据分步乘法计数原理可得不同放法为56种.故选C.
考点三 两个计数原理的综合应用
角度一 与数字有关的问题
[例3] (多选题)已知数字0,1,2,3,4,由它们组成四位数,下列说法正确的是( )
A.组成可以有重复数字的四位数有500个
B.组成无重复数字的四位数有96个
C.组成无重复数字的四位偶数有66个
D.组成百位是奇数的四位偶数有28个
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第三册P7练习T5.
【答案】 AB
【解析】 对于A,组成可以有重复数字的四位数有
4×5×5×5=500(个),故A正确;
对于B,组成无重复数字的四位数有4×4×3×2=96(个),故B正确;
对于C,若个位数字为0时,则有4×3×2=24(个),
若个位数字不为0时,则有2×3×3×2=36(个),
所以组成无重复数字的四位偶数有24+36=60(个),故C错误;
对于D,组成百位是奇数的四位偶数有4×2×5×3=120(个),故D错误.故选AB.
角度二 与几何有关的问题
[例4] (2025·江西金溪模拟)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“垂直线面组”,在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有三个顶点的平面构成的“垂直线面组”的个数是( )
A.36 B.44
C.48 D.24
【答案】 B
【解析】 对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“垂直线面组”,这样的“垂直线面组”有2×12=24(个);对于每一条面对角线都可以与一个对角面构成“垂直线面组”,这样的“垂直线面组”有12个;对于每一条体对角线都有两个面与其构成“垂直线面组”,这样的“垂直线面组”有4×2=8(个),所以共有24+12+8=44(个).故选B.
角度三 涂色问题
[例5] (2025·江苏苏州模拟)用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色,要求在A,B,C,D 4个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色,则共有不同的涂色方法 种.
【答案】 480
【解析】 法一 第一类,A,D涂同色,有6×5×4=120(种)涂法;
第二类,A,D涂异色,有6×5×4×3=360(种)涂法.
共有120+360=480(种)涂法.
法二 第一步,先涂B区,有6种涂法;
第二步,涂C区,有5种涂法;
第三步,涂A,D区域,各有4种涂法.
所以共有6×5×4×4=480(种)涂法.
(1)在综合应用两个原理解决问题时应注意:
①一般是先分类再分步,在分步时可能会再次用到分类加法计数原理;
②对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地列出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化.
(2)解决涂色问题,可按颜色的种数分类讨论,也可按不同的区域分步完成.
[针对训练]
1.(角度二)有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球,若从中任取多面体和旋转体各1个,则不同取法的种数是( )
A.14 B.23
C.48 D.120
【答案】 C
【解析】 分两步:第一步,取多面体,分两类,可以从5个不同的棱柱或3个不同的棱锥中取1个,根据分类加法计数原理有5+3=8(种)不同的取法;
第二步,取旋转体,分两类,可以从4个不同的圆台或2个不同的球中取1个,根据分类加法计数原理有4+2=6(种)不同的取法.
所以根据分步乘法计数原理知不同的取法种数是8×6=48.故选C.
2.(角度三)现有5种不同颜色的染料,要对如图所示的4个不同区域进行涂色,要求有公共边的2个区域不能使用同一种颜色,则不同的涂色方法的种数是( )
A.120 B.140
C.240 D.260
【答案】 D
【解析】 由题意,先涂A处共有5种涂法,再涂B处有4种涂法,最后涂C处.若C处与A处所涂颜色相同,则C处共有1种涂法,D处有4种涂法;若C处与A处所涂颜色不同,则C处有3种涂法,D处有3种涂法.由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4+3×3)=260(种).
故选D.
3.(角度一)从不大于9的自然数中取3个不同的数可以组成 个能被5整除的三位数.
【答案】 136
【解析】 不大于9的自然数有10个:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中取3个,组成能被5整除的三位数,
个位是0时,有9×8=72(个),个位是5时,有8×8=64(个),共有72+64=136(个).第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[学习目标]
1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.能解决简单的实际问题.
两个计数原理
计数 原理 目标 策略 过程 方法 总数
分类加 法计数 原理 完 成 一 件 事 有两类 不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法 N= 种不同的方法
分步乘 法计数 原理 需要两 个步骤 做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法 N= 种不同的方法
分类加法和分步乘法计数原理的区别在于分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)两个计数原理可以分别推广到含有“n类方案”和“n个步骤”的情况.( )
(2)从甲地经丙地到乙地是分步问题.( )
(3)从书架上任取数学书、语文书各一本是分类问题.( )
(4)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( )
2.(人教A版选择性必修第三册P5练习T1改编)一项工作可以用2种方法完成,有3人只会用第1种方法完成,另外5人只会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这件工作,不同选法的种数是( )
A.8 B.15
C.16 D.30
3.(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1 T5改编)一个口袋内装有4个小球,另一个口袋内装有3个小球,所有这些小球的颜色互不相同,从两个口袋内分别取1个小球,则不同的取法数为( )
A.7 B.16
C.9 D.12
4.(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1 T2改编)如图,从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路,从甲地到丙地有2条路,从丙地到丁地有4条路.则从甲地到丁地不同的路线有( )
A.11条 B.12条
C.13条 D.14条
5.(人教A版选择性必修第三册P6例4改编)要从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出
2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,则不同的挂法种数是 .(用数字作答)
考点一 分类加法计数原理的应用
[例1] (1)从1,2,3,4,9五个数中每次取出两个数记为a,b,则可得到loga b的不同值的个数为( )
A.9 B.10
C.13 D.16
(2)(2025·海南海口模拟)已知集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是( )
A.9 B.14
C.15 D.21
使用分类加法计数原理的三个注意点
(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统一,不能遗漏.
(2)分类时,注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,不能重复.
(3)若是正面分类比较复杂,而其反面情况比较简单,且总的情况容易求解,则用间接法(正难则反).
[针对训练]
(1)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )
A.4种 B.10种
C.18种 D.20种
(2)已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定 个平面.
考点二 分步乘法计数原理的应用
[例2] (1)为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在食堂提供的2种主食、3种素菜、
2种大荤、4种小荤中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有( )
A.48种 B.36种
C.24种 D.12种
(2)(2025·江苏徐州模拟)甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩,其中甲去过北京,所以甲不去北京,则不同的选法有( )
A.18种 B.48种
C.108种 D.192种
利用分步乘法计数原理解题的两个注意点
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么,确定完成这件事需要几个步骤,且每步都是独立的.
(2)将这件事划分成几个步骤来完成,各步骤之间有一定的连续性,只有当所有步骤都完成了,整个事件才算完成.
[针对训练]
(1)求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积,例如12=31×22,12的正整数因数只需分别从{30,31},{20,21,22}中各选一个元素相乘即可.则500的正整数因数的个数为( )
A.12 B.15
C.16 D.18
(2)若将6本不同的书放到5个不同的盒子里,则不同的放法种数为( )
A. B.
C.56 D.66
考点三 两个计数原理的综合应用
角度一 与数字有关的问题
[例3] (多选题)已知数字0,1,2,3,4,由它们组成四位数,下列说法正确的是( )
A.组成可以有重复数字的四位数有500个
B.组成无重复数字的四位数有96个
C.组成无重复数字的四位偶数有66个
D.组成百位是奇数的四位偶数有28个
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第三册P7练习T5.
角度二 与几何有关的问题
[例4] (2025·江西金溪模拟)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“垂直线面组”,在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有三个顶点的平面构成的“垂直线面组”的个数是( )
A.36 B.44
C.48 D.24
角度三 涂色问题
[例5] (2025·江苏苏州模拟)用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色,要求在A,B,C,D 4个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色,则共有不同的涂色方法 种.
(1)在综合应用两个原理解决问题时应注意:
①一般是先分类再分步,在分步时可能会再次用到分类加法计数原理;
②对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地列出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化.
(2)解决涂色问题,可按颜色的种数分类讨论,也可按不同的区域分步完成.
[针对训练]
1.(角度二)有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球,若从中任取多面体和旋转体各1个,则不同取法的种数是( )
A.14 B.23
C.48 D.120
2.(角度三)现有5种不同颜色的染料,要对如图所示的4个不同区域进行涂色,要求有公共边的2个区域不能使用同一种颜色,则不同的涂色方法的种数是( )
A.120 B.140
C.240 D.260
3.(角度一)从不大于9的自然数中取3个不同的数可以组成 个能被5整除的三位数.
