第2节 排列与组合
[学习目标]
1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题.
排列与组合
排列与排列数 组合与组合数
定 义 排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示 组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示
公式 排列数公式=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= 组合数公式===
性质 =n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!; 0!=1 =1; =;+=
备注 n,m∈N*,且m≤n
公式=可变形为=,=体现了排列问题去掉顺序即为组合问题,
=体现了组合问题增加顺序即为排列问题,同时也体现了分步乘法计数原理.
排列数、组合数常用公式
1.=(n-m+1).
2.=n.
3.(n+1)!-n!=n·n!.
4.==.
5.+++…+=.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)两个排列相同的充要条件是两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.( )
(2)10个朋友聚会,每两人握手一次,是排列问题.( )
(3)选择两人去参加同一项活动时无先后顺序.( )
(4)若组合式=成立,则x=m.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6 T3(1)改编)已知=,则m等于( )
A.1 B.3
C.1或4 D.1或3
【答案】 D
【解析】 因为=,则m=2m-1或m+2m-1=8,解得m=1或m=3,检验可知均符合题意.故选D.
3.(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2 T12(2)改编)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数的个数为( )
A.60 B.96
C.300 D.360
【答案】 C
【解析】 先排首位,共有5种方法;其他位数共有种排法,结合分步乘法计数原理可得共有5×=300(种)方法.故选C.
4.(人教A版选择性必修第三册P25例7改编)在10件产品中,有8件合格品,2件次品,从这10件中任意抽出3件,抽出的3件中恰有1件是次品,则不同抽法的种数是( )
A.56 B.28
C.120 D.16
【答案】 A
【解析】 从2件次品中抽出1件次品的抽法有种,从8件合格品中抽出2件合格品的抽法有种,共有=56(种).故选A.
5.(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6 T3(3)改编)某人设计的电脑开机密码由A,B,C,D中两个不同的英文字母后接两个数字组成,则该密码可能的个数是 .(用数字作答)
【答案】 1 200
【解析】 第一步选字母,=12(种);第二步选数字,10×10=100(种).
根据分步乘法计数原理可知,密码可能的个数为12×100=1 200.
考点一 与排列数、组合数有关的计算
[例1] (1)不等式<6的解集为 .
(2)若+++…+=55,则n= .
【答案】 (1){6} (2)7
【解析】 (1)由题意得解得2≤x≤6且 x∈N*,
又<6×,即(8-x)(7-x)<6,即x2-15x+50<0,解得5综上可知x=6,故解集为{6}.
(2)+++…+=++++…+-1=+++…+-1=++…+-1=-1=55,故=56,解得n=7.
合理选择以下两种形式:
(1)运算求解类问题常常使用“连乘积”形式.
(2)在证明类或运算类的化简过程中,多用“阶乘”形式.
[针对训练]
(1)已知=120,则n的值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)若x+=4,则x的值为 .
【答案】 (1)C (2)4
【解析】 (1)由=120,得2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)=120,
整理得(n-3)(n+1)=0,因为n≥2且n∈N*,所以 n=3.故选C.
(2)由题设,x2+x(x-1)(x-2)=,x≥3,
整理得x2-6x+8=(x-2)(x-4)=0,可得x=2或x=4,又x≥3,故x=4.
考点二 排列问题
[例2] (1)某中学为了弘扬我国二十四节气文化,特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里,要求“立春”和“春分”两块展板相邻,且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方式种数为( )
A.24 B.48
C.144 D.244
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有( )
A.12种 B.24种
C.36种 D.48种
【答案】 (1)C (2)B
【解析】 (1)根据题意,先将“立春”和“春分”两块展板捆绑在一起,与“雨水”“谷雨”排列,有4个空,然后“清明”与“惊蛰”去插空,所以不同的放置方式有=144(种).故选C.
(2)先将丙和丁捆绑在一起有种排列方式,然后将其与乙、戊排列,有种排列方式,最后将甲插入中间两空,有种排列方式,所以不同的排列方式共有=24(种).故选B.
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法 直接利用排列数公式列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空隙当中
定序问题 除法处理 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
[针对训练]
(1)某赛事的十场比赛中,每场都有一首特别设计的开场诗词.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有( )
A.288种 B.144种
C.720种 D.360种
(2)(2025·安徽合肥模拟)6名航天员站成一排合影留念,甲不站最左边,乙不站最右边,则不同的排法有 .
【答案】 (1)B (2)504
【解析】 (1)第一步,将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》之外的四首诗词进行排列,由于《将进酒》排在《望岳》前面,故不同排法有=12(种);
第二步,排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》,由于第一步中的4首诗词排好后,不含最后,有4个空位,在4个空位中任选2个,排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》,不同排法有=12(种).
由分步乘法计数原理知,后六场的排法有12×12=144(种).故选B.
(2)根据甲不站最左边,可以分为两种情况:
第一种情况,甲站在最右边,此时剩余的5人可以进行全排列,共有=120(种)排法;
第二种情况,甲不站在最右边,根据题目条件甲不站最左边,此时甲有4种站法,根据题目条件乙不站在最右边,可知乙只有4种站法,剩余的4人进行全排列,共有4×4×=384(种)
排法.
由分类加法计数原理可知,总共有120+384=504(种)排法.
考点三 组合问题
[例3] (1)(2023·全国甲卷)有5名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天2天,每天从中任选2人参加服务,则恰有1人连续参加2天服务的选择种数为( )
A.120 B.60
C.40 D.30
(2)(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 种.(用数字作答)
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版选择性必修第三册P37复习参考题6 T1(2).
【答案】 (1)B (2)64
【解析】 (1)恰有1人连续参加2天服务,先从5人中选1人服务周六、周日2天,有=5(种)方法,再从剩余4人中选1人参加周六服务,剩余3人选1人参加周日服务,有=12(种)方法,所以恰有1人连续参加了2天社区服务的选择种数有5×12=60.故选B.
(2)①当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有=16(种).
②当从8门课中选修3门,
若体育类选修课选修1门,则不同的选课方案共有=24(种);
若体育类选修课选修2门,则不同的选课方案共有=24(种).
综上所述,不同的选课方案共有16+24+24=64(种).
组合问题的2种题型及解法
题型 解法
“含”与“不含”的组合问题 “含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取
“至少”或“至多”的组合问题 解这类题型必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理
[针对训练]
(1)某校为了促进学生的发展,开设了新媒体、人工智能、模拟联合国3门兴趣课程和设计、天文2门探索课程.现有甲、乙、丙、丁4名同学想报名参加,若每人只能从中选1门课程,则恰有2名同学选择天文课程的报名方法种数为 .
(2)某校开设美术、篮球、足球和象棋兴趣班,其中美术兴趣班有4个,篮球兴趣班有5个,足球兴趣班有2个,象棋兴趣班有3个.已知该校的学生甲报名参加其中的两种兴趣班,且至少参加了一种球类的兴趣班,则甲参加兴趣班的不同方案有 种.
【答案】 (1)96 (2)59
【解析】 (1)由题知,分两步完成报名:
第一步,安排甲、乙、丙、丁4名同学中的2名选择天文课程,则有=6(种)情况;
第二步,剩下2名同学再选择新媒体、人工智能、模拟联合国、设计4门课程中的任意一个有4×4=16(种)情况.
所以恰有2名同学选择天文课程的报名方法种数为6×16=96.
(2)第一种情况,甲参加了足球兴趣班和篮球兴趣班,共有=10(种)方案;
第二种情况,甲只参加了一种球类兴趣班,
则甲参加的另一种兴趣班为美术或象棋中的一种,共有+=49(种)方案.
故甲参加兴趣班的不同方案有10+49=59(种).
考点四 排列与组合的综合问题
[例4] 现有6名免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到三所学校去任教,试求各有多少种不同的分派方法.
(1)6人分配到三所学校,其中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人;
(2)6人分配到三所学校,其中一学校1人、一学校1人、一学校4人;
(3)6人分配到三所学校每所学校至少1人.
【解】 (1)6名学生选1名到甲学校去任教有种方法;从剩余的5名学生中选2名到乙学校去任教有种方法;剩余的3名学生都分配到丙学校去任教有种方法,
则6人分配到三所学校,其中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人共有=60(种)分配方法.
(2)6名学生按1,1,4分为三个组有=种方法,则6人分配到三所学校,其中一学校1人、一学校1人、一学校4人共有=90(种)分配方法.
(3)由题可得学生的分配方案可以有:1,2,3;1,1,4;2,2,2,共3种.
6名学生按1,2,3分为三个组有种方法,则6人分配到三所学校共有=
360(种)分配方法;
6名学生按1,1,4分为三个组有=种方法,则6人分配到三所学校共有=90(种)分配方法;
6名学生平均分配到3所学校有=90(种)方法,
综上,6人分配到三所学校,每所学校至少1人,一共有360+90+90=540(种)方法.
求解分组与分配问题的方法
(1)分配问题中,目标与数目确定的可以直接利用组合数及两个计数原理求解.
(2)对于分配问题,应先分组后分配.
(3)对于不均分分组问题,即各组个数均不相同的问题,可以直接按照组数及各组的元素数目利用组合数求解.
(4)对于部分均分分组问题,均分的部分可以参考平均分组问题的求解处理.
[针对训练]
(1)某高校计划在今年暑假安排编号为A,B,C,D,E,F的6名教师到4所不同的学校进行宣讲,每所学校至少安排1人,其中B,D必须安排在同一所学校.则不同的安排方法共有( )
A.96种 B.144种
C.240种 D.384种
(2)(2025·河北沧州模拟)有5名大学生要分配到A,B,C 3个单位实习,每名学生只能到1个单位实习,每个单位至少要接收1名学生实习,已知这5名学生中的甲同学分配在A单位实习,则这5名学生实习的不同分配方案有 种.(用数字作答)
【答案】 (1)C (2)50
【解析】 (1)将这6名教师分成四组,再分配到不同的学校.
若教师人数依次为3,1,1,1,则不同的安排方法有=96(种);
若教师人数依次为2,2,1,1,则不同的安排方法有=144(种),
故不同的安排方法共有96+144=240(种).故选C.
(2)根据特殊元素“甲同学”分类讨论.
当A单位只有甲时,其余四人分配到B,C,不同分配方案有+=14(种);
当A单位不只有甲时,其余四人分配到A,B,C,不同分配方案有=36(种),
故共有14+36=50(种)不同的分配方案.第2节 排列与组合
[学习目标]
1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题.
排列与组合
排列与排列数 组合与组合数
定 义 排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示 组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示
公式 排列数公式= = 组合数公式===
性质 = =n!; 0!=1 =1; =;+=
备注 n,m∈N*,且m≤n
公式=可变形为=,=体现了排列问题去掉顺序即为组合问题,
=体现了组合问题增加顺序即为排列问题,同时也体现了分步乘法计数原理.
排列数、组合数常用公式
1.=(n-m+1).
2.=n.
3.(n+1)!-n!=n·n!.
4.==.
5.+++…+=.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)两个排列相同的充要条件是两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.( )
(2)10个朋友聚会,每两人握手一次,是排列问题.( )
(3)选择两人去参加同一项活动时无先后顺序.( )
(4)若组合式=成立,则x=m.( )
2.(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6 T3(1)改编)已知=,则m等于( )
A.1 B.3
C.1或4 D.1或3
3.(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2 T12(2)改编)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数的个数为( )
A.60 B.96
C.300 D.360
4.(人教A版选择性必修第三册P25例7改编)在10件产品中,有8件合格品,2件次品,从这10件中任意抽出3件,抽出的3件中恰有1件是次品,则不同抽法的种数是( )
A.56 B.28
C.120 D.16
5.(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6 T3(3)改编)某人设计的电脑开机密码由A,B,C,D中两个不同的英文字母后接两个数字组成,则该密码可能的个数是 .(用数字作答)
考点一 与排列数、组合数有关的计算
[例1] (1)不等式<6的解集为 .
(2)若+++…+=55,则n= .
合理选择以下两种形式:
(1)运算求解类问题常常使用“连乘积”形式.
(2)在证明类或运算类的化简过程中,多用“阶乘”形式.
[针对训练]
(1)已知=120,则n的值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)若x+=4,则x的值为 .
考点二 排列问题
[例2] (1)某中学为了弘扬我国二十四节气文化,特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里,要求“立春”和“春分”两块展板相邻,且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方式种数为( )
A.24 B.48
C.144 D.244
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有( )
A.12种 B.24种
C.36种 D.48种
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法 直接利用排列数公式列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空隙当中
定序问题 除法处理 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
[针对训练]
(1)某赛事的十场比赛中,每场都有一首特别设计的开场诗词.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有( )
A.288种 B.144种
C.720种 D.360种
(2)(2025·安徽合肥模拟)6名航天员站成一排合影留念,甲不站最左边,乙不站最右边,则不同的排法有 .
考点三 组合问题
[例3] (1)(2023·全国甲卷)有5名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天2天,每天从中任选2人参加服务,则恰有1人连续参加2天服务的选择种数为( )
A.120 B.60
C.40 D.30
(2)(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 种.(用数字作答)
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版选择性必修第三册P37复习参考题6 T1(2).
组合问题的2种题型及解法
题型 解法
“含”与“不含”的组合问题 “含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取
“至少”或“至多”的组合问题 解这类题型必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理
[针对训练]
(1)某校为了促进学生的发展,开设了新媒体、人工智能、模拟联合国3门兴趣课程和设计、天文2门探索课程.现有甲、乙、丙、丁4名同学想报名参加,若每人只能从中选1门课程,则恰有2名同学选择天文课程的报名方法种数为 .
(2)某校开设美术、篮球、足球和象棋兴趣班,其中美术兴趣班有4个,篮球兴趣班有5个,足球兴趣班有2个,象棋兴趣班有3个.已知该校的学生甲报名参加其中的两种兴趣班,且至少参加了一种球类的兴趣班,则甲参加兴趣班的不同方案有 种.
考点四 排列与组合的综合问题
[例4] 现有6名免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到三所学校去任教,试求各有多少种不同的分派方法.
(1)6人分配到三所学校,其中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人;
(2)6人分配到三所学校,其中一学校1人、一学校1人、一学校4人;
(3)6人分配到三所学校每所学校至少1人.
求解分组与分配问题的方法
(1)分配问题中,目标与数目确定的可以直接利用组合数及两个计数原理求解.
(2)对于分配问题,应先分组后分配.
(3)对于不均分分组问题,即各组个数均不相同的问题,可以直接按照组数及各组的元素数目利用组合数求解.
(4)对于部分均分分组问题,均分的部分可以参考平均分组问题的求解处理.
[针对训练]
(1)某高校计划在今年暑假安排编号为A,B,C,D,E,F的6名教师到4所不同的学校进行宣讲,每所学校至少安排1人,其中B,D必须安排在同一所学校.则不同的安排方法共有( )
A.96种 B.144种
C.240种 D.384种
(2)(2025·河北沧州模拟)有5名大学生要分配到A,B,C 3个单位实习,每名学生只能到1个单位实习,每个单位至少要接收1名学生实习,已知这5名学生中的甲同学分配在A单位实习,则这5名学生实习的不同分配方案有 种.(用数字作答)
