第3节 二项式定理
[学习目标]
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
(1)二项式定理:(a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn,n∈N*.
(2)二项展开式的通项:Tk+1=an-kbk,它表示通项为展开式的第k+1项.
(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数(k=0,1,2,…,n).
二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项加1直到n.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=
增减性 二项式系数 当k<(n∈N*)时,是递增的
当k>(n∈N*)时,是递减的
二项式系 数最大值 当n为偶数时,中间的一项取得最大值
当n为奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值
各二项式 系数的和 +++…+=2n
二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,也与a,b的值有关.
3.杨辉三角
下面的数表称为杨辉三角:
其中第n行是 1,,,…,,,1.
在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即+++…=+++…=2n-1.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)an-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.( )
(2)(a+b)n的展开式中各项的二项式系数与a,b无关.( )
(3)通项Tk+1=an-kbk中的a和b不能互换.( )
(4)(a+b)n某项的系数是该项中非字母部分,包括符号等,与该项的二项式系数一般是不同的.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.(人教A版选择性必修第三册P30例2(1)改编)(1-2x)4展开式中第3项的二项式系数为( )
A.6 B.-6
C.24 D.-24
【答案】 A
【解析】 第3项的二项式系数为=6.故选A.
3.(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3 T5(3)改编)(2x-y)4的展开式的中间一项为( )
A.24 B.-8
C.24x2y2 D.-8xy3
【答案】 C
【解析】 (2x-y)4的展开式的中间一项为展开式的第3项,即(2x)2(-y)2=24x2y2.故选C.
4.(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3 T2改编)(x+1)(x-2)6的展开式中x4的系数为( )
A.-100 B.-15
C.35 D.220
【答案】 A
【解析】 (x-2)6的展开式中x3与x4系数分别为(-2)3,(-2)2,因此(x+1)(x-2)6的展开式中x4的系数为(-2)3+(-2)2=-160+60=-100.故选A.
5.(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6 T5(2)改编)若二项式(x-)n的展开式中二项式系数和为64,那么该展开式中的常数项为 .
【答案】 -20
【解析】 由题意得,2n=64,解得n=6,所以展开式的通项为Tr+1=x6-r(-)r=(-1)rx6-2r,令6-2r=0,得r=3,所以展开式中的常数项为(-1)3=-20.
考点一 二项展开式中的特定项或特定项系数
[例1](1)(2025·河北沧州模拟)在(-)8的展开式中,常数项为7,则正数a=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)(2024·北京卷)在(x-)4的展开式中,x3的系数为( )
A.6 B.-6
C.12 D.-12
【答案】 (1)B (2)A
【解析】 (1)(-)8展开式的通项为Tk+1=(-)k=(-1)k()8-k,令8-k=0,得k=6,所以常数项为(-1)6()2=7,化简得a2=4,又a为正数,所以a=2.故选B.
(2)(x-)4的二项展开式的通项为Tr+1=x4-r·(-)r=(-1)r(r=0,1,2,3,4),令4-=3,解得r=2,故x3的系数为·(-1)2=6.故选A.
二项展开式的特定项问题,实质是考查对通项Tk+1=an-kbk的理解,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n).
(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项.
(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.
(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
注意:解题时注意二项式系数中n和k的隐含条件.使用二项展开式的通项时要注意:①通项表示的是第k+1项,而不是第k项;②通项中a和b的位置不能颠倒.
[针对训练]
(1)(2025·四川成都模拟)(2x-)n的展开式中,第5项为常数项,则正整数n等于( )
A.8 B.7
C.6 D.5
(2)在(2x3-)6的展开式中,x2项的系数为 .
【答案】 (1)C (2)60
【解析】 (1)二项式(2x-)n的展开式的第r+1项为Tr+1=(2x)n-r(-)r,所以T5=·(2x)n-4·(-)4=2n-4xn-6,由已知得n=6.故选C.
(2)二项式(2x3-)6的展开式的通项为Tr+1=(2x3)6-r·(-)r=·26-r·(-1)r·x18-4r,令18-4r=2,得r=4,所以x2项的系数为·22×(-1)4=60.
考点二 二项式系数与项的系数的性质
角度一 二项式系数和与系数和
[例2](1)(多选题)(x+)7的展开式中,下列结论正确的是( )
A.展开式共7项
B.x项系数为280
C.各项系数和为2 187
D.二项式系数和为128
(2)(2022·北京卷)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=( )
A.40 B.41
C.-40 D.-41
【答案】 (1)BCD (2)B
【解析】 (1)因为n=7,所以展开式共有8项,故A错误;展开式的x项为x4()3=35×8x=280x,故B正确;令x=1,则各项系数和为(1+2)7=2 187,故C正确;二项式系数和为27=128,故D正确.故选BCD.
(2)法一(赋值法) 令x=1,则a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,则a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81,故a4+a2+a0==41.故选B.
法二(利用展开式直接求系数) (2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,可得a0=,a2=×22,a4=×24,a0+a2+a4=41.故选B.
(1)二项式系数和可直接利用性质+++…+=2n求解.
(2)系数和可利用赋值法求解.
一般地,对于多项式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n的展开式中各项的系数和为g(1),(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)+g(-1)],(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)-g(-1)].
(3)求特殊结构的和时需要灵活变形(包括逆用公式)或赋值.
角度二 二项式系数与项的系数的最值问题
[例3] 已知(1+3x2)n的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大992.求:
(1)展开式中二项式系数最大的项;
(2)展开式中系数最大的项.
【解】 (1)令x=1,则展开式中各项系数和为(1+3)n=22n,
又因为展开式中二项式系数和为2n,
所以22n-2n=992,即n=5,展开式共6项,二项式系数最大的项为第三、第四两项,
所以T3=×13×(3x2)2=90x4,T4=×12×(3x2)3=270x6.
(2)展开式的通项为Tr+1=×15-r×(3x2)r=3rx2r,0≤r≤5,r∈N,
设展开式中第r+1项系数最大,
则即
解得≤r≤,r∈N.
因此r=4,即展开式中第5项系数最大, T5=34x8=405x8.
(1)二项式系数最大值直接利用二项式系数的性质求解.
(2)二项展开式系数最大项的求法常采用不等式法.
如求(a+bx)n(a,b∈R,n∈N*)的展开式系数最大的项,一般是先用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用不等式组从而解出k.
(3)求系数最小项注意结合系数的符号与绝对值进行分析.
[针对训练]
1.(角度一)在(3x-)n的展开式中,各项系数和与二项式系数和之和为128,则( )
A.二项式系数和为32
B.各项系数和为128
C.常数项为-135
D.常数项为135
【答案】 D
【解析】 令x=1,得各项系数和为2n,又二项式系数和为2n,则2n+2n=128,得n=6,即二项式系数和为64,各项系数和也为64,故A,B不正确;的展开式的通项为Tk+1=(3x)6-k·(-)k=36-k·(-1)k,令6-=0,得k=4,因此展开式中的常数项为32×(-1)4=135,故C不正确,D正确.故选D.
2.(角度一)(2025·四川乐山模拟)设(x+2 024)·(2x-1)2 023=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024,则+++…+=( )
A.1 B.-1
C.2 024 D.-2 024
【答案】 C
【解析】 由(x+2 024)(2x-1)2 023=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024,令x=0,得a0=-2 024;令x=,得a0++++…+=0,所以+++…+=-a0=2 024.故选C.
3.(角度二)在(x-)5的展开式中,x3的系数等于-5,则该展开式各项的系数中最大值为 .
【答案】 10
【解析】 (x-)5的展开式的通项为Tr+1=x5-r(-)r=(-a)rx5-2r,
令5-2r=3,得r=1,所以-a×5=-5,即a=1,
展开式中第2,4,6项的系数为负数,第1,3,5项的系数为正数,
故各项的系数中最大值为=10.
考点三 多项展开式的特定项问题
角度一 几个多项式和的展开式
[例4](2025·河南平顶山模拟)在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6的展开式中,含x3项的系数是( )
A.25 B.30
C.35 D.40
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6 T9.
【答案】 C
【解析】 (1+x)n的展开式通项Tr+1=xr中,
当n依次取3,4,5,6,r取3得到含x3的系数为+++=++=+==35.
故选C.
对于几个多项式和的展开式中的特定项问题,就是分别展开然后合并同类项问题,求系数和时注意利用组合数的性质.
角度二 几个多项式积的展开式
[例5](2022·新高考Ⅰ卷) (1-)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 (用数字作答).
【答案】 -28
【解析】 (x+y)8展开式的通项Tr+1=x8-ryr,r=0,1,…,7,8.令r=6,得T6+1=x2y6,令r=5,得T5+1=x3y5,所以(1-)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-=-28.
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,可以分别展开,再根据多项式乘法展开后合并同类项,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.
角度三 三项展开式
[例6] (++)5的展开式中整理后的常数项为 .
【答案】
【解析】 法一(因式分解法) (++)5=[]5=,故常数项为=.
法二(组合知识法) (++)5=[+(+)]5,Tk+1=()5-k(+)k.
其中(+)k的展开式通项为Tr+1=·()r= xk-2r.
要为常数项,应有k-2r=0,0≤k=2r≤5,0≤r≤,又r∈N,故r=0,1,2,相应的k=0,2,4.
当k=0时,T1=()5(+)0=4;
当r=1,k=2时,()3=20;
当r=2,k=4时,()1=.
故常数项为4+20+=.
法三(逐项展开法) 展开式的常数项可分为三类,第一类:5个多项式都取 ,()5=4;
第二类:3个多项式都取 ,1个取,1个取,()3()()=20;
第三类:1个多项式取 ,2个取,2个取,()1()2()2=.
故常数项为4+20+=.
(a+b+c)n展开式中特定项的求解方法.
[针对训练]
1.(角度二)(x2+ax-1)(1-x)6的展开式中x2的系数是-2,则实数a的值为( )
A.0 B.3
C.-1 D.-2
【答案】 D
【解析】 对(1-x)6,有Tk+1=(-x)k=(-1)k·xk,故(x2+ax-1)(1-x)6的展开式中x2的系数为+a×(-1)×+(-1)×(-1)2×=1-6a-15=-2,即a=-2.故选D.
2.(角度三)(2025·湖南长沙模拟)在(3x+y-1)8的展开式中,x2y的系数是( )
A.168 B.-168
C.1 512 D.-1 512
【答案】 D
【解析】 原问题可以理解为8个(3x+y-1)相乘,要想得到x2y,需要8个因式中有2个取x项,1个取y项,还剩5个取常数项,由题意x2y的系数为×32××1××(-1)5=-1 512.
故选D.
3.(角度一)(2025·河南洛阳模拟)(2x+)5+(-1)5的展开式中x的系数为 .
【答案】 70
【解析】 (2x+)5展开式的通项Tk+1=(2x)5-k·()k=·25-k·x5-2k(k=0,1,…,5),
令5-2k=1,得k=2,此时T3=·23·x=80x,
(-1)5展开式的通项Tr+1=()5-r(-1)r=(-1)r(r=0,1,…,5),
令=1,得r=3,此时T4=(-1)3x=-10x,所以展开式中x的系数为80-10=70.第3节 二项式定理
[学习目标]
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
(1)二项式定理:(a+b)n= ,n∈N*.
(2)二项展开式的通项:Tk+1= ,它表示通项为展开式的第 项.
(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数(k=0,1,2,…,n).
二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项加1直到n.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=
增减性 二项式系数 当k<(n∈N*)时,是 的
当k>(n∈N*)时,是 的
二项式系 数最大值 当n为偶数时,中间的一项取得最大值
当n为奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值
各二项式 系数的和 +++…+=2n
二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,也与a,b的值有关.
3.杨辉三角
下面的数表称为杨辉三角:
其中第n行是 .
在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即+++…=+++…=2n-1.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)an-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.( )
(2)(a+b)n的展开式中各项的二项式系数与a,b无关.( )
(3)通项Tk+1=an-kbk中的a和b不能互换.( )
(4)(a+b)n某项的系数是该项中非字母部分,包括符号等,与该项的二项式系数一般是不同的.( )
2.(人教A版选择性必修第三册P30例2(1)改编)(1-2x)4展开式中第3项的二项式系数为( )
A.6 B.-6
C.24 D.-24
3.(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3 T5(3)改编)(2x-y)4的展开式的中间一项为( )
A.24 B.-8
C.24x2y2 D.-8xy3
4.(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3 T2改编)(x+1)(x-2)6的展开式中x4的系数为( )
A.-100 B.-15
C.35 D.220
5.(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6 T5(2)改编)若二项式(x-)n的展开式中二项式系数和为64,那么该展开式中的常数项为 .
考点一 二项展开式中的特定项或特定项系数
[例1](1)(2025·河北沧州模拟)在(-)8的展开式中,常数项为7,则正数a=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)(2024·北京卷)在(x-)4的展开式中,x3的系数为( )
A.6 B.-6
C.12 D.-12
二项展开式的特定项问题,实质是考查对通项Tk+1=an-kbk的理解,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n).
(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项.
(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.
(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
注意:解题时注意二项式系数中n和k的隐含条件.使用二项展开式的通项时要注意:①通项表示的是第k+1项,而不是第k项;②通项中a和b的位置不能颠倒.
[针对训练]
(1)(2025·四川成都模拟)(2x-)n的展开式中,第5项为常数项,则正整数n等于( )
A.8 B.7
C.6 D.5
(2)在(2x3-)6的展开式中,x2项的系数为 .
(2)二项式(2x3-)6的展开式的通项为Tr+1=(2x3)6-r·(-)r=·26-r·(-1)r·x18-4r,令18-4r=2,得r=4,所以x2项的系数为·22×(-1)4=60.
考点二 二项式系数与项的系数的性质
角度一 二项式系数和与系数和
[例2](1)(多选题)(x+)7的展开式中,下列结论正确的是( )
A.展开式共7项
B.x项系数为280
C.各项系数和为2 187
D.二项式系数和为128
(2)(2022·北京卷)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=( )
A.40 B.41
C.-40 D.-41
(1)二项式系数和可直接利用性质+++…+=2n求解.
(2)系数和可利用赋值法求解.
一般地,对于多项式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n的展开式中各项的系数和为g(1),(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)+g(-1)],(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)-g(-1)].
(3)求特殊结构的和时需要灵活变形(包括逆用公式)或赋值.
角度二 二项式系数与项的系数的最值问题
[例3] 已知(1+3x2)n的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大992.求:
(1)展开式中二项式系数最大的项;
(2)展开式中系数最大的项.
(1)二项式系数最大值直接利用二项式系数的性质求解.
(2)二项展开式系数最大项的求法常采用不等式法.
如求(a+bx)n(a,b∈R,n∈N*)的展开式系数最大的项,一般是先用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用不等式组从而解出k.
(3)求系数最小项注意结合系数的符号与绝对值进行分析.
[针对训练]
1.(角度一)在(3x-)n的展开式中,各项系数和与二项式系数和之和为128,则( )
A.二项式系数和为32
B.各项系数和为128
C.常数项为-135
D.常数项为135
2.(角度一)(2025·四川乐山模拟)设(x+2 024)·(2x-1)2 023=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024,则+++…+=( )
A.1 B.-1
C.2 024 D.-2 024
3.(角度二)在(x-)5的展开式中,x3的系数等于-5,则该展开式各项的系数中最大值为 .
考点三 多项展开式的特定项问题
角度一 几个多项式和的展开式
[例4](2025·河南平顶山模拟)在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6的展开式中,含x3项的系数是( )
A.25 B.30
C.35 D.40
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6 T9.
对于几个多项式和的展开式中的特定项问题,就是分别展开然后合并同类项问题,求系数和时注意利用组合数的性质.
角度二 几个多项式积的展开式
[例5](2022·新高考Ⅰ卷) (1-)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 (用数字作答).
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,可以分别展开,再根据多项式乘法展开后合并同类项,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.
角度三 三项展开式
[例6] (++)5的展开式中整理后的常数项为 .
(a+b+c)n展开式中特定项的求解方法.
[针对训练]
1.(角度二)(x2+ax-1)(1-x)6的展开式中x2的系数是-2,则实数a的值为( )
A.0 B.3
C.-1 D.-2
2.(角度三)(2025·湖南长沙模拟)在(3x+y-1)8的展开式中,x2y的系数是( )
A.168 B.-168
C.1 512 D.-1 512
3.(角度一)(2025·河南洛阳模拟)(2x+)5+(-1)5的展开式中x的系数为 .
