第4节 随机事件、频率与概率
[学习目标]
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,理解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.
1.有限样本空间与随机事件
样本 点和 有限 样本 空间 随机 试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示
有限样 本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间
随机 事件 定义 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件
表示 大写字母A,B,C,…
随机事 件的极 端情形 必然事件、不可能事件
2.事件的关系和运算
项 目 定义 表示法 图示
包 含 关 系 一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A (或A B)
一般地,事件A与事件B至少有一个发生,称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A+B)
一般地,事件A与事件B同时发生,称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB)
一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B=
互 为 对 立 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为 A∩B=, 且A∪B=Ω
(1)互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件.
(2)从集合的角度理解互斥事件和对立事件.
①几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集;
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
3.频率与概率
频率的 稳定性 一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性
频率稳定 性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A)
概率是一个常数,是一个理论值,不随试验次数的变化而变化,而频率是一个试验值,随着试验次数的改变而改变,是一个变量.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.( )
(3)事件A与B的和事件包含的样本点个数一定大于事件A包含的样本点个数.( )
(4)若A∪B是必然事件,则A与B是对立事件.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.下列事件:①在足球赛中,弱队战胜强队;②买一张电影票,座位号是奇数;③任取两个正整数,其和大于1;④长分别为3 cm,5 cm,9 cm的三条线段能围成一个三角形.其中随机事件的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】 B
【解析】 ①②为随机事件;③是必然事件;④为不可能事件.故选B.
3.(人教A版必修第二册P235练习T1改编)某人打靶时连续射击两次,事件“两次都中靶”的对立事件是( )
A.至多有一次中靶
B.至少有一次中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶
【答案】 A
【解析】 根据对立事件的定义可得,事件“两次都中靶”的对立事件是至多有一次中靶.故选A.
4.(多选题)(人教A版必修第二册P235练习T2改编)掷一枚质地均匀的骰子,记“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则( )
A.A B
B.A=B
C.A∩B表示向上的点数是2
D.A∪B表示向上的点数是1或2或3
【答案】 CD
【解析】 由题可知,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,所以事件B不包含事件A,故A错误;事件B也不等于事件A,故B错误;事件A∩B表示“向上的点数是2”,故C正确;事件A∪B表示“向上的点数是1或2或3”,故D正确.故选CD.
5.(人教A版必修第二册P257练习T1改编)把一枚质地均匀的硬币连续抛掷了1 000次,其中有498次正面向上,502次反面向上,则可认为抛掷一次硬币正面向上的概率为 .
【答案】 0.5
【解析】 因为硬币质地均匀,故抛掷一次硬币正面向上的概率为0.5.
考点一 有限样本空间与随机事件
[例1](1)从正五边形的五个顶点中,随机选择三个顶点连成三角形,记“这个三角形是等腰三角形”为事件A,则下列推断正确的是( )
A.事件A发生的概率等于
B.事件A发生的概率等于
C.事件A是不可能事件
D.事件A是必然事件
(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点个数为 ( )
A.5 B.6
C.7 D.8
【答案】 (1)D (2)D
【解析】 (1)根据正五边形的性质,可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形,所以事件A是必然事件.故选D.
(2)因为是有放回地随机摸3次,因此样本点个数为2的3次方,样本空间如下:Ω={(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(红,黑,黑),(黑,红,红),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)},共8个.
故选D.
确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件.
(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
[针对训练]
(1)在12件同类产品中,有10件合格品和2件次品,从中任意抽出3件.其中为必然事件的是( )
A.3件都是合格品
B.至少有1件是次品
C.3件都是次品
D.至少有1件是合格品
(2)同时投掷两枚大小完全相同的骰子,用(x,y)表示结果,记A为“所得点数之和小于6”,则事件A包含的基本事件的个数为 .
【答案】 (1)D (2)10
【解析】 (1)在12件同类产品中,有10件合格品和2件次品,从中任意抽出3件,次品的个数可能为0,1,2,合格品的个数分别为3,2,1,因此只有“至少有1件合格品”一定会发生,它是必然事件,A,B两个选项中的事件都有可能不发生,C选项为不可能事件.故选D.
(2)由题设,事件A包含的基本事件为(1,4),(1,3),(1,2),(1,1),(2,3),(2,2),(2,1),(3,2),(3,1),(4,1),共10个.
考点二 事件的关系和运算
[例2] (1)某小组有2名男生和1名女生,从中任选2名学生参加比赛,事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生” ( )
A.是对立事件
B.都是不可能事件
C.是互斥事件但不是对立事件
D.不是互斥事件
(2)对空中移动的目标连续射击两次,设A=“两次都击中目标”,B=“两次都没击中目标”,C=“恰有一次击中目标”,D=“至少有一次击中目标”,下列关系不正确的是( )
A.A D B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪C=B∪D
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版必修第二册P235练习T1.
【答案】 (1)D (2)D
【解析】 (1)根据题意,从2名男生和1名女生中任选2名学生参加比赛,有“2名男生”和“1名男生和1名女生”两种情况,易得“至少有1名女生”,即“1名男生和1名女生”包含于事件“至少有1名男生”,故事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”不是互斥事件.
故选D.
(2)对于选项A,事件A包含于事件D,故A正确;对于选项B,由于事件B,D不能同时发生,故B∩D=,故B正确;对于选项C,由题意知C正确;对于选项D,由于A∪C=D=“至少有一次击中目标”,不是必然事件;而B∪D为必然事件,所以A∪C≠B∪D,故D不正确.故选D.
(1)互斥事件、对立事件的判定方法.
①利用基本概念;
②利用集合的观点.
(2)互斥事件、对立事件两者的区别及联系.
两个事件A与B是互斥事件,有如下三种情况:
①若事件A发生,则事件B就不发生;
②若事件B发生,则事件A就不发生;
③事件A,B都不发生.
两个事件A与B是对立事件,仅有前两种情况.因此,互斥未必对立,但对立一定互斥.
[针对训练]
(1)一个袋子里装有大小、质地完全相同的2个红球和2个黑球,甲、乙每人随机不放回地取1个球,则互斥且不对立的两个事件是( )
A.“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”
B.“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”
C.“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”
D.“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”
(2)如图,甲、乙两个元件串联构成一段电路,事件M=“甲元件故障”,N=“乙元件故障”,则表示该段电路没有故障的事件为( )
A.M∪N B.M∩N
C.∪ D.∩
【答案】 (1)C (2)D
【解析】 (1)A选项,“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”是对立事件,故A错误;
B选项,“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”可以同时发生,不是互斥事件,故B
错误;
C选项,“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件,故C正确;
D选项,“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”可以同时发生,不是互斥事件,故D错误.故选C.
(2)因为甲、乙两个元件串联,该段电路没有故障,即甲、乙两个元件都没有故障,即事件和同时发生,即∩事件发生.故选D.
考点三 随机事件的频率与概率
[例3] (2025·浙江杭州模拟)某商场计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶8元,售价每瓶10元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为400瓶;如果最高气温低于20,需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 1 17 38 22 7 5
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率,并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
【解】 (1)由前三年六月份各天的最高气温数据,
得到最高气温位于区间[20,25)和最高气温低于20的天数为1+17+38=56,
所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率P==;
前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量为
×[(22+7+5)×600+38×400+(1+17)×300]=≈456(瓶).
(2)当最高气温大于等于25 ℃时,需求量为600瓶,Y=550×2=1 100(元),
当最高气温在[20,25)℃时,需求量为400瓶,Y=400×2-(550-400)×4=200(元),
当最高气温低于20 ℃时,需求量为300瓶,Y=300×2-(550-300)×4=-400(元),
当最高气温大于等于20 ℃时,Y>0,
由前三年六月份各天的最高气温数据,得最高气温大于等于20 ℃的天数有90-(1+17)=72,
所以估计Y大于零的概率P==.
(1)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
(2)利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐稳定于某一个常数,这个常数就是概率.
[针对训练]
如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时 间/min 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60
选择L1 的人数 6 12 18 12 12
选择L2 的人数 0 4 16 16 4
(1)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(2)现甲、乙两人分别有40 min和50 min用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径(将频率视为概率).
【解】 (1)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为
所用时 间/min 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60
选择L1的 频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
选择L2的 频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(2)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40 min内赶到火车站;
B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50 min内赶到火车站.
由(1)知,P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,
P(A2)=0.1+0.4=0.5,
因为P(A1)>P(A2),所以甲应选择路径L1;
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
因为P(B1)
[学习目标]
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,理解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.
1.有限样本空间与随机事件
样本 点和 有限 样本 空间 随机 试验 我们把对 的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示
有限样 本空间 我们把随机试验E的每个可能的 称为样本点,全体样本点的 称为试验E的样本空间.一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为
随机 事件 定义 我们将样本空间Ω的 称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为
表示 大写字母A,B,C,…
随机事 件的极 端情形 必然事件、不可能事件
2.事件的关系和运算
项 目 定义 表示法 图示
包 含 关 系 一般地,若事件A发生,则事件B ,我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) (或A B)
一般地,事件A与事件B至少有一个发生,称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) (或A+B)
一般地,事件A与事件B同时发生,称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) (或AB)
一般地,如果事件A与事件B ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B=
互 为 对 立 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中 ,称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为 A∩B= , 且A∪B=
(1)互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件.
(2)从集合的角度理解互斥事件和对立事件.
①几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集;
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
3.频率与概率
频率的 稳定性 一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性
频率稳定 性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A)
概率是一个常数,是一个理论值,不随试验次数的变化而变化,而频率是一个试验值,随着试验次数的改变而改变,是一个变量.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.( )
(3)事件A与B的和事件包含的样本点个数一定大于事件A包含的样本点个数.( )
(4)若A∪B是必然事件,则A与B是对立事件.( )
2.下列事件:①在足球赛中,弱队战胜强队;②买一张电影票,座位号是奇数;③任取两个正整数,其和大于1;④长分别为3 cm,5 cm,9 cm的三条线段能围成一个三角形.其中随机事件的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.(人教A版必修第二册P235练习T1改编)某人打靶时连续射击两次,事件“两次都中靶”的对立事件是( )
A.至多有一次中靶
B.至少有一次中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶
4.(多选题)(人教A版必修第二册P235练习T2改编)掷一枚质地均匀的骰子,记“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则( )
A.A B
B.A=B
C.A∩B表示向上的点数是2
D.A∪B表示向上的点数是1或2或3
5.(人教A版必修第二册P257练习T1改编)把一枚质地均匀的硬币连续抛掷了1 000次,其中有498次正面向上,502次反面向上,则可认为抛掷一次硬币正面向上的概率为 .
考点一 有限样本空间与随机事件
[例1](1)从正五边形的五个顶点中,随机选择三个顶点连成三角形,记“这个三角形是等腰三角形”为事件A,则下列推断正确的是( )
A.事件A发生的概率等于
B.事件A发生的概率等于
C.事件A是不可能事件
D.事件A是必然事件
(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点个数为 ( )
A.5 B.6
C.7 D.8
确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件.
(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
[针对训练]
(1)在12件同类产品中,有10件合格品和2件次品,从中任意抽出3件.其中为必然事件的是( )
A.3件都是合格品
B.至少有1件是次品
C.3件都是次品
D.至少有1件是合格品
(2)同时投掷两枚大小完全相同的骰子,用(x,y)表示结果,记A为“所得点数之和小于6”,则事件A包含的基本事件的个数为 .
考点二 事件的关系和运算
[例2] (1)某小组有2名男生和1名女生,从中任选2名学生参加比赛,事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生” ( )
A.是对立事件
B.都是不可能事件
C.是互斥事件但不是对立事件
D.不是互斥事件
(2)对空中移动的目标连续射击两次,设A=“两次都击中目标”,B=“两次都没击中目标”,C=“恰有一次击中目标”,D=“至少有一次击中目标”,下列关系不正确的是( )
A.A D B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪C=B∪D
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版必修第二册P235练习T1.
(1)互斥事件、对立事件的判定方法.
①利用基本概念;
②利用集合的观点.
(2)互斥事件、对立事件两者的区别及联系.
两个事件A与B是互斥事件,有如下三种情况:
①若事件A发生,则事件B就不发生;
②若事件B发生,则事件A就不发生;
③事件A,B都不发生.
两个事件A与B是对立事件,仅有前两种情况.因此,互斥未必对立,但对立一定互斥.
[针对训练]
(1)一个袋子里装有大小、质地完全相同的2个红球和2个黑球,甲、乙每人随机不放回地取1个球,则互斥且不对立的两个事件是( )
A.“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”
B.“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”
C.“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”
D.“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”
(2)如图,甲、乙两个元件串联构成一段电路,事件M=“甲元件故障”,N=“乙元件故障”,则表示该段电路没有故障的事件为( )
A.M∪N B.M∩N
C.∪ D.∩
考点三 随机事件的频率与概率
[例3] (2025·浙江杭州模拟)某商场计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶8元,售价每瓶10元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为400瓶;如果最高气温低于20,需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 1 17 38 22 7 5
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率,并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
(1)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
(2)利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐稳定于某一个常数,这个常数就是概率.
[针对训练]
如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时 间/min 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60
选择L1 的人数 6 12 18 12 12
选择L2 的人数 0 4 16 16 4
(1)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(2)现甲、乙两人分别有40 min和50 min用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径(将频率视为概率).