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浙江省温州市鹿城区2025-2026学年第一学期九年级数学期中复习试卷（解析版）
范围：1-3章 满分：120分 考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．二次函数y=4（x﹣3）2+7的顶点为（ ）
A．（-3，-7） B．（3，7） C．（-3，7） D．（3，-7）
【答案】B
【分析】由抛物线解析式可求得答案．
【详解】∵y＝4（x﹣3）2+7，
∴顶点坐标为（3，7），
故选B．
2．在中，，，．以点C为圆心，4为半径画圆，则（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点B在圆上 D．点B在圆外
【答案】C
【分析】先由勾股定理求得，再由和，的大小关系即可判断点和点与的位置关系．
【详解】解：，，．
，
，，，
可得点在内，点在上．
故选：C．
有一个不透明的盒子中装有 个除颜色外完全相同的球，这 个球中只有3个红球，
若每次将球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，
发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则 的值大约是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】B
【详解】解：由题意得，×100％=20％，
解得，a=15.
故选：B.
如图，已知，，是的半径，连接，交于点D，
设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆中半径相等，得到角相等，再把α，β，γ转化到中，根据内角和定理解答即可．
【详解】解：，，是的半径，
，
，
，，
中，，
即，
故选：B．
5. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，
则甲被选中的概率为．
故选：C．
一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，
当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高是，
若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立坐标系，利用二次函数的顶点式求解判断
【详解】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y=+3
将（0，0）代入解析式得a＝，
∴抛物线解析式为y=，
当x＝10时，y＝，
∵＜2.44，满足题意，
故选：A．
7．如图，在中，点是上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在优弧上找一点，连接，根据圆内接四边形对角互补求得，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，优弧上找一点，连接
∵
∴，
∵，
∴，
故选：D．
如图，有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．
现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，
搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，
两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为，然后根据概率公式求解即可，熟练掌握概率公式为解题的关键．
【详解】解：分别用表示哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁张卡片，
画出树状图，
共有种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数为，
∴两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为，
故选：．
某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了
如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．
请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，，过圆心，连接，，
，
∵，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选：B．
10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
给出下列结论：①abc＜0；②4a+c＞2b；③4a+2b≥m（am+b）（m为常数）；④3b﹣2c＞0．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确．
由图知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
∴4a+c＜2b，故②错误，
由图知，抛物线开口向下，对称轴为x＝2，
∴抛物线有最大值为：4a+2b+c，
∴4a+2b+c≥m（am+b）+c，
∴4a+2b≥m（am+b），故③正确．
∵2，
∴b＝﹣4a，
∵图象过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故④正确．
故选：C．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．一个路口的交通信号灯按红、绿、黄三种颜色顺序循环切换，其中红灯、绿灯、黄灯每次持续时间
分别为60秒，57秒，3秒，则经过这个路口时刚好是红灯的概率是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了概率公式的应用，根据红灯、绿灯、黄灯每次持续时间分别为60秒，57秒，3秒可求得一次循环亮灯的总时间，再根据概率公式即可求得．
【详解】解：经过这个路口时刚好是红灯的概率是：，
故答案为：．
12．请写一个二次函数，满足以下两个条件：
（1）函数图象的开口向上；（2）函数图象经过点（0，2）．
该二次函数的表达式为 ．
【分析】根据题意可知a＞0，可设抛物线的解析式为y＝x2+c，将（0，2），代入即可求出c的值．
【解答】解：设y＝x2+c，
将（0，2）代入y＝x2+c，
∴c＝2，
∴y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2（本题答案不唯一）．
如图，是慈溪近日才通行的跨潮塘江大桥．该桥是明月湖基础设施工程的标志性建筑，
采用七跨连续拱梁组合．最大桥拱跨径为米，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为米，则拱桥半径为 米．
【答案】
【分析】本题考查垂径定理及勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；能够构造出由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算是解题关键．设，根据即可求解；
【详解】解：，
，
设米，则在中，
则
解得：，
故答案为：
14．让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是4的概率等于 ．
【答案】
【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，先列表得到所有等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
1 2 3 4
1
2
3
4
由表知，共有16种等可能的结果数，其中两个数的和是4的为，，，有3种，
∴两个数的和是4的概率为，
故答案为：．
如图1，某地大桥桥拱形状近似抛物线，其高度约为20米，跨度为120米，
以桥底部（正好为水面）所在直线为轴，以桥拱最高点到水面的垂线的垂足为原点O
建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 ．
【答案】
【分析】设抛物线解析式为，根据题意可得，抛物线与x轴两交点坐标分别为、，代入即可求出．
【详解】解：设抛物线解析式为，
由题意可知：，抛物线与x轴两交点坐标分别为、，
把、，代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
故答案为：．
16. 当时，二次函数的最小值为，则的值为______．
【答案】或##3或
【解析】
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：当时，有，
解得：．
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大，
当时，函数有最小值，分两种情况讨论：
若时，当时，的最小值是，
若时，当时，的最小值是，
，
解得，
故答案为：或．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．第19届亚运会于2023年10月8日在杭州结束，如图，有3张分别印有杭州亚运会的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，
求下列事件发生的概率．
(1)第一次取出的卡片图案为“B琮琮”的概率为______；
(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是：
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，第一次取出的卡片图案为“琮琮”的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的结果有：
，，，，，共5种，
取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的概率为．
如图，如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
若∠AOD＝62°，求的度数；
若OC＝6，OA＝10，求的长．
【答案】(1)∠DEB=31°；
(2)AB=16．
【分析】（1）先根据垂径定理得到，然后利用圆周角定理得到∠DEB=∠AOD；
（2）根据垂径定理得到AC=BC，然后利用勾股定理计算出AC即可．
【详解】（1）解：∵OD⊥AB，
∴，
∴∠DEB=∠AOD=×62°=31°；
（2）解：∵OD⊥AB，
∴AC=BC，
∵OC=6，OA=10，
∴在Rt△OAC中，AC==8，
∴AB=2AC=16．
已知二次函数的图象经过点．
求该二次函数的表达式；
求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象上点的坐标特征．
（1）把两已知点的坐标代入得b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到二次函数解析式；
（2）通过解方程得到抛物线与x轴的交点坐标．
【详解】（1）解：把分别代入得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：当时，，
解得，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为．
20下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率
(1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率；
(2)图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率；
(3)图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，
请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了由频率估计概率，几何概率，列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握各概率的求法是解题的关键．
（1）根据折线统计图，用频率估计概率即可；
（2）用丁区域的圆心角度数除360度即可；
（3）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，然后找出两名同学选中同一名著的结果数，最后根据概率公式计算概率即可．
【详解】（1）解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在，
∴；
（2）解：；
（3）解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D，
根据题意可列表如下：
A B C D
A AA AB AC AD
B BA BB BC BD
C CA CB CC CD
D DA DB DC DD
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种，
∴．
21．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点．
(1)求证：为的中点．
(2)若＝，＝，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质是解此题的关键．
（1）根据已知可得，根据垂径定理，即可求解；
（2）根据勾股定理求得，进而根据（1）的结论可得是的中位线，求得，进而求得，即可求解．
【详解】（1）证明：是半圆的直径，
＝，
，
，
，
是半圆的半径，
为的中点；
（2）解：由（1）可知，＝，
是半圆的直径，
＝＝＝＝，
由（）可知，为的中点，
是的中位线，
＝＝，
＝﹣＝﹣＝，
即的长为．
随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，
一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，
当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．
设每组手办降价元．
用的代数式表示：
① 每一组手办的利润是________．
② 每天可销售的手办组数是________．
(2) 当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？
(3) 当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)①；②
(2)每组手办降价5元时利润可以为3500元
(3)当时，有利润的最大值为3600元
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
（1）根据题意可得手办利润=售价-成本，手办组数=原定卖出的组数+每降价后增加的组数；
（2）根据利润关系可以列，计算结果即可；
（3）设每天的利润为，根据题意可以列解析式，再化为顶点式即可得出结果．
【详解】（1）解：①根据售价-成本-降价=利润可得：（元），
②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元，
故答案为：①；②
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元．
（3）每天的利润为，
则
，
当时，有利润的最大值为3600元．
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，
若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？
若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
解（1）抛物线经过点两点，代入得：
，解得：
则抛物线的解析式为；
（2）由抛物线可知，
因此，设直线BC的解析式为：
代入得
解得：
则直线BC的解析式：
已知点M的横坐标为m，且轴，则；
则
故MN的长为；
（3）存在点M，使的面积最大
如图，过点M作轴于点D
则
即
由二次函数的性质可知：当时，随m的增大而增大；
当时，随m的增大而减小
则当时，的面积最大，最大值为.
24．如图1，四边形内接于，是的中点，连结．
【初步尝试】
（1）在弦上有一点D，且，连结，求证：；
【变式应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，若恰为的直径，且，求弦的长；
【拓展延伸】
如图3，若恰为的直径，过点E作，交的延长线于点，
求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意得，结合同弧所对的圆周角相等得，即可证明；
（2）过点E作，交于点F，则，可得，则有，结合等腰三角形的性质得，可得；
（3）连结，过E作交于点M，设，利用勾股定理得，根据题意得，可证明和，则和，再次利用勾股定理即可求得x，即可求得．
【详解】（1）证明：为的中点，
．
又，，
，
（2）解：过点E作，交于点F，如图，
为的中点，为的直径，
，
，
，
，
，
，
．
；
（3）连结，过E作交于点M，如图，
设，
，
，
．
为的中点，
．
又，
，
．
，
∵，
∴，
∴，
又为的直径，
，
即．
解得：，
．
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浙江省温州市鹿城区2025-2026学年第一学期九年级数学期中复习试卷
范围：1-3章 满分：120分 考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．二次函数y=4（x﹣3）2+7的顶点为（ ）
A．（-3，-7） B．（3，7） C．（-3，7） D．（3，-7）
2．在中，，，．以点C为圆心，4为半径画圆，则（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点B在圆上 D．点B在圆外
有一个不透明的盒子中装有 个除颜色外完全相同的球，这 个球中只有3个红球，
若每次将球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，
发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则 的值大约是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
如图，已知，，是的半径，连接，交于点D，
设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，
当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高是，
若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，点是上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
如图，有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．
现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，
搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，
两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ）
A． B． C． D．
某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了
如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．
请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A． B． C． D．
10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
给出下列结论：①abc＜0；②4a+c＞2b；③4a+2b≥m（am+b）（m为常数）；④3b﹣2c＞0．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．一个路口的交通信号灯按红、绿、黄三种颜色顺序循环切换，其中红灯、绿灯、黄灯每次持续时间
分别为60秒，57秒，3秒，则经过这个路口时刚好是红灯的概率是 ．
12．请写一个二次函数，满足以下两个条件：
（1）函数图象的开口向上；（2）函数图象经过点（0，2）．
该二次函数的表达式为 ．
如图，是慈溪近日才通行的跨潮塘江大桥．该桥是明月湖基础设施工程的标志性建筑，
采用七跨连续拱梁组合．最大桥拱跨径为米，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为米，则拱桥半径为 米．
14．让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是4的概率等于 ．
如图1，某地大桥桥拱形状近似抛物线，其高度约为20米，跨度为120米，
以桥底部（正好为水面）所在直线为轴，以桥拱最高点到水面的垂线的垂足为原点O
建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 ．
16. 当时，二次函数的最小值为，则的值为______．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．第19届亚运会于2023年10月8日在杭州结束，如图，有3张分别印有杭州亚运会的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，
求下列事件发生的概率．
(1)第一次取出的卡片图案为“B琮琮”的概率为______；
(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的概率．
如图，如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
若∠AOD＝62°，求的度数；
若OC＝6，OA＝10，求的长．
已知二次函数的图象经过点．
求该二次函数的表达式；
求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标．
20下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率
(1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率；
(2)图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率；
(3)图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，
请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率．
21．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点．
(1)求证：为的中点．
(2)若＝，＝，求的长．
随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，
一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，
当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．
设每组手办降价元．
用的代数式表示：
① 每一组手办的利润是________．
② 每天可销售的手办组数是________．
(2) 当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？
(3) 当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，
若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？
若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
24．如图1，四边形内接于，是的中点，连结．
【初步尝试】
（1）在弦上有一点D，且，连结，求证：；
【变式应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，若恰为的直径，且，求弦的长；
【拓展延伸】
如图3，若恰为的直径，过点E作，交的延长线于点，
求的长．
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