第五章 一元一次方程
5.1从算式到方程
5.1.1 方程
※教学目标※
1.初步认识一元一次方程的特征，形成一元一次方程的概念.（重点）
2.理解方程的解的概念，会检验一个数是不是方程的解.
3.能够在实际应用题中寻找相等关系，正确列出方程.（难点）
※教学过程※
一、新课导入
[复习导入]小学我们已经学过了简易方程，知道方程的概念，判断下面各式是不是方程（是方程的画“√”不是方程的画“×”）
(1)3x-5=x;( √ ) (2)5+4=4+5;( × )
(3)4-2x; ( × ) (4) x +y=1;( √ ) (5)16-5<10;( × )
本节课我们就在此基础上，进一步展开对方程的探究与学习.
二、新知探究
（一）方程
[提出问题]用不同方法解题.
甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后,甲队在途中追上乙队
算术法：分析：求甲队多长时间在途中追上乙队，根据题意列出等量关系，追及的时间=路程差÷速度差，所以路程差为__3-1=2____ （km），速度差为___1.2-0.8=0.4_____（km/h）所以追及的时间为_____2÷0.4=5___（h），即_5_h后，甲队在途中追上乙队.
方程法：
分析：如果设两队行进的时间为xh，根据“路程=速度×时间”，甲队和乙队的行进路程可以分别表示为1.2x km和0. 8x km，从而甲、乙两队距大本营的路程可以分别表示为(1.2x+1) km和(0. 8x+3) km.
当甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程，因此可列方程1.2x+1=0.8x+3.
[解答]学生们思考问题，老师带领学生梳理两种解题思路，完成填空.
[提出问题]用买12个大水杯的钱，可以买16个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元
分析：如果设大水杯的单价为x元，那么小水杯的单价为(x-5) 元.因为用买12个大水杯的钱，可以买16个小水杯，所以可列方程12x=16(x-5).
[提出问题]如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是4000mm2.长和宽的比为8:5(即宽是长的5/8).这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米
分析：如果设这枚纪念币的长为x mm,则纪念币的宽
可以表示为 x mm，面积可以表示为 x2 mm2.已知纪念币的面积为4000mm2， 所以x2=4000.
[交流讨论]学生们思考问题，分组讨论解决问题，完成填空，教师提问并订正.
[归纳总结]像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程.
[课件展示]拓展知识：1.在我国古代，一般用“天元”“地元”“人元”“物元”等表示未知数.17世纪，法国数学家笛卡儿最早使用x,y, z等字母表示未知数，这种做法一直沿用至今.
2.汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题.我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”.19世纪50年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation (指含有未知数的等式）一词译为“方程”.
[典型例题]例1 根据下列问题， 设未知数并列出方程:
(1)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生
(2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500 m2，求正方形绿地的边长.
解: (1)设这所学校的学生数为x,那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x.根据,“女生比男生多80人”，列得方程
0.52x-(1-0.52)x=80.
(2)设正方形绿地的边长为x，那么扩大后的绿地面积为(x2+5x)m2.根据“扩大后的绿地面积是500 m2”，列得方程
x2+5x =500.
[提出问题]你能解释这些方程的左边、右边各表示什么意思吗 由此体会如何根据相等关系列方程.
[归纳总结]分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.这个过程可以表示如下:
（二）方程的解及一元一次方程
[过渡]列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出方程中未知数的值.
对于本章开头探索问题中列出的方程1. 2x+1=0.8x+3，可以发现，当x=5时，左边=1.2X5+1=7,右边=0.8X5+3=7，这时方程左、右两边的值相等.
[归纳总结]一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.例如，x=5就是方程1. 2x+1=0.8x+3的解.求方程的解的过程，叫作解方程.
[典型例题]例2 (1) x=2，x=3/2是方程2x=3的解吗
解:当x=2时，方程2x=3的左边=2×2=4，右边=3，方程左、右两边的值不相等，所以x=2不是方程2x=3的解;
当x=3/2时，方程2x=3的左边=2×3/2=3，右边=3，方程左、右两边的值相等，所以x=3/2是方程2x=3的解.
(2) x=10，x=20是方程12x=16(x -5)的解吗
解:(2)当x=10时，方程12x=16(x-5)的左边= 12×10=120，右边=16×（10-5）=80，方程左、右两边的值不相等，所以x=10不是方程 12x=16(x-5)的解.
当x=20时，方程12x=16(x-5)的左边=12×20=240，右边=16×(20- 5)=240，方程左、右两边的值相等，所以x=20是方程12x=16(x -5)的解.
思考1：x=60是方程x2=4000的解吗 x=80呢
方程有多种类型，本章我们先来研究一类最简单的方程.
思考2：观察方程
1.2x+1=0.8x+3，12x=16(x -5)， 0.52x-(1-0.52)x=80,它们有什么共同特征
[提出问题]通过观察：请用自己的语言归纳出一元一次方程的定义.并说说判断一元一次方程需要满足哪些条件？
[归纳总结]一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.
三、课堂小结
1.本节主要学习方程和一元一次方程的概念及方程的解的定义，并能利用定义解题.
2.能正确找出题目中的等量关系，并用式子表示，列出方程.
3.注意区分方程的解与解方程，注意判断一元一次方程需要满足的条件.
四、课堂训练
1.下列方程中，是一元一次方程的是 ( D )
2.下列方程中，解是 x＝2 的方程是 ( D )
3.如果5xm-1＝8是一元一次方程，那么m＝____2____.
4.若关于x的方程ax－6＝2的解为x＝4，则a＝___2__.
5.列方程.
（1）一台计算机已使用 1700 h，预计每月再使用 150 h，经过多少个月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间 2400 h？
解：设 x 个月后这台计算机的使用时间达到 2400 h.
列方程：1700 + 150x＝2400.
（2）甲、乙两队开展足球对抗赛, 规定每队胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分.甲队与乙队一共比赛了10场, 甲队保持了不败记录, 一共得了22 分, 甲队胜了多少场 平了多少场？
解：设甲队胜了x场，平了(10 -x)场.
列方程：3x+(10－x)=22.
五、布置作业
※教学反思※
作为一元一次方程章节的第一个课时，需要注意做好铺垫和预设，只有这节课铺垫好，搭好单元整体式框架，才能更加容易激发学生的求知欲，培养系统性的思维.一元一次方程是最简单的方程，也是代数方程的基础，学生第一次系统性学习方程，用列方程的方法解决问题，个别学生“模型化”的思想较为薄弱，所以在教学内容的选取和教学时要注意加强探究和互动，关注到不同程度的学生，多引导学生.(共24张PPT)
第五章 一元一次方程
5.1 从算式到方程
人教版-数学-七年级上册
5.1.1 方程
学习目标
1.初步认识一元一次方程的特征，形成一元一次方程的概念.【重点】
2.理解方程的解的概念，会检验一个数是不是方程的解.
3.能够在实际应用题中寻找相等关系，正确列出方程.【难点】
新课导入
小学我们已经学过了简易方程，知道方程的概念，判断下面各式是不是方程（是方程的画“√”不是方程的画“×”）
(1)3x-5=x;( √ ) (2)5+4=4+5;( × )
(3)4-2x; ( × ) (4) x +y=1;( √ ) (5)16-5<10;( × )
新知探究
知识点 方程
1
探究： 用不同方法解题.
甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后,甲队在途中追上乙队
新知探究
分析：求甲队多长时间在途中追上乙队，根据题意列出等量关系，追及的时间=路程差÷速度差，所以路程差为_________ （km），速度差为________ _（km/h）所以追及的时间为_________（h），即___h后，甲队在途中追上乙队.
算术法
1.2-0.8=0.4
2÷0.4=5
5
新知探究
列方程思路分析：
列方程
找等量关系
设未知数
一般设所求
甲队距大本营的路程＝乙队距大本营的路程（甲队追上乙队）
路程＝时间×速度
方程法
新知探究
分析：如果设两队行进的时间为xh，根据“路程=速度×时间”，甲队和乙队的行进路程可以分别表示为1.2x km和0. 8x km，从而甲、乙两队距大本营的路程可以分别表示为(1.2x+1) km和(0. 8x+3) km.
当甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程，因此可列方程1.2x+1=0.8x+3.
方程法
新知探究
问题1 用买12个大水杯的钱，可以买16个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元
分析：如果设大水杯的单价为x元，那么小水杯的单价为(x-5) 元.因为用买12个大水杯的钱，可以买16个小水杯，所以可列方程12x=16(x-5).
新知探究
新知探究
概念归纳
★像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程(equation).
新知探究
李善兰（1811-1882）
★拓展知识：1.在我国古代，一般用“天元”“地元”“人元”“物元”等表示未知数.17世纪，法国数学家笛卡儿最早使用x,y, z等字母表示未知数，这种做法一直沿用至今.
笛卡尔（1596-1650）
★2.汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题.我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”.19世纪50年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation (指含有未知数的等式）一词译为“方程”.
新知探究
例1 根据下列问题， 设未知数并列出方程:
(1)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生
(2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500 m2，求正方形绿地的边长.
5m
新知探究
解: (1)设这所学校的学生数为x,那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x.根据,“女生比男生多80人”，列得方程
0.52x-(1-0.52)x=80.
(2)设正方形绿地的边长为x，那么扩大后的绿地面积为(x2+5x)m2.根据“扩大后的绿地面积是500 m2”，列得方程
x2+5x =500.
你能解释这些方程
的左边、右边各表示什么意思吗 由此体会如何根据相等关系列方程.
新知探究
概念归纳
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.这个过程可以表示如下:
实际问题
方程
设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系
新知探究
知识点 方程的解及一元一次方程
2
列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出方程中未知数的值.
对于本章开头探索问题中列出的方程1. 2x+1=0.8x+3，可以发现，当x=5时，左边=1.2X5+1=7,右边=0.8X5+3=7，这时方程左、右两边的值相等.
★一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解( solution).例如，x=5就是方程1. 2x+1=0.8x+3的解.求方程的解的过程，叫作解方程.
新知探究
新知探究
例2 (2) x=10，x=20是方程12x=16(x -5)的解吗
解:当x=10时，方程12x=16(x-5)的左边= 12×10=120，右边=16×（10-5）=80，方程左、右两边的值不相等，所以x=10不是方程 12x=16(x-5)的解.
当x=20时，方程12x=16(x-5)的左边=12×20=240，右边=16×(20- 5)=240，方程左、右两边的值相等，所以x=20是方程12x=16(x -5)的解.
新知探究
方程有多种类型，本章我们先来研究一类最简单的方程.
思考2：观察方程
1.2x+1=0.8x+3，12x=16(x -5)， 0.52x-(1-0.52)x=80,它们有什么共同特征
新知探究
概念归纳
概念归纳
通过观察：请用自己的语言归纳出一元一次方程的定义.并说说判断一元一次方程需要满足哪些条件？
★一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.
课堂小结
1.本节主要学习方程和一元一次方程的概念及方程的解的定义， 并能利用定义解题．
3.注意区分方程的解与解方程，注意判断一元一次方程需要满足的条件.
2.能正确找出题目中的等量关系，并用式子表示，列出方程.
课堂训练
1.下列方程中，是一元一次方程的是 ( )
D
2.下列方程中，解是 x＝2 的方程是 ( )
D
课堂训练
3．如果5xm-1＝8是一元一次方程，那么m＝________.
4．若关于x的方程ax－6＝2的解为x＝4，则a＝_____.
2
2
课堂训练
5.列方程.
（1）一台计算机已使用 1700 h，预计每月再使用 150 h，经过多少个月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间 2400 h？
解：（1）设 x 个月后这台计算机的使用时间达到 2400 h.
列方程：1700 + 150x＝2400.
课堂训练
（2）甲、乙两队开展足球对抗赛, 规定每队胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分.甲队与乙队一共比赛了10场, 甲队保持了不败记录, 一共得了22 分, 甲队胜了多少场 平了多少场
解：设甲队胜了x场，平了(10 -x)场.
列方程：3x+(10－x)=22.
