第五章 一元一次方程
5.3实际问题与一元一次方程
第1课时 产品配套问题与工程问题
※教学目标※
1.以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题；（重点）
2.掌握用一元一次方程解决配套和工程问题；（难点）
3.体会一元一次方程与实际生活的密切联系，加强数学建模思想的应用意识．
※教学过程※
一、新课导入
[情境导入]生活中，有很多需要配套生产的问题，如桌椅、螺钉和螺母等，大家能举出生活中其他配套问题的例子吗？还有许多工程问题，如修路架桥等，本章我们将在解一元一次方程的基础上进一步探讨一元一次方程的实际应用题.
二、新知探究
（一）产品配套问题
[典型例题]例1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺栓或
2000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
[提出问题]根据题目如何解决人员安排的问题？螺母和螺钉的数量关系如何？如果设 x 名工人生产螺栓，怎样列方程？
通过列表可以更直观地表达螺栓和螺母二者的数量关系：
等量关系：螺母总量 = 螺栓总量×2
解：设应安排 x 名工人生产螺栓，(22－x) 名工人生产螺母.
依题意，得
2000(22－x)＝2×1200x .
解方程，得 x＝10.
所以 22－x＝12.
答：应安排 10 名工人生产螺栓，12 名工人生产螺母.
[提出问题]如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？
等量关系：螺母总量 = 螺栓总量×2
解：依题意，得 2000x＝2×1200(22－x) .
[交流讨论]同学们自己继续完成解答，看看答案是否与之前一致，还有别的解法吗？小组讨论看看.
[归纳总结]
配套问题通常从调配后各量之间的倍分关系寻找相等关系，建立方程.解决配套问题的思路：
1. 利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据；
2. 利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.
配套问题：甲产品总量＝n倍的乙产品总量；
产品总量＝工效×人数×工作时间
[针对训练]一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件.现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做 B 部件，才能恰好配成整数套这种仪器？共配成多少套？
分析：由题意知 B 部件的数量是 A 部件数量的 3 倍，可根据这一等量关系得到方程.
解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用 (6－x)立方米钢材做 B 部件.
根据题意，列方程得
3×40x = (6－x)×240.
解得 x = 4.
则 6－x = 2.
共配成仪器 4×40 = 160 (套).
答：应用 4 立方米钢材做 A 部件， 2 立方米钢材做 B 部件，共配成仪器 160 套.
（二）工程问题
[典型例题]例2 整理一批图书，由1人整理需要 40 h 完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？
分析：如果把总工作量设为 1， 则人均效率(一个人1h完成的工作量)为1/40，x人先整理4h完成的工作量为4x/40，增加2人后再整理8h完成的工作量为8（x+2）/40，这两个工作量之和应等于总工作量.
解：设先安排 x 人整理 4 h，根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程：
解方程，得 x＝2.
答：应先安排 2 人进行整理.
[归纳总结]这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题.
[针对训练]一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12 天，由乙工程队单独铺设需要 24 天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得
解方程，得 x = 8.
答：要 8 天可以铺好这条管线.
[归纳总结]用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下:
这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案.正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.
三、课堂小结
1.掌握列方程解应用题的一般步骤：设、列、解、检、答.
2.掌握配套问题和工程问题中的等量关系，通过列一元一次方程解决问题.
四、课堂训练
1.某人一天能加工甲种零件 50 个或加工乙种零件 30 个，1 个甲种零件与 2 个乙种零件配成一套，25 天制作成套产品，若设 x 天制作甲种零件，则可列方程为 2×50x = 30(25－x) .
2.一项工程，甲单独做需 18 天，乙单独做需 24 天， 若两人合做 8 天后，余下的工作再由甲做 x 天完成，那么所列方程为 .
3.为打造绿色生态环境，一段长为2 400 米的河道整治任务交给甲、乙两个工程队接力完成，共耗时 80 天.已知甲队每天整治 32 米，乙队每天整治 24 米. 求甲、乙两队分别整治河道多少米
解：设甲队工作时间 x 天，乙队工作时间是(80－x ).
根据河道总长是 2 400 米，列出方程
32x ＋24(80－x)＝2 400.
x＝60.
甲：32×60＝1920 米；乙：24×20＝480 米.
答：甲、乙两队分别整治河道 1 920 米、480米.
4.一个材料厂有 56 名工人加工横板和竖板，平均每小时每名工人能够加工横板 90 块或竖板 100 块，为了使得横板和竖板刚好配套，工人们应如何分配？
解：设分配 x 个工人加工横板，(56－x) 个工人加工竖板.
依题意得，100×(56－x)＝90×x×2.
解得，x＝20.
56－20＝36(人).
答：应安排 20 名工人生产横板，36 名工人生产竖板.
五、布置作业
※教学反思※
本节课以生活中常见的一个问题展开，让学生自己思考，提高学生的兴趣，学生们可以认识到数学知识与我们的实际生活息息相关．然后通过例题教学，一题多解，为学生提供了探索空间，让学生深刻理解配套问题与工程问题中的等量关系和解法，充分调动学生学习的积极性，让学生在实践中获得解决问题的方法．(共19张PPT)
第五章 一元一次方程
5.3 实际问题与一元一次方程
人教版-数学-七年级上册
第1课时 产品配套问题与工程问题
学习目标
1.以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题；【重点】
2．掌握用一元一次方程解决配套和工程问题；【难点】
3．体会一元一次方程与实际生活的密切联系，加强数学建模思想的应用意识．
新课导入
生活中，有很多需要配套生产的问题，如桌椅、螺钉和螺母等，大家能举出生活中其他配套问题的例子吗？还有许多工程问题，如修路架桥等，本章我们将在解一元一次方程的基础上进一步探讨一元一次方程的实际应用题.
新知探究
知识点 产品配套问题
1
例1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺栓或
2000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
想一想：根据题目如何解决人员安排的问题？螺母和螺钉的数量关系如何？如果设 x 名工人生产螺栓，怎样列方程？
新知探究
通过列表可以更直观地表达螺栓和螺母二者的数量关系：
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺栓 x 1200
螺母 2000
×
＝
1200 x
车间有 22 名工人
22－x
1 个螺栓需要配 2 个螺母
×
＝
2000(22－x)
等量关系：螺母总量 = 螺栓总量×2
新知探究
解：设应安排 x 名工人生产螺栓，(22－x) 名工人生
产螺母.
依题意，得
2000(22－x)＝2×1200x .
解方程，得 x＝10.
所以 22－x＝12.
答：应安排 10 名工人生产螺栓，12 名工人生产
螺母.
如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？
新知探究
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺母 x 2000
螺栓 1200
×
＝
2000 x
22－x
×
＝
1200(22－x)
等量关系：螺母总量 = 螺栓总量×2
依题意，得 2000x＝2×1200(22－x) .
同学们自己继续完成解答，看看答案是否与之前一致，还有别的解法吗？小组讨论看看.
新知探究
归纳总结
★配套问题通常从调配后各量之间的倍分关系寻找相等关系，建立方程.解决配套问题的思路：
1. 利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据；
2. 利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.
配套问题：甲产品总量＝n 倍的乙产品总量
产品总量＝工效×人数×工作时间
新知探究
练习：一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件.现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做 B 部件，才能恰好配成整数套这种仪器？共配成多少套？
分析：由题意知 B 部件的数量是 A 部件数量的 3 倍，可根据这一等量关系得到方程.
新知探究
解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用 (6－x)
立方米钢材做 B 部件.
根据题意，列方程得
3×40x = (6－x)×240.
解得 x = 4.
则 6－x = 2.
共配成仪器 4×40 = 160 (套).
答：应用 4 立方米钢材做 A 部件， 2 立方米钢材做 B 部件，共配成仪器 160 套.
新知探究
知识点 工程问题
2
例2 整理一批图书，由1人整理需要 40 h 完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？
新知探究
解：设先安排 x 人整理 4 h，根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程：
解方程，得 x＝2.
答：应先安排 2 人进行整理.
这类问题中常常把总工作量看作1，并利
用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题.
新知探究
练习：一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12 天，由乙工程队单独铺设需要 24 天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
解方程，得 x = 8.
答：要 8 天可以铺好这条管线.
解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得
归纳总结
实际问题
一元一次方程
一元一次方程的解( x＝m )
解方程
实际问题的答案
设未知数，列方程
检 验
★用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下:
新知探究
设未知数
列方程
解方程
检验是否为所列方程的解
检验是否符合实际意义
确定答案
设
列
解
检
答
归纳总结
这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案.正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.
新知探究
课堂小结
1.掌握列方程解应用题的一般步骤：设、列、解、检、答.
2.掌握配套问题和工程问题中的等量关系，通过列一元一次方程解决问题.
课堂训练
1. 某人一天能加工甲种零件 50 个或加工乙种零件 30
个，1 个甲种零件与 2 个乙种零件配成一套，25
天制作成套产品，若设 x 天制作甲种零件，
则可列方程为 .
2×50x = 30(25－x)
2. 一项工程，甲单独做需 18 天，乙单独做需 24 天， 若两人合做 8 天后，余下的工作再由甲做 x 天完成，
那么所列方程为 .
课堂训练
3.为打造绿色生态环境，一段长为2 400 米的河道整治任务交给甲、乙两个工程队接力完成，共耗时 80 天.已知甲队每天整治 32 米，乙队每天整治 24 米. 求甲、乙两队分别整治河道多少米
解：设甲队工作时间 x 天，乙队工作时间是(80－x ).
根据河道总长是 2 400 米，列出方程
32x ＋24(80－x)＝2 400.
x＝60.
甲：32×60＝1920 米；
乙：24×20＝480 米.
答：甲、乙两队分别整治河道 1 920 米、480米.
课堂训练
4. 一个材料厂有 56 名工人加工横板和竖板，平均每小时每名工人能够加工横板 90 块或竖板 100 块，为了使得横板和竖板刚好配套，工人们应如何分配？
解：设分配 x 个工人加工横板，(56－x) 个工人加工竖板.
依题意得，100×(56－x)＝90×x×2.
解得，x＝20.
56－20＝36(人).
答：应安排 20 名工人生产横板，36 名工人生产竖板.
