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第五章 一元一次方程
5.3 实际问题与一元一次方程
人教版-数学-七年级上册
第4课时 分段计费问题与方案决策问题
学习目标
1.体验建立方程模型解决问题的一般过程；【重点】2.体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力．【难点】
新课导入
在科技迅猛发展的今天，移动电话成为了人们生活中非常普及的通讯工具，选择经济实惠的资费方式成为了我们所关心而且具有实际意义的问题，分段计费与方案选择也是我们生活中常见的情境，如交水电费、商场购物等，你还能举出例子吗？这节课我们就来探究这些问题.
新知探究
知识点 分段计费问题
1
探究1: (1) 设一个月内用移动电话主叫为 t min ( t 是正整数).根据下表说明：当 t 在不同时间范围内取值时，方式一和方式二如何计费.
月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/
(元/min) 被叫
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
新知探究
主叫时间(分) 方式一计费/元 方式二计费/元
t 小于 150
t ＝ 150
t 大于 150 且小于 350
t ＝ 350
t 大于 350
58
88
58
88
58＋0.25(t－150)
88
58＋0.25(350－150)
58＋0.25(t－150)
88
88＋0.19(t－350)
当 t 在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费表：
新知探究
(2) 观察列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？小组讨论.
主叫时间(分) 方式一计费/元 方式二计费/元
t 小于 150 58 88
t ＝ 150 58 88
省钱
省钱
①当 t 小于或等于 150 时，按方式一计费更少.
新知探究
主叫时间(分) 方式一计费/元 方式二计费/元
t 大于 150 且小于 350 58＋0.25(t－150) 88
②当 t 从 150 到 350 时，方式一计费在增加，
方式二计费不变.
假设在某主叫时间，两种计费方式相同，列得方程.
58＋0.25(t－150)＝88.
t＝270.
新知探究
如果主叫时间是大于 150 min 且小于 270 min 时，按方式一计费少于方式二计费；
如果主叫时间是大于 270 min 且小于 350 min 时，按方式一计费多于方式二计费.
某主叫时间是 270 min 时，两种计费方式一样.
新知探究
主叫时间(分) 方式一计费/元 方式二计费/元
t＝350 88
t 大于 350 58＋0.25(t－150) 88＋0.19(t－350)
58＋0.25(350－150)
108
③当 t＝350 时，按方式二的计费少.
④当 t 大于 350 时，
按方式一计费 58＋[0.25(t－350)]；
按方式二计费 88＋[0.19(t－350)].
新知探究
综上以上分析，可以发现
______________________，选择方案一省钱；
______________________，选择方案二省钱.
t＜270
t＞270
______________________，方案一和方案计费相等；
t＝270
新知探究
知识点 方案决策问题
2
探究2: 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况 .某人打算从两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 14 10 4
1.5 14 10 4
两款空调的部分基本信息
中国能效标识
新知探究
在这个问题中,综合费用=空调的售价+电费.
选定一种空调后，售价是确定的,电费则与使用的时间有关.
设空调的使用年数是t，则1级能效空调的综合费用(单位:元)是3000+0.5× 640t,即3000+320t.
3级能效空调的综合费用(单位:元)是2600+0. 5× 800t,即2600+400t.
新知探究
当两款空调的综合费用相等时，列方程
3000+ 320t = 2600+400t ,
解得 t=5.
为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600+400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即(3000+ 320t)+(80t -400)，
也就是3000+320t +80(t-5).
新知探究
当t<5时，80(t-5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低;当t>5时，80(t- 5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低.
由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长(超过5年)时综合费用反而低.根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起)，因此购买、使用1级能效空调更划算.
课堂小结
1. 解答分段计费题目要分段讨论，先计算出分界点处需要交的费用再进行对比讨论.
2. 在解答方案选择问题时，应先分析讨论每一种方案，不遗漏，然后根据要求选择合适的方案．
课堂训练
1. 小鹏所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过 5 吨，每吨水费 x 元；超过 5 吨，超过部分每吨加收 2 元. 小明家今年 5 月份用水 9 吨，共交水费为 44 元，根据题意列出关于 x 的方程正确的是（ ）
A．5x + 4(x + 2) = 44
B．5x + 4(x - 2) = 44
C．9(x + 2) = 44
D．9(x + 2) - 4×2 = 44
A
课堂训练
2.某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段
计费方式收取水费：若每户每月用水不超过 7 m3，
则按 2 元/m3 收费；若每户每月用水超过 7 m3，
则超过的部分按 3 元/m3 收费. 如果某居民户去年
12 月缴纳了 53 元水费，那么这户居民去年 12 月
的用水量为_____m3.
20
课堂训练
3.有一位旅客携带了 30 千克行李乘坐某航空公司的飞机，按该航空公司规定，旅客最多可免费携带 20 千克行李，超重部分每千克按飞机票价的 1.5% 支付行李托运费用.现该旅客支付了 120 元的托运费用，他的飞机票是多少元
解：设该旅客机票票价为 x 元，根据题意
解得：x＝800．
答：该旅客的机票价为 800 元．
可得 (30－20)×1.5%x＝120，
课堂训练
4. 某市家庭拨号上网有两种收费方式，用户可以任选
其一. A 计时制：0.05 元/分钟；B 包月制：60 元/月
(限一部个人住宅电话上网). 此外，两种上网方式
都得加收通信费 0.02 元/分钟．
(1) 某用户某月上网时间为 x 小时，请分别写出两种
收费方式下该用户应该支付的费用；
(2) 你认为采用哪种方式比较合算？
课堂训练
(2) 由 4.2x＝60＋1.2x，得 x＝20. 又由题意可知，上
网时间越长，采用包月制越合算．所以，
当 0 < x < 20 时，采用计时制合算；
当 x＝20 时，采用两种方式费用相同；
当 x > 20 时，采用包月制合算．
解：(1) 采用计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x (元)，
采用包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x (元).第五章 一元一次方程
5.3实际问题与一元一次方程
第4课时 球赛积分问题
※教学目标※
1.体验建立方程模型解决问题的一般过程；（重点）
2.体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力．（难点）
※教学过程※
一、新课导入
[情境导入]在科技迅猛发展的今天，移动电话成为了人们生活中非常普及的通讯工具，选择经济实惠的资费方式成为了我们所关心而且具有实际意义的问题，分段计费与方案选择也是我们生活中常见的情境，如交水电费、商场购物等，你还能举出例子吗？这节课我们就来探究这些问题.
二、新知探究
（一）分段计费问题
探究1： (1) 设一个月内用移动电话主叫为 t min ( t 是正整数).根据下表说明：当 t 在不同时间范围内取值时，方式一和方式二如何计费.
当 t 在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费表：
(2) 观察列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？小组讨论.
[讲解]①当 t 小于或等于 150 时，按方式一计费更少.
[讲解]②当 t 从 150 到 350 时，方式一计费在增加，
方式二计费不变.
假设在某主叫时间，两种计费方式相同，列得方程.
58＋0.25(t－150)＝88.
t＝270.
某主叫时间是 270 min 时，两种计费方式一样.
如果主叫时间是大于 150 min 且小于 270 min 时，按方式一计费少于方式二计费；
如果主叫时间是大于 270 min 且小于 350 min 时，按方式一计费多于方式二计费.
[讲解]③当 t＝350 时，按方式二的计费少.
④当 t 大于 350 时，
按方式一计费 58＋[0.25(t－350)]；
按方式二计费 88＋[0.19(t－350)].
综上以上分析，可以发现
_______t＝270________，方案一和方案计费相等；
______t＜270_________，选择方案一省钱；
________t＞270________，选择方案二省钱.
（二）方案决策问题
探究2：购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况 .某人打算从两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
[讲解]在这个问题中,综合费用=空调的售价+电费.
选定一种空调后，售价是确定的,电费则与使用的时间有关.
设空调的使用年数是t，则1级能效空调的综合费用(单位:元)是3000+0.5×640t,即3000+320t.
3级能效空调的综合费用(单位:元)是2600+0. 5× 800t,即2600+400t.
当两款空调的综合费用相等时，列方程
3000+ 320t = 2600+400t ,
解得 t=5.
为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600+400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即(3000+ 320t)+(80t -400)，
也就是3000+320t +80(t-5).
当t<5时，80(t-5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低;当t>5时，80(t- 5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低.
由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长(超过5年)时综合费用反而低.根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起)，因此购买、使用1级能效空调更划算.
三、课堂小结
1.解答分段计费题目要分段讨论，先计算出分界点处需要交的费用再进行对比讨论.
2.在解答方案选择问题时，应先分析讨论每一种方案，不遗漏，然后根据要求选择合适的方案．
四、课堂训练
1. 小鹏所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过 5 吨，每吨水费 x 元；超过 5 吨，超过部分每吨加收 2 元. 小明家今年 5 月份用水 9 吨，共交水费为 44 元，根据题意列出关于 x 的方程正确的是（ A ）
A．5x + 4(x + 2) = 44
B．5x + 4(x - 2) = 44
C．9(x + 2) = 44
D．9(x + 2) - 4×2 = 44
2.某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每户每月用水不超过 7 m3，则按 2 元/m3 收费；若每户每月用水超过 7 m3，则超过的部分按 3 元/m3 收费. 如果某居民户去年12 月缴纳了 53 元水费，那么这户居民去年 12 月的用水量为__20___m3.
3.有一位旅客携带了 30 千克行李乘坐某航空公司的飞机，按该航空公司规定，旅客最多可免费携带 20 千克行李，超重部分每千克按飞机票价的 1.5% 支付行李托运费用.现该旅客支付了 120 元的托运费用，他的飞机票是多少元
解：设该旅客机票票价为 x 元，根据题意
可得 (30－20)×1.5%x＝120，
解得：x＝800．
答：该旅客的机票价为 800 元．
4. 某市家庭拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一. A 计时制：0.05 元/分钟；B 包月制：60 元/月(限一部个人住宅电话上网).此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02 元/分钟．
(1) 某用户某月上网时间为 x 小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
(2) 你认为采用哪种方式比较合算？
解：(1) 采用计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x (元)，
采用包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x (元).
(2) 由 4.2x＝60＋1.2x，得 x＝20. 又由题意可知，上
网时间越长，采用包月制越合算．所以，
当 0 < x < 20 时，采用计时制合算；
当 x＝20 时，采用两种方式费用相同；
当 x > 20 时，采用包月制合算．
五、布置作业
※教学反思※
本节课主要通过教师层层设问，由浅入深，循序渐进，引导学生对问题逐步探究，最终得到问题的解决．所有例子和练习都是从熟悉的实际生活入手，让学生感受生活中处处有数学，数学来源于生活，也应用于生活中去．本节教学以学生为主体，以探究为主线，采取合作交流的探究方式进行学习，使学生的知识得到巩固的同时，自主探究合作学习和归纳总结的能力等也得到提高．
