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第六章 几何图形初步
6.2 直线、射线、线段
人教版-数学-七年级上册
6.2.2 线段的比较与运算
学习目标
1.会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短. 【重点】
2. 理解线段等分点的意义.
3. 能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度. 【重点、难点】
4. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.
5. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段基本事实，并学会运用. 【难点】
新课导入
观察这三组图形,你能比较出每组图形中线段a和b的长短吗？
很多时候,眼见未必为实.准确比较线段的长短还需要更加严谨的办法.
(1)
(2)
(3)
a
b
a
a
b
b
三组图形中，线段a与b的长度均相等
新知探究
知识点 尺规作图
1
不同于直线和射线，线段有长度，因而可以比较线段的长短，并能进行一些运算.为进行线段的比较与运算，需要画一条线段等于已知线段.
问题 画一条线段等于已知线段a.
方法一：先用刻度尺量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段.
a
新知探究
方法二：①用直尺画射线 AF；
②用圆规在射线 AF 上截取
AB = a.
线段 AB 即为所求作.
a
A F
a
B
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
概念归纳
新知探究
针对练习
已知线段a,b,用尺规作一条线段，使它等于a+b.(要求：不写作法，保留作图痕迹)
a
b
A F
a
B
C
b
解：如图所示，线段 AC 即为所求作.
新知探究
知识点 比较线段长短
2
做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较长的木棒上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的长，我们常采用以上办法.
探究
新知探究
问题 怎样比较两条线段的长短呢？你能从比身高上受到启发吗？
比较两个同学高矮的方法：
② 让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看两人的头顶，直接比出高矮. ——叠合法
① 用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的数值进行比较. ——度量法
新知探究
D
C
B
试比较线段 AB，CD 的长短.
(1) 度量法：
将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较.
(A)
C D
A B
(2)叠合法：
分别测量AB，CD的长度，再进行比较.
(3)尺规作图法：
发现AB新知探究
C
D
1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落
在C，D之间，那么 AB CD.
(A)
B
＜
叠合法结论：
C
D
A
B
B
(A)
2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与
点 D ，那么 AB = CD.
3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落
在 CD 的延长线上，那么 AB
CD.
重合
＞
B
A
B
A
C
D
(A)
(B)
新知探究
知识点 线段的和差运算
3
画一画
在直线上作线段AB=a,再在AB的延长线上作线段BC=b,线段AC就是 与 的和,记作AC= .设线段a＞b，如果在线段AB上作线段BD=b,那么线段AD就是 与 的差,记作AD= .
A
B
C
D
a+b
a-b
a
b
b
a
b
a+b
a
b
a-b
a
b
新知探究
针对练习
1. 如图，点B，C在线段 AD 上，则AB+BC=____； AD－CD=___；BC＝ ___ －___= ___ － ___.
A
B
C
D
AC
AC
AC
AB
BD
CD
2. 如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使
AB=2a－b.
a
b
A
B
2a－b
2a
b
课堂训练
知识点 线段的中点及等分点
4
A
B
M
1.在一张纸上画一条线段.
2.折叠纸片,使线段的端点重合.
3.折痕与线段的交点处于线段的什么位置
A
B
M
线段的三等分点
线段的四等分点
如图,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫作线段AB的中点.
类似地,还有线段的三等分点、四等分点等.
新知探究
M是线段AB的中点
A
B
M
几何语言：
反之也成立：
M，N是线段AB的三等分点
M，N，P是线段AB的四等分点
A
B
M
N
A
B
M
N
P
新知探究
典型例题
例1 若 AB = 6cm， C 是线段 AB 的中点， D是线段 CB 的中点，求线段 AD 的长.
解：因为C是线段AB的中点，
因为D是线段CB的中点，
所以AD=AC+CD=3+1.5=4.5(cm).
A C D B
新知探究
例2 如图，B，C是线段AD上两点，且AB∶BC∶CD=
3∶2∶5，E，F分别是AB，CD的中点，且EF=24，求线段AB，BC，CD的长．
F
E
C
B
D
A
【解析】根据已知条件AB∶BC∶CD=3∶2∶5，不妨设AB=3x,BC =2x,CD=5x,然后运用线段的和差倍分，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程，解方程得到x的值，即可得到所求各线段的长.
新知探究
F
E
C
B
D
A
解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x.
因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以
所以EF=BE+BC+CF=
又EF=24，所以6x=24.解得x=4.
所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.
新知探究
例3 已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（ ）
A.21cm或4cm B.20.5cm
C.4.5cm D.20.5cm或4.5cm
D
新知探究
方法总结
1.求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解.
2.无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以下两种情况： 点在某一线段上； 点在该线段的延长线.
新知探究
知识点 线段的性质及两点的距离
5
问题 如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短带路.
A
B
在图中，连接线段AB.把这些道路看成各种形状的软线，将它们展直，比较它们的长度.
新知探究
容易发现线段AB最短.这样，可以得到一个关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.
连接两点的线段的长度,叫作这两点间的距离.
问题 你能举出这个基本事实在生活中的一些应用吗？
简单说成：两点之间，线段最短.
归纳总结
新知探究
应用举例 在日常生活和生产中常常用到两点之间线段最短这个基本事实.
1.把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短.
A
B
新知探究
2.如图,这是A,B两地之间的公路,在公路工程改造计划时,为使A,B两地行程最短,应连接AB按AB路线施工可使行程最短.
B
A
新知探究
针对练习
1. 如图，AB+BC AC，AC+BC AB，
AB+AC BC .(填“>”“<”或“=”).
其中蕴含的数学道理是 .
＞
两点之间线段最短
＞
＞
A
B
C
2. 在一条笔直的公路两侧，分别有 A，B 两个村庄，
如图，现在要在公路 l 上建一个汽车站 C，使汽
车站到 A，B 两村庄的距离之和最小，请在图中
画出汽车站的位置.
C
A
B
l
课堂小结
线段的比较与运算
线段的长短比较：度量法、叠合法
线段的基本事实：两点之间，线段最短
线段的和差运算
线段的中点及n等分点
两点间的距离
思想方法：方程思想、分类思想
用尺规作一条线段等于已知线段
课堂训练
1. 下列说法中正确的是( )
A.两点之间,直线最短
B.线段MN就是M,N两点间的距离
C.在连接两点的所有连线中,最短的连线的长度就是这两
点间的距离
D.从深圳到广州,火车行驶的路程就是深圳到广州的距离
2. 如图，AC = DB，则图中另外两条相等的线段为 .
C
A C D B
AD＝BC
课堂训练
3.如图，线段 AB = 6 cm，延长 AB 到 点C，使 BC = 2 AB，若 D 为 AB 的中点，则线段 DC 的长为 .
C
A
D
B
15 cm
4.点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别是-3，1，若BC=5，则AC=_______．
9或1
课堂训练
5. 如图，AB = 4 cm，BC = 3 cm，如果O 是线段 AC 的中点，求线段 OB 的长度．
A
B
C
O
课堂训练
6.如图，B，C两点把线段AD分成2∶5∶3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长．
D
A
C
B
M
解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x,
所以AD=AB+BC+CD=10x.
因为M为AD的中点，所以AM=MD=5x.
所以BM=AM-AB=3x，CM=MD-CD=2x.
又BM=6，所以3x=6.所以x=2.
故CM=2x=4，AD=10x=20.第六章 几何图形初步
6.2 直线、射线、线段
6.2.2 线段的比较与运算
※教学目标※
1.会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短. （重点）
2. 理解线段等分点的意义.
3. 能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度. （重点、难点）
4. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.
5. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段基本事实，并学会运用. （难点）
※教学过程※
一、新课导入
[情境导入]观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段 a 和 b 的长短吗？
三组图形中，线段a与b的长度均相等.
很多时候，眼见未必为实. 准确比较线段的长短还需要更加严谨的办法.
【新知探究】
（一）尺规作图
不同于直线和射线，线段有长度，因而可以比较线段的长短，并能进行一些运算.为进行线段的比较与运算，需要画一条线段等于已知线段.
[提出问题]问题 画一条线段等于已知线段a.
方法一：先用刻度尺量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段.
方法二：①用直尺画射线 AF；②用圆规在射线 AF 上截取
AB = a.线段 AB 即为所求作.
[概念归纳]在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
[针对练习]已知线段a,b,用尺规作一条线段，使它等于a+b.(要求：不写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示，线段 AC 即为所求作.
（二）比较线段长短
[课件展示]做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的长，我们常采用截取的办法.
[提出问题]问题 怎样比较两条线段的长短呢？你能从比身高上受到启发吗？
比较两个同学高矮的方法：
① 用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的数值进行比较.
——度量法
② 让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看两人的头顶，直接比出高矮. ——叠合法
[提出问题]试比较线段AB，CD的长短.
（1）度量法.：分别测量AB，CD的长度，再进行比较.
（2）叠合法：将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较.
(3)尺规作图法：
发现AB[归纳总结]叠合法结论（课件动画展示）
1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落在C，D之间，那么 AB＜ CD.
2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D重合，那么 AB = CD.
3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落在 CD 的延长线上，那么 AB ＞ CD.
（三）线段的和差运算
[课件展示]在直线上作线段AB=a，再在AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作 AC=a+b .设线段a＞b，如果在线段AB上作线段BD=b，那么线段AD就是a与b的差，记作AD=a-b.
[针对练习]如图，点B，C在线段AD上，则AB+BC= AC ，AD-CD= AC ，
BC= AC - AB = BD - CD .
2.如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使 AB=2a－b.
（四）线段的中点及等分点
[课件展示]
1.在一张纸上画一条线段.
2.折叠纸片,使线段的端点重合.
3.折痕与线段的交点处于线段的什么位置
[概念归纳]如图,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫作线段AB的中点.
类似地,还有线段的三等分点、四等分点等.
M是线段AB的中点
几何语言：因为M是线段AB的中点，所以AM=MB=AB(或AB=2AM=2MB).
反之也成立：因为AM=MB=AB(或AB=2AM=2AB)，所以M是线段AB的中点.
N是线段AB的三等分点，AM=MN=NB=AB
M，N，P是线段AB的四等分点，AM=MN=NP=PB=AB
[典型例题]例1 若 AB = 6cm， C 是线段 AB 的中点， D是线段 CB 的中点，求线段 AD 的长.
解：因为 C 是线段 AB 的中点，所以 AC = CB =AB =×6= 3 (cm).
因为 D 是线段 CB 的中点，所以 CD =CB =×3=1.5 (cm).
所以 AD =AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm).
例2 如图，B，C是线段AD上两点，且AB∶BC∶CD=3∶2∶5，E，F分别是AB，CD的中点，且EF=24，求线段AB，BC，CD的长．
【解析】根据已知条件AB∶BC∶CD=3∶2∶5，不妨设AB=3x,BC =2x,CD=5x,然后运用线段的和差倍分，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程，解方程得到x的值，即可得到所求各线段的长.
解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x.因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以所以EF=BE+BC+CF=
又EF=24，所以6x=24,解得x=4.所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.
例3 已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（ D ）
A.21cm或4cm B.20.5cm C.4.5cm D.20.5cm或4.5cm
[方法总结]1.求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解.
2.无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以下两种情况： 点在某一线段上； 点在该线段的延长线.
（五）线段的性质及两点的距离
[提出问题]问题 如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短带路.
在图中，连接线段AB.把这些道路看成各种形状的软线，将它们展直，比较它们的长度.
[归纳总结]容易发现线段AB最短.这样，可以得到一个关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.
简单说成：两点之间，线段最短.
连接两点的线段的长度,叫作这两点间的距离.
[提出问题]问题 你能举出这个基本事实在生活中的一些应用吗？
[联系生活]应用举例：在日常生活和生产中常常用到两点之间线段最短这个基本事实.
1.把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短.
2.如图,这是A,B两地之间的公路,在公路工程改造计划时,为使A,B两地行程最短,应连接AB按AB路线施工可使行程最短.
[针对练习]1. 如图，AB+BC ＞ AC，AC+BC ＞ AB，AB+AC ＞ BC (填“>”“<”或“=”). 其中蕴含的数学道理是 两点之间线段最短 .
2. 在一条笔直的公路两侧，分别有 A，B 两个村庄，如图，现在要在公路 l 上建一个汽车站 C，使汽车站到 A，B 两村庄的距离之和最小，请在图中画出汽车站的位置.
【课堂小结】
【课堂训练】
1.下列说法中正确的是( C )
A.两点之间,直线最短
B.线段MN就是M,N两点间的距离
C.在连接两点的所有连线中,最短的连线的长度就是这两点间的距离
D.从深圳到广州,火车行驶的路程就是深圳到广州的距离
2. 如图，AC = DB，则图中另外两条相等的线段为 AD=BC .
3.如图，线段 AB = 6 cm，延长 AB 到 点C，使 BC = 2 AB，若 D 为 AB 的中点，则线段 DC 的长为 15cm .
4.
4.点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别是-3，1，若BC=5，则AC= 9或1 ．
5. 如图，AB = 4 cm，BC = 3 cm，如果O 是线段 AC 的中点，求线段 OB 的长度．
解：因为AB = 4 cm，BC = 3 cm，
所以AC = AB + BC =4+3=7(cm).
因为O 是线段 AC 的中点，
所以OC =AC=×7=3.5(cm).
所以OB = OC－BC = 3.5-3=0.5 (cm)．
6.如图，B，C两点把线段AD分成2∶5∶3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长．
解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x,
所以AD=AB+BC+CD=10x.
因为M为AD的中点，所以AM=MD=5x.
所以BM=AM-AB=3x，CM=MD-CD=2x.
又BM=6，所以3x=6.所以x=2.
故CM=2x=4，AD=10x=20 .
【布置作业】
【教学反思】
本节课通过比较两个人的高矮这一生活中的实例让学生进行思考，从而引出课题，极大地激发了学生的学习兴趣；并通过动手操作，亲身体验用叠合法比较线段的长短．教师要尝试让学生自主学习，优化课堂教学中的反馈与评价．通过评价，激发学生的求知欲，坚定学生学习的自信心．
