10.4 分式的加减法 专题练习（学生版+解析版） 2025-2026学年北京版2024八年级上册数学

10.4 分式的加减法
题型一 最简公分母
1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）分式，，的最简公分母为（ ）
A． B． C． D．12ab
2．（2025八年级下·全国·专题练习）分式的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）直接写出下列各组分式的最简公分母：
(1)；__________
(2)；__________
(3)；__________
(4)；__________
(5)．__________
题型二 通分
1．（2025七年级下·全国·专题练习）对分式通分以后，的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）将通分后，各分式的分子之和为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）通分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）通分：
(1)；
(2)；
(3)．
题型三 同分母分式加减法
1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）计算：（ ）
A． B． C． D．2
3．（24-25八年级上·山东烟台·期中）若，则（ ）中的数是（ ）
A． B． C． D．任意实数
4．（2024八年级上·全国·专题练习）若分式的计算结果为3，则“？”中的式子是（ ）
A． B． C． D．
题型四 异分母分式加减法
1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知化简的结果是，括号内的式子是（ ）
A． B． C．0 D．
3．（24-25八年级上·山西朔州·期末）老师出了一道题：化简．
小明的解法：原式；
小亮的解法：原式；
小芳的解法：原式．
对于这三名同学的解法，你的判断是（ ）
A．小明的解法正确 B．小亮的解法正确
C．小芳的解法正确 D．三名同学的解法都不正确
4．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式解答题目：
若为正整数，求的最大值或最小值．
接力中，每位同学说明自己要完成的工作，并写出解答过程，其中首先出现错误的是（ ）
甲：（把原式通分）原式．
乙：（得到化简结果）．
丙：（确定的值）因为为正整数，所以有最小值1．
丁：（求原式的最值）原式有最大值，最大值．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
题型五 整式与分式相加减
1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算下列各式．
(1)
(2)
3．（2022·四川泸州·一模）化简：
4．（23-24八年级上·全国·假期作业）计算：
(1)；
(2)．
题型六 分式的加减混合运算
1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)．
(2)．
题型七 判断分式加减混合运算的错误步骤
1．（23-24九年级上·山东烟台·期中）张红同学在解答一道分式计算的作业题时，化简过程如下：
先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
解：原式＝ ①
＝ ②
＝ ③
＝ ④
上面的解题过程中从哪个步骤开始出现错误，这一步骤是　 　（填入编号），请完整地写出正确的解答过程．
2．（22-23八年级上·河北唐山·期中）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，小明同学的解答过程如下：
①
②
③
④
(1)请你分析小明的解答从第_____步开始出现错误（填序号），错误的原因是______；
(2)请写出正确解答过程，并求出当时此式的值．
3．（20-21八年级上·北京延庆·期中）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步 乙同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______；
(2)请重新写出完成此题的正确解答过程：
题型一 分式加减的实际应用
1．（2024八年级上·全国·专题练习）小强的爸爸开汽车到距离外的单位去上班，在正常情况下经过可以到达．但是有一天由于汽车需要维修晚出发，小强的爸爸每小时应该多走多少，才能按时到达单位？
2．（2024·宁夏银川·一模）现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？
3．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成．（）
(1)求甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差．
(2)若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？
4．（23-24八年级下·全国·假期作业）有，两箱水果，箱水果质量为，箱水果质量为（其中），售完后，两箱水果都卖了120元．
(1)哪箱水果的单价要高些？
(2)两箱水果中高的单价是低的单价的多少倍？
题型二 分式的加减乘除混合运算
1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）化简：
2．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）计算：．
3．（24-25八年级上·四川泸州·期末）化简：．
4．（24-25八年级上·山东聊城·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
题型三 判断分式加减乘除混合运算的错误步骤
1．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）以下是装同学化简分式的部分运算过程：
解：原式……①
……②
……③
…
(1)上面的运算过程中第_______步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
2．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）下面是小王同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空：
（1）以上化简步骤中，第______步是进行分式的约分，约分的依据是______；
（2）从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请写出正确的化简过程；
任务三：请你从中选择一个合适的数作为的值代入求值．
3．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下面是亮亮进行分式化简的过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
． 第六步
(1)第二步的依据是______；
(2)亮亮从第______步开始出现错误，该步错误的原因是______；
(3)请写出正确的化简过程；
(4)在分式化简的过程中，还需要注意哪些事项？请你给其他同学提一条建议．
题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母
1．（21-22八年级下·陕西西安·期中）若，则 ， ．
2．（20-21八年级下·江苏南京·期中）已知，则的值是 ．
3．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，其中，，，为常数，则 ．
4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知，且，则 ．
5．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）已知是恒等式，请分别求、的值．
题型五 分式的化简求值
1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中．
2．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）先化简，再求值：，请从，，1，2四个数中选择一个合适的数代入求值（说明取值理由）．
3．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）先化简，，然后从范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
4．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）先化简，再求值：，其中的值从不等式组的正整数解中选取．
题型六 分离常数法求分式的最值
1．（24-25八年级上·山东威海·期中）【方法策略】对于分式，求它的最大值．
解：原式．
，的最小值是2．的最大值是2．
的最大值是4．即分式的最大值是4．
【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值．
2．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）阅读材料：
分式（）的最大值是多少？
解：，
∵，∴．∴的最小值是3．∴的最大值是．
∴的最大值是．∴（）的最大值是．
解决问题：
(1)分式（）的最大值是 ；
(2)求分式的最大值；
(3)若分式（）的值为整数，请直接写出整数x的值．
3．（23-24八年级上·河北沧州·期末）阅读下面材料，并解答问题.
分式的最大值是多少？
解：，
因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4.
解答下列问题：
(1)分式的最大值是 ；
(2)求分式的最大值；
(3)若分式的值为整数，请直接写出整数的值.
题型七 比较分式的大小
1．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）比较两个数的大小时，我们常常用到“作差法”：
如果，那么；如果，那么；如果，那么．
(1)已知，且，，试用“作差法”比较、的大小，并说明理由；
(2)对于正数，，，，如果，则、满足的关系是_____________．
2．（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知：，．
(1)当时，比较与的大小，并说明理由；
(2)设，若是整数，求的整数值．
3．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）作差法是一种比较两个数或代数式大小的常用方法．
(1)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由．
(2)已知，，试比较与的大小
题型八 与分式加减乘除有关的新定义问题
1．（24-25八年级上·北京通州·期中）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“优式”，这个常数称为关于的“优值”．
例如：分式，，，则是的“优式”，关于的“优值”为1．
(1)已知分式，，判断是否为的“优式”，若不是，请说明理由，若是，请证明，并求出关于的“优值”；
(2)已知分式，，是的“优式”，且关于的“优值”是1，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值．
2．（24-25八年级上·江西宜春·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“帅哥分式”．如：，则 是“帅哥分式”．
(1)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： = ．
(2)应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
3．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）让我们来规定一种运算：，例如：，再如：．按照这种运算的规定，请解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若 ，求的值．
题型九 与分式加减乘除有关的规律探究问题
1．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明．
2．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
根据以上规律，解决下列问题．
(1)直接写出第5个等式：________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明．
3．（22-23八年级上·湖南郴州·阶段练习）观察下面的变形规律，解答下列问题：
，
(1)若为正整数，猜想_________
(2)根据上面的结论计算：．
1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”
(1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”
①求G；
②若x为正整数，分式D的值也为正整数．则x的值为______．
2．（23-24八年级下·江苏南京·期中）读读做做：
教材中有这样的问题：观察下面的式子，探索它们的规律．
，，…
(1)用正整数n表示这个规律，并加以证明；
(2)问题解决 一容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的…，第n次倒出的水量是升水的，…，按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？请通过计算说明理由．
3．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：
若，试求、的值．（其中、为常数）
解：等式右边通分，得
根据题意，得，解之得．
仿照以上解法，解答下题．
(1)已知（其中、为常数）求、的值；
(2)若对任意自然数都成立，则______，______．
(3)计算：______．
4．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是______________（填序号）．
①；②；③；④．
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
(3)应用：先化简，并回答取什么整数时，该式的值为整数
10.4 分式的加减法
题型一 最简公分母
1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）分式，，的最简公分母为（ ）
A． B． C． D．12ab
【答案】A
【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的定义求解．
【详解】解：分式，，的分母分别是、、，故最简公分母是；
故选：A．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）分式的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的最简公分母，因式分解，掌握分式的最简公分母的定义，因式分解方法是解题关键．
先将分式分母因式分解，然后根据最简公分母的确定方法解答即可．
【详解】解：先将分式分母因式分解，
∴分式的最简公分母是．
故选：D．
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简公分母“确定最简公分母的一般方法：1、如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积；2、如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母”，熟练掌握确定最简公分母的方法是解题关键．根据确定最简公分母的一般方法即可得．
【详解】解：∵，，
∴分式和的最简公分母是，
故选：B．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）直接写出下列各组分式的最简公分母：
(1)；__________
(2)；__________
(3)；__________
(4)；__________
(5)．__________
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
（1）（2）（3）（4）（5）根据最简公分母的定义求解即可．
【详解】（1）的最简公分母．
故答案为：；
（2）的最简公分母．
故答案为：；
（3）的最简公分母．
故答案为：；
（4）的最简公分母．
故答案为：；
（5）的最简公分母．
故答案为：．
题型二 通分
1．（2025七年级下·全国·专题练习）对分式通分以后，的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了通分，掌握通分的定义即通分：将异分母分式转化成同分母的分式是解题的关键．
根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案．
【详解】解：∵分式的最简公分母是，
∴通分以后，
故选：B．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）将通分后，各分式的分子之和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了通分，整式混合运算，关键是根据分式的基本性质对分式进行通分．
先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分计算，最后把通分后的分式的分子相加，根据整混合法则计算即可．
【详解】解：∵
∴
，
故选：A．
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）通分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，
(2)，，
(3)，
(4)，
【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的通分，掌握分式的最简公分母的计算是关键．
最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化为同分母的分式的过程，叫作分式的通分，由此即可求解．
（1）最简公分母是，结合分式的性质通分即可；
（2）最简公分母是，结合分式的性质通分即可；
（3）最简公分母是，结合分式的性质通分即可；
（4）最简公分母是，结合分式的性质通分即可．
【详解】（1）解：
，；
（2）解：
，，；
（3）解：
，；
（4）解：
，．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）通分：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，，
【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质．
（1）（2）（3）根据最简公分母的确定方法确定最简公分母，再通分即可．
【详解】（1）∵，的最简公分母是，
∴；
（2）∵ ，的最简公分母是，
∴；
（3）∵的最简公分母是，
∴．
题型三 同分母分式加减法
1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键．设被盖住的部分为，由题意得，利用等式的性质求出表示的式子即可得出答案．
【详解】解：设被盖住的部分为，
由题意得，，
，
被盖住的部分为1．
故选：D．
2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）计算：（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，同分母分式相减，分母不变，分子直接相减，即可作答．
【详解】解：
，
故选：D．
3．（24-25八年级上·山东烟台·期中）若，则（ ）中的数是（ ）
A． B． C． D．任意实数
【答案】B
【分析】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行计算．
把和两个式子相加即可．
【详解】解：
=
=
所以（ ）中的数是，
故选B．
4．（2024八年级上·全国·专题练习）若分式的计算结果为3，则“？”中的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用分式的加法的法则对式子进行运算，从而可求解．
【详解】解：由题意得：，
，
，
．
故选：C．
题型四 异分母分式加减法
1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键．
原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．
【详解】解：原式，
故选：B．
2．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知化简的结果是，括号内的式子是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】此题考查了分式的减法．根据分式的减法计算即可得到答案．
【详解】解：∵
∴括号内的式子是．
故选：A
3．（24-25八年级上·山西朔州·期末）老师出了一道题：化简．
小明的解法：原式；
小亮的解法：原式；
小芳的解法：原式．
对于这三名同学的解法，你的判断是（ ）
A．小明的解法正确 B．小亮的解法正确
C．小芳的解法正确 D．三名同学的解法都不正确
【答案】C
【分析】本题考查了异分母分式加法计算，根据异分母分式加法计算法则求解即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∴小芳的解法正确，
故选：．
4．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式解答题目：
若为正整数，求的最大值或最小值．
接力中，每位同学说明自己要完成的工作，并写出解答过程，其中首先出现错误的是（ ）
甲：（把原式通分）原式．
乙：（得到化简结果）．
丙：（确定的值）因为为正整数，所以有最小值1．
丁：（求原式的最值）原式有最大值，最大值．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，掌握分式的性质，分式有意义的条件是解题的关键．
根据异分母分式的加减运算法则计算，再根据分式有意义的条件判定即可求解．
【详解】解：
，故甲正确，
，故乙正确，
∵分式要意义，
∴，
∴或，
∴首先出错的是丙，故丙错误，C选项符合题意；
∵为正整数，且，
∴的最小值为，
∴原式有最大值，最大值，
故选：C ．
题型五 整式与分式相加减
1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：
故选：D．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算下列各式．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）利用同分母分式减法法则计算即可；
（2）通分化为同分母分式减法计算即可．
【详解】（1）
（2）
3．（2022·四川泸州·一模）化简：
【答案】
【分析】根据分式的加减法则计算，然后根据分式的性质化简
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式加减运算法则是解题的关键．
4．（23-24八年级上·全国·假期作业）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式．
（2）原式
题型六 分式的加减混合运算
1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算即可；
（2）利用平方差公式将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算，最后再约分即可；
（3）利用平方差公式将分式进行通分，分母则按照十字相乘以及整式的加减乘除混合运算计算即可；
（4）先将分式进行约分，再按照整式的加减混合运算计算即可．
【详解】（1）解：
故答案为：．
（2）解：
故答案为：．
（3）解：
故答案为：．
（4）解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键需要熟练掌握分式加减法则，平方差公式的运用．
2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；
（1）先根据分式的性质进行变形，然后再利用分式的加减运算可进行求解；
（2）根据分式的加法运算可进行求解
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
题型七 判断分式加减混合运算的错误步骤
1．（23-24九年级上·山东烟台·期中）张红同学在解答一道分式计算的作业题时，化简过程如下：
先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
解：原式＝ ①
＝ ②
＝ ③
＝ ④
上面的解题过程中从哪个步骤开始出现错误，这一步骤是　 　（填入编号），请完整地写出正确的解答过程．
【答案】①，解答过程见解析
【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【详解】解：上面的解题过程从第①步出现错误，
原式=
=
=
=
= ，
当a=-2时，
原式==-1，
故答案为：①．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
2．（22-23八年级上·河北唐山·期中）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，小明同学的解答过程如下：
①
②
③
④
(1)请你分析小明的解答从第_____步开始出现错误（填序号），错误的原因是______；
(2)请写出正确解答过程，并求出当时此式的值．
【答案】(1)③，直接去掉了分母
(2)过程见解析，，
【分析】（1）根据异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；
（2）根据异分母分式加减法法则进行计算，然后再把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】（1）解：小明的解答从第③步开始出现错误，错误的原因是漏掉了分母；
（2）正确的解答过程如下：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
3．（20-21八年级上·北京延庆·期中）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步 乙同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______；
(2)请重新写出完成此题的正确解答过程：
【答案】(1)甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；
(2)
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得．
【详解】（1）我选择甲同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是通分时第一个分式的分子少乘了x-1；
或我选择乙同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是直接去掉分母；
故答案为：甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；
（2）(选甲为例）
=
=
=
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
题型一 分式加减的实际应用
1．（2024八年级上·全国·专题练习）小强的爸爸开汽车到距离外的单位去上班，在正常情况下经过可以到达．但是有一天由于汽车需要维修晚出发，小强的爸爸每小时应该多走多少，才能按时到达单位？
【答案】
【分析】本题考查的是列代数式及分式的减法运算，解题关键在非正常情况下与正常情况的联系解答．
【详解】解：由题意可知，正常情况下汽车的速度为，如果晚出发并且按时到达单位的速度为，
根据题意，得．
答：小强的爸爸每小时应该多走，才能按时到达单位．
2．（2024·宁夏银川·一模）现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？
【答案】小李两次加油的平均单价更低
【分析】本题考查列代数式、分式的加减，正确列出代数式是解答的关键．先求解小李两次加油每次300元的平均单价，再求得小王两次加油30升的平均单价，然后作差比较大小即可得出结论．
【详解】解：根据题意，小李两次加油每次300元的平均单价为（元/升），
小王两次加油30升的平均单价为（元/升），
∴
，
∵，
∴，则，
故小李两次加油的平均单价更低．
3．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成．（）
(1)求甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差．
(2)若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？
【答案】(1)米/天
(2)天
【分析】本题考查了分式加减乘除运算的实际应用，找到题中的数量关系是解题的关键．
（1）根据工作效率等于工作量除以工作时间，分别求出甲乙的工作效率即可求解；
（2）求出甲、乙合作的工作效率，用总的工作量除以合作工作效率即可求解；
【详解】（1）解： 一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成，
甲工程队的工作效率为米/天，乙工程队的工作效率为米/天，
甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差为米/天．
答：甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差为米/天．
（2）解：甲、乙工程队一起完成这项工程，工作效率为，
则完成工程需要的时间为：（天）
答：若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要天．
4．（23-24八年级下·全国·假期作业）有，两箱水果，箱水果质量为，箱水果质量为（其中），售完后，两箱水果都卖了120元．
(1)哪箱水果的单价要高些？
(2)两箱水果中高的单价是低的单价的多少倍？
【答案】(1)箱水果的单价高些
(2)
【分析】本题考查了分式的减法的应用，分式的除法的应用，理解题意，正确列出算式是解此题的关键．
（1）根据单价总价数量，列出算式，计算即可得出答案；
（2）根据题意列出算式，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴箱水果的单价高些；
（2）解：由题意得：，
∴两箱水果中高的单价是低的单价的倍．
题型二 分式的加减乘除混合运算
1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）化简：
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握是解题的关键．
先算括号再算除法，注意运用完全平方公式和平方差公式分解因式．
【详解】解：
．
2．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式加减乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
3．（24-25八年级上·四川泸州·期末）化简：．
【答案】
【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可．
【详解】解：原式
．
4．（24-25八年级上·山东聊城·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)x
(3)
(4)
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键．
（1）先计算积的乘方，再按照分式乘出法即可求解；
（2）根据同分母分式加减法运算法则计算即可；
（3）先对括号里进行通分相加，再把除法运算化为乘法运算，因式分解后约分即可；
（4）先对括号里进行通分相减，再把除法运算化为乘法运算，最后计算减法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
题型三 判断分式加减乘除混合运算的错误步骤
1．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）以下是装同学化简分式的部分运算过程：
解：原式……①
……②
……③
…
(1)上面的运算过程中第_______步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)②
(2)
【分析】（1）：从第②开始出现错误，错误的原因是通分漏乘分子．
（2）根据分式的运算，正确计算即可，
本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键．
【详解】（1）解：根据分式的基本运算，得②开始出现错误，错误的原因是通分漏乘分子，
故答案为：②．
（2）解：原式
．
2．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）下面是小王同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空：
（1）以上化简步骤中，第______步是进行分式的约分，约分的依据是______；
（2）从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请写出正确的化简过程；
任务三：请你从中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】任务一：（1）五，分式的基本性质；（2）一，加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号
任务二：见解析；
任务三：当时，值为1．
【分析】本题考查分式的混合运算：
任务一：（1）根据分式的基本性质，进行作答即可；
（2）第一步加括号时，括号里第二项没有变号；
任务二：根据分式的混合运算法则，进行计算即可；
任务三：选一个使分式有意义的值，代入计算即可．
【详解】解：任务一：（1）以上化简步骤中，第五步是进行分式的约分，约分的依据是分式的基本性质；
故答案为：五，分式的基本性质；
（2）从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号；
故答案为：一，加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号
任务二：
任务三：∵，
∴，
当时，
3．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下面是亮亮进行分式化简的过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
． 第六步
(1)第二步的依据是______；
(2)亮亮从第______步开始出现错误，该步错误的原因是______；
(3)请写出正确的化简过程；
(4)在分式化简的过程中，还需要注意哪些事项？请你给其他同学提一条建议．
【答案】(1)分式的基本性质
(2)四；括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号
(3)
(4)在分式化简的过程中，还需要注意的事项有：最后结果应化为最简分式或整式（答案不唯一）
【分析】本题考查分式的混合运算，
（1）根据分式的基本性质，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（3）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（4）根据分式的混合运算以及化简，即可解答；
掌握分式的基本性质及运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：第二步的依据是分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
（2）亮亮从第四步开始出现错误，该步错误的原因是括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号，
故答案为：四；括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号；
（3）
；
（4）在分式化简的过程中，还需要注意的事项有：最后结果应化为最简分式或整式（答案不唯一）．
题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母
1．（21-22八年级下·陕西西安·期中）若，则 ， ．
【答案】 2 1
【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案．
【详解】解：
∴A=2，B=1
故答案为：2，1．
【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．
2．（20-21八年级下·江苏南京·期中）已知，则的值是 ．
【答案】4
【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于、、的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
解得，，
．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于、、的方程组是解题的关键．
3．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，其中，，，为常数，则 ．
【答案】6
【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：，且，
当时，①
当时，②
当时，③
∵,
即
∴④
联立解之得
、、，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题．
4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知，且，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题．
【详解】解析：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
5．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）已知是恒等式，请分别求、的值．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．先把分式恒等式去分母可得，再利用恒等建立方程组即可．
【详解】解：，
∴去分母可得：，
∴，
由恒等式可得：
，
解得：．
题型五 分式的化简求值
1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式以及平方差公式的运用，熟练掌握分式的运算法则是关键．本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
2．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）先化简，再求值：，请从，，1，2四个数中选择一个合适的数代入求值（说明取值理由）．
【答案】，，理由见解析
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解本题的关键．
根据分式的运算法则将原式化简，然后根据分式有意义的条件选择一个数代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，，2时，原分式无意义，所以只能取1；
此时原式．
3．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）先化简，，然后从范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【答案】，时，原式．
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的x的值计算即可．
【详解】解：原式
；
∵，
∴，
∵，
∴当是，原式．
4．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）先化简，再求值：，其中的值从不等式组的正整数解中选取．
【答案】，．
【分析】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的整数解，再把有意义的值代入计算即可求解．
【详解】解：
，
由解得：，
∴正整数解为，，
∵，
∴，
当时，原式．
题型六 分离常数法求分式的最值
1．（24-25八年级上·山东威海·期中）【方法策略】对于分式，求它的最大值．
解：原式．
，
的最小值是2．
的最大值是2．
的最大值是4．
即分式的最大值是4．
【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值．
【答案】5
【分析】本题考查了分式的加减法，理解【方法策略】的解题思路是解题的关键．
按照【方法策略】的解题思路，进行计算即可解答．
【详解】解：．
，
的最小值是1．
的最大值是3．
的最大值是5．
分式的最大值是5．
2．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）阅读材料：
分式（）的最大值是多少？
解：，
∵，∴．∴的最小值是3．∴的最大值是．
∴的最大值是．∴（）的最大值是．
解决问题：
(1)分式（）的最大值是 ；
(2)求分式的最大值；
(3)若分式（）的值为整数，请直接写出整数x的值．
【答案】(1)9
(2)7
(3)4，6，8
【分析】本题考查的是分式加减运算的逆运算，即， 同时考查分式的值，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据，由，得到的最大值为8，即可解题．
（2）根据，由，得到的最大值为3，即可解题
（3）根据，且值为整数，得到的值为整数，即的值为3的因数，从而可得到整数的值．
【详解】（1）解：由题意可知，，
∵，
∴，即：的最小值为1，
∴的最大值为8，
∴的最大值为9，
即：分式（）的最大值是9，
故答案为：9；
（2）由题意可知，，
∵，
∴，即：的最小值为1，
∴的最大值为3，
∴的最大值为7，
即：分式的最大值是7；
（3）由题意可知，，
∵分式（）的值为整数，且为整数，
∴的值为整数，，
∵，
∴的值为，1，3，
∴的值为4，6，8．
3．（23-24八年级上·河北沧州·期末）阅读下面材料，并解答问题.
分式的最大值是多少？
解：，
因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4.
解答下列问题：
(1)分式的最大值是 ；
(2)求分式的最大值；
(3)若分式的值为整数，请直接写出整数的值.
【答案】(1)8
(2)5
(3)2、3、5、6
【分析】（1）本题考查对题干的理解、分式加减运算的逆运算（即 ）和分式的化简求值，根据，由，得到的最大值为5，即可解题．
（2）本题解法与（1）类似．
（3）本题解法与（1）类似．根据，且值为整数，得到的值为整数，即的值为2的因数，从而可得到整数的值．
【详解】（1）解：由题可知，，
,
的最小值为2，
的最大值为5，
的最大值为8，
即的最大值为8．
（2）解：由题可知，,
当时且为最小值，
的最大值为3，
的最大值为5，
即的最大值为5．
（3）解：由题可知，，
的值为整数，
的值为整数，
不能等于0，
的值为、、1、2，
的值为2，3，5，6．
题型七 比较分式的大小
1．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）比较两个数的大小时，我们常常用到“作差法”：
如果，那么；
如果，那么；
如果，那么．
(1)已知，且，，试用“作差法”比较、的大小，并说明理由；
(2)对于正数，，，，如果，则、满足的关系是_____________．
【答案】(1)；理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了分式的性质和分式的加减运算，正确理解题意是解题的关键．
（1）把两个分式作差，判断得到分子、分母大于0，再比较大小即可；
（2）等式通分，判断得到分母不为0，推出分子，由此即可得到结论．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵为正数，
∴分母不为0，
∴，．
故答案为：．
2．（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知：，．
(1)当时，比较与的大小，并说明理由；
(2)设，若是整数，求的整数值．
【答案】(1)，见解析
(2)3或或或
【分析】本题考查分式的加减运算：
（1）作差法比较分式的大小即可；
（2）先根据分式的减法运算，求出，再根据是整数，也是整数，进行求解即可．
【详解】（1）解：．
理由：，
，
，
．
（2）解：，
均为整数，
的值为，，
的整数值为3或或或．
3．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）作差法是一种比较两个数或代数式大小的常用方法．
(1)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由．
(2)已知，，试比较与的大小
【答案】(1)；理由见解析
(2)
【分析】本题考查了分式的加减，不等式的性质，完全平方公式的应用等知识点，能灵活运用作差法进行计算是解此题的关键．
（1）先求出，再比较大小即可；
（2）先求出，再比较大小即可；
【详解】（1）解：；理由如下：
∵，
∴，
（2）
∵，，
∴，
∴,
∴.
题型八 与分式加减乘除有关的新定义问题
1．（24-25八年级上·北京通州·期中）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“优式”，这个常数称为关于的“优值”．
例如：分式，，，则是的“优式”，关于的“优值”为1．
(1)已知分式，，判断是否为的“优式”，若不是，请说明理由，若是，请证明，并求出关于的“优值”；
(2)已知分式，，是的“优式”，且关于的“优值”是1，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值．
【答案】(1)是；2；证明见解析
(2)；
【分析】本题主要考查了分式的减法计算：
（1）计算出的结果即可得到结论；
（2）根据定义可得，则，据此求出，进而求出，再根据P为整数进行求解即可．
【详解】（1）解：C是的“优式”，优值为2，证明如下：
，
是的“优式”，“优值”为2．，
（2）解：由题意可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的值也为整数，
或，
．
2．（24-25八年级上·江西宜春·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“帅哥分式”．如：，则 是“帅哥分式”．
(1)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： = ．
(2)应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)
(2)，2 或
【分析】本题考查的是分式的化简，分式的加减运算的逆运算；
（1）把化为，再进一步变形即可；
（2）先计算分式的除法运算，再计算减法运算，最后化为，再结合为整数， 为整数以及分式有意义的条件可得答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
= ；
；
∵为整数，
∵当或 时， 为整数，
∴x 的值可以是 0 或 或 2 或 ．
又∵分式有意义时，x 的值不能为 0、1、 、 ，
∴或 ．
3．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）让我们来规定一种运算：，例如：，再如：．按照这种运算的规定，请解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若 ，求的值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】此题考查了新定义运算．熟练掌握有理数的四则运算，分式的加减，恒等原理，是解题的关键．
（1）根据新运算的定义式，代入数据求出结果即可；
（2）根据新运算的定义式将原式左边化简为，可得，即可得出结论．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵
且
∴，
∴，
∴．
题型九 与分式加减乘除有关的规律探究问题
1．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，从题目中找出数字的变化规律是解题的关键；
（1）根据上述等式，写出第5个等式即可；
（2）根据上述等式，可得第个等式：，再证明整式左边等式右边即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：．
（2）第个等式：，
证明如下：
等式左边
等式右边，
故等式成立．
故答案为：．
2．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
根据以上规律，解决下列问题．
(1)直接写出第5个等式：________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】此题考查的是归纳总结能力，分式的运算法则等知识，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键．
（1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案；
（2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，再利用分式的减法和乘方运算进行计算，得到左边等于右边，即可得到验证．
【详解】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
则第5个等式为
故答案为：
（2），证明如下：
∵左边，
右边，
∴左边=右边．
故原等式成立．
3．（22-23八年级上·湖南郴州·阶段练习）观察下面的变形规律，解答下列问题：
，
(1)若为正整数，猜想_________
(2)根据上面的结论计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的加减，掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
（1）根据变形规律，写出等式即可求解；
（2）根据题意，将每一项拆解为差的形式，然后根据分式的加减进行计算即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：；
故答案为：；
（2）
．
1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”
(1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”
①求G；
②若x为正整数，分式D的值也为正整数．则x的值为______．
【答案】(1)分式A与分式B是互为“和整分式”，理由见解析；“和整值”
(2)①；②1
【分析】本题考查分式的加减法，分式的值，理解互为“和整分式”，“和整值” 的定义，分式的值的定义，掌握分式加减法的计算方法是正确解答的关键．
（1）计算的和，根据互为“和整分式”，“和整值” 的定义进行解答即可；
（2）①根据互为“和整分式”，“和整值”的定义得到关于的分式方程，进而得到所表示的代数式；
②化简分式，再根据分式的值为正整数，为正整数确定的值即可．
【详解】（1）解：，
分式与分式是互为“和整分式”，“和整值” ；
（2）解：①分式，，与互为“和整分式”，且“和整值” ，
，
两边都乘以得，
，
；
②，而为正整数，分式的值也为正整数，
，
故答案为：1．
2．（23-24八年级下·江苏南京·期中）读读做做：
教材中有这样的问题：观察下面的式子，探索它们的规律．
，，…
(1)用正整数n表示这个规律，并加以证明；
(2)问题解决
一容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的…，第n次倒出的水量是升水的，…，按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？请通过计算说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)不能倒完，理由见解析
【分析】本题考查了数字的变化规律、分式混合运算的应用，熟练掌握裂项相消是解答本题的关键．
（1）根据发现的规律写出一般规律并验证即可；
（2）根据题意，先求出倒出水总量的代数式，进行化简得到，说明不论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于1．
【详解】（1）解：规律：，
证明：右侧左侧，
， 等式成立．
（2）解：不能倒完，理由：
根据题意，得到次水倒出的总和为：
不论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于1，
这1升水倒不完，
3．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：
若，试求、的值．（其中、为常数）
解：等式右边通分，得
根据题意，得，解之得．
仿照以上解法，解答下题．
(1)已知（其中、为常数）求、的值；
(2)若对任意自然数都成立，则______，______．
(3)计算：______．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据阅读材料中的方法计算即可求解；
（2）根据阅读材料中的方法计算即可求解；
（3）将所求式子转化为，即可求解．
【详解】（1）解：
等式右边通分得：
，
，
解得：；
（2）
等式右边通分得：
，
，
解得：，
故答案为：，；
（3）
，
故答案为：．
4．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是______________（填序号）．
①；②；③；④．
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
(3)应用：先化简，并回答取什么整数时，该式的值为整数
【答案】(1)①③④
(2)
(3)时，该式的值为整数．
【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解题的关键．
（1）根据“和谐分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答；
（2）根据完全平方公式，进行变形计算，即可解答；
（3）将原式化简为，再变形为，从而可得当或时，分式的值为整数，进而可得，，或1，然后根据分式有意义时，，，，，即可解答．
【详解】（1）解：①；
②；
③；
④；
上列分式中，属于“和谐分式”的是①③④，
故答案为：①③④；
（2）解：
．
（3）解：
，
当或时，分式的值为整数，
，0，或，
分式有意义时，，，，，
，
时，该式的值为整数．