江苏省常州市武进区2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

2015-2016学年江苏省常州市武进区高二（上）期末数学试卷（文科）
　
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．命题“ x＜3，x2＞9”的否定是　　　　　　．
2．若复数（其中i为虚数单位，a∈R）的实部和虚部相等，则a=　　　　　　　．
3．抛物线的准线方程是　　　　　　．
4．在校园文化艺术节的比赛中，七位评委老师为某参赛选手打分，打出的分数如“茎叶图”所示，若去掉一个最高分和一个最低分后，则所剩数据的方差为　　　　　　．
5．某校高一、高二、高三年级分别有学生800名，600名，400名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高一抽取x名学生、高二抽取y名学生、高三抽取40名学生，则x+y=　　　　　　　．
6．如图是一个算法流程图，则输出S的值是　　　　　　
7．已知m，n∈N
且n＞m，在公比为q的等比数列{an}中，有an=amqn﹣m成立，类似地，在公差为d的等差数列{bn}中，有　　　　　　　成立．
8．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的　　　　　　条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
9．一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和7的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为　　　　．
10．已知曲线y=lnx+2在点P处的切线经过点A（0，1），则此切线的方程为　　　　　　．
11．若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，点P是两条曲线的一个交点，则PF1PF2的值是　　　　　　．
12．已知g（x）=x3﹣x2﹣x﹣1，若对 x1，x2∈[0，2]，都有m≤g（x1）﹣g（x2）成立，则m的最大值为　　　　　　
13．已知函数f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，其中e为自然对数的底，则满足f（x）＜0的x的取值范围为　　　　　　．
14．已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，若在椭圆上存在点P满足PF=AF，则﹣2（lnc﹣lna）的范围是　　　　　　．
　
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．设命题p：复数z=（m+1）+（m﹣4）i在复平面上对应的点在第一或第三象限，命题q：方程表示双曲线，若“p且q”为真命题，则求实数m的取值范围．
16．为更好地迎接江苏省学业水平测试，某校针对本届高二文科学生，进行了物理学科模拟测试，从参加测试的学生中抽出60名学生，对他们的物理成绩进行统计（注：学生成绩均为整数且满分为100分），并把其中成绩不低于50分的分成五段：[50，60），[60，70）…[90，100]，画出如下部分频率分布直方图．请观察图形的相关信息，回答下列问题：
（1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分的属于不合格需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；
（2）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩为60分或高于60分的属于合格，成绩为90分或高于90分的属于优秀，估计本次测试物理学科的合格率和优秀率．
17．（1）分别从集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣3，4}中随机抽取一个数依次作为m和n的取值，构成关于x的一次函数y=mx+n，求构成的函数y=mx+n是增函数的概率；
（2）在不等式组所对应的区域内，随机抽取一点A（m，n），以m和n的取值构成关于x的一次函数y=mx+n，求构成的函数y=mx+n的图象经过一、二、四象限的概率．
18．如图，在半径为的半圆形（其中O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C、D在圆弧上，点A、B在半圆的直径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（注：不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC=x（m），圆柱的侧面积为S（m2）、体积为V（m3），
（1）分别写出圆柱的侧面积S和体积V关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，才能使得圆柱的侧面积S最大？
（3）当x为何值时，才能使圆柱的体积V最大？并求出最大值．
19．如图，已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR||OS|为定值．
20．已知函数f（x）=lnx，，设F（x）=f（x）+g（x），
（1）当a=2时，求函数F（x）的单调区间；
（2）若函数y=F（x）（x∈（0，1]）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率记为k，且k≤1恒成立，求实数a的最大值；
（3）是否存在实数m，使得函数的图象与函数的图象恰有三个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
　
2015-2016学年江苏省常州市武进区高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．命题“ x＜3，x2＞9”的否定是　 x＜3，x2≤9　．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“ x＜3，x2＞9”的否定是： x＜3，x2≤9，
故答案为： x＜3，x2≤9．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
　
2．若复数（其中i为虚数单位，a∈R）的实部和虚部相等，则a=　3　．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，又由复数z的实部和虚部相等，则a可求．
【解答】解：∵
=，
又复数（其中i为虚数单位，a∈R）的实部和虚部相等，
∴﹣a=﹣3即a=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
　
3．抛物线的准线方程是　y=﹣2　．
【分析】将抛物线的方程化为标准方程，再由x2=2py的准线方程y=﹣，即可得到所求方程．
【解答】解：抛物线，即为
x2=8y，即有2p=8，
可得﹣=﹣2．
则准线方程为y=﹣2．
故答案为：y=﹣2．
【点评】本题考查抛物线的准线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
　
4．在校园文化艺术节的比赛中，七位评委老师为某参赛选手打分，打出的分数如“茎叶图”所示，若去掉一个最高分和一个最低分后，则所剩数据的方差为　　．
【分析】根据题意，计算去掉一个最高分和一个最低分后的平均数与方差即可．
【解答】解：根据茎叶图中的数据，计算去掉一个最高分93，一个最低分79后，
所剩数据的平均数是=×（84+84+86+84+87）=85，
方差是s2=×[（84﹣85）2×3+（86﹣85）2+（87﹣85）2]=．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据计算平均数与方差的应用问题，是基础题目．
　
5．某校高一、高二、高三年级分别有学生800名，600名，400名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高一抽取x名学生、高二抽取y名学生、高三抽取40名学生，则x+y=　140　．
【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系，即可得到结论．
【解答】解：∵高一、高二、高三分别有学生800名，600名，400名，
∴若高三抽取40名学生，设共需抽取的学生数为m，
则=，解得m=180，
则高一、高二共需抽取的学生数为x+y=180﹣40=140，
故答案为：140．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．
　
6．如图是一个算法流程图，则输出S的值是　66　．
【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的S值．
【解答】解：第1次循环得S=0+1=1，k=4，此时不满足判断框的条件，
第2次循环得S=1+42=17，k=7，此时不满足判断框的条件，
第3次循环得S=17+72，k=10，此时满足判断框的条件，
输出S=66，结束程序．
故答案为：66．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，是基础题目．
　
7．已知m，n∈N
且n＞m，在公比为q的等比数列{an}中，有an=amqn﹣m成立，类似地，在公差为d的等差数列{bn}中，有　bn=bm+（n﹣m）d　成立．
【分析】等差数列{an}中，给出第m项bm和公差，求出首项，再把首项代入等差数列的通项公式中，即可得到结论．
【解答】解：在公差为d的等差数列{bn}中，设其首项为b1，则bm=b1+（m﹣1）d，
∴b1=bm+（1﹣m）d，
则bn=b1+（n﹣1）d=bm+（n﹣m）d，
故答案为：bn=bm+（n﹣m）d．
【点评】本题考查了类比推理，类比推理就是根据两个不同的对象在某些方面的相似之处，从而推出这两个对象在其他方面的也具有的相似之处，是基础题．
　
8．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的　充分不必要　条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【分析】利用a=1判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出a=1，即可得到答案．
【解答】解：因为“a=1”时，“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0”
化为l1：x+2y﹣1=0与l2：x+2y+4=0，显然两条直线平行；
如果“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”
必有a（a+1）=2，解得a=1或a=﹣2，
所以“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键．
　
9．一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和7的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为　　．
【分析】以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当蚂蚁在此区域外的区域随机爬行，离顶点的距离大于1，其面积为15﹣π，再用几何概型公式即得本题的概率
【解答】解：如图由已知，高为3，两底分别为3和7的直角梯形面积为×3×（3+7）=15，
离四个顶点距离都大于1的区域是如图阴影部分，即以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当蚂蚁在除此区域外的区域随机爬行，离顶点的距离大于1的部分，其面积为=15﹣π，
∴蚂蚁恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为P=．
故答案为：．
【点评】本题几何概型的概率．着重考查了图形面积的求法和几何概型的概率求法等知识点，属于基础题．
　
10．已知曲线y=lnx+2在点P处的切线经过点A（0，1），则此切线的方程为　x﹣y+1=0　．
【分析】设P（m，n），即有n=lnm+2，求出函数的导数，求得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得m=1，再由斜截式方程可得切线的方程．
【解答】解：设P（m，n），即有n=lnm+2，
y=lnx+2的导数为y′=，
即有切线的斜率为k=，
由题意可得=，
解得m=1，n=2，
即有切线的方程为y=x+1．
即为x﹣y+1=0．
故答案为：x﹣y+1=0．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用直线的斜率公式是解题的关键，属于基础题．
　
11．若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，点P是两条曲线的一个交点，则PF1PF2的值是　16　．
【分析】根据点P为椭圆和双曲线的一个交点，结合椭圆和双曲线的第一定义求出|PF1|与|PF2|的表达式，解方程，即可求出|PF1||PF2|的值．
【解答】解：因为椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，
设P在双曲线的右支上，
利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|=2×5=10①
|PF1|﹣|PF2|=2×3=6②
由①②得：|PF1|=8，|PF2|=2．
∴|PF1||PF2|=16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义、方程和性质，解决本题的关键在于根据椭圆与双曲线有共同的焦点，运用第一定义，考查运算能力，属中档题．
　
12．已知g（x）=x3﹣x2﹣x﹣1，若对 x1，x2∈[0，2]，都有m≤g（x1）﹣g（x2）成立，则m的最大值为　﹣3　．
【分析】问题转化为m≤g（x）min﹣g（x）max，求出函数g（x）的最大值和最小值，代入求出即可．
【解答】解：g′（x）=3x2﹣2x﹣1=（2x+1）（x﹣1），
令g′（x）＞0，解得：x＞1，
令g′（x）＜0，解得：x＜1，
∴g（x）在[0，1）递减，在（1，2]递增；
∴g（x）min=g（1）=﹣2，g（x）max=g（2）=1，
∴m≤g（x）min﹣g（x）max=﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考察了求函数的最值问题，是一道中档题．
　
13．已知函数f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，其中e为自然对数的底，则满足f（x）＜0的x的取值范围为　（1，e）　．
【分析】求f（x）的导数，利用导数性质能求出满足f（x）＜0的x的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，其中e为自然对数的底，
∴=0，得x=e﹣1，
又f（1）=0，f（e）=0，1＜e﹣1＜e，
∴由f（x）＜0得：1＜x＜e．
故答案为：（1，e），
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
　
14．已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，若在椭圆上存在点P满足PF=AF，则﹣2（lnc﹣lna）的范围是　（1，
+2ln2]　．
【分析】求出椭圆的右焦点和右准线，求得AF的长，再由椭圆的性质，可得a﹣c≤|PF|≤a+c，进而得到a≤2c，a，c的关系，令t=（≤t＜1），则f（t）=t2﹣2lnt，运用导数判断单调性，即可得到所求范围．
【解答】解：椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），右准线为x=，
由题意|PF|=|AF|=﹣c，
由椭圆的性质可得a﹣c≤|PF|≤a+c，
即有a﹣c≤﹣c≤a+c，
即有c＜a+c且a﹣c≤c，
则有a≤2c，
即为≤＜1，
则﹣2（lnc﹣lna）=（）2﹣2ln，
令t=（≤t＜1），
则f（t）=t2﹣2lnt，
由f′（t）=2t﹣＜0在[，1）成立，
则有f（t）在[，1]递减，
故f（t）的范围为（1，
+2ln2]．
故答案为：（1，
+2ln2]．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的准线方程的运用，椭圆上一点到焦点的距离的最值，同时考查导数的运用：判断单调性，属于中档题．
　
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．设命题p：复数z=（m+1）+（m﹣4）i在复平面上对应的点在第一或第三象限，命题q：方程表示双曲线，若“p且q”为真命题，则求实数m的取值范围．
【分析】分别判断出p，q为真时的m的范围，从而根据p且q”为真命题，得到命题p与命题q均为真命题，从而求出m的范围即可．
【解答】解：∵复数z=（m+1）+（m﹣4）i在复平面上对应的点在第一或第三象限，
∴（m+1）（m﹣4）＞0，解得m＞4或m＜﹣1，
即命题P：m＞4或m＜﹣1…
∵方程表示双曲线，
∴（1﹣2m）（m+2）＜0，解得或m＜﹣2，
即命题q：或m＜﹣2…
又∵“p且q”为真命题，∴命题p与命题q均为真命题…
则由解得：m＞4或m＜﹣2，
则所求实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）…
【点评】本题考察了复数和双曲线问题，考察复合命题的判断，是一道基础题．
　
16．为更好地迎接江苏省学业水平测试，某校针对本届高二文科学生，进行了物理学科模拟测试，从参加测试的学生中抽出60名学生，对他们的物理成绩进行统计（注：学生成绩均为整数且满分为100分），并把其中成绩不低于50分的分成五段：[50，60），[60，70）…[90，100]，画出如下部分频率分布直方图．请观察图形的相关信息，回答下列问题：
（1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分的属于不合格需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；
（2）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩为60分或高于60分的属于合格，成绩为90分或高于90分的属于优秀，估计本次测试物理学科的合格率和优秀率．
【分析】（1）由各组的频率和等于1，求出成绩低于50分的频率，由此能求出抽取的60名学生中需要补考的学生人数．
（2）求出成绩90及以上的分数所在的第六组的频率，由此能求出估计这次考试物理学科的优秀率；求出成绩为60分及以上的频率，由此能求出估计这次考试物理学科的合格率．
【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，
故成绩低于50分的频率为：1﹣（0.005+2×0.015+0.025+0.03）×10=0.1…
所以低于60分的人数为60×（0.1+0.15）=15（人）
即抽取的60名学生中需要补考的学生人数为15人…
（2）依题意，成绩90及以上的分数所在的第六组（低于50分的为第一组），
频率为0.005×10=0.05，
所以，抽样学生成绩的优秀率是5%，
于是，可以估计这次考试物理学科的优秀率是5%，…
成绩为60分及以上的频率为：f=1﹣（0.1+0.15）=0.75，
即抽样学生成绩的合格率是75%，
于是，可以估计这次考试物理学科的合格率是75%．…
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真频率分布直方图的性质的合理运用．
　
17．（1）分别从集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣3，4}中随机抽取一个数依次作为m和n的取值，构成关于x的一次函数y=mx+n，求构成的函数y=mx+n是增函数的概率；
（2）在不等式组所对应的区域内，随机抽取一点A（m，n），以m和n的取值构成关于x的一次函数y=mx+n，求构成的函数y=mx+n的图象经过一、二、四象限的概率．
【分析】（1）本小题是古典概型问题，欲求函数y=mx+n是增函数的概率，只须求出满足：使函数为增函数的事件空间中元素有多少个，再将求得的值与抽取的全部结果的个数求比值即得．
（2）本小题是几何概型问题，欲求函数y=mx+n的图象经过一、二、四象限的概率，只须求出满足使函数图象过一、二、四象限的区域的面积，再将求得的面积值与整个区域的面积求比值即得
【解答】解：（1）由题意可知，抽取的全部结果可表示为（m，n）并且所有基本事件为：（﹣2，﹣3），（﹣2，4），（﹣1，﹣3），（﹣1，4），（1，﹣3），（1，4），（2，﹣3），（2，4），（3，﹣3），（3，4）共10个基本事件，
设使函数为增函数的事件为A，则需满足m＞0，故事件A包含的基本事件有：（1，﹣3），（1，4），（2，﹣3），（2，4），（3，﹣3），（3，4），共6个基本事件，
则由古典概型公式得：
即构成的函数y=mx+n是增函数的概率为，
（2）m和n满足的不等式组所对应的区域如右图：
要使构成的函数y=mx+n的图象经过第一、二、四象限，则需满足：，
此时符合条件的点（m，n）所在的区域为图中第二象限的阴影部分，
由几何概型的概率公式得所求事件的概率为
即构成的函数y=mx+n的图象经过一、二、四象限的概率为．
【点评】本小题主要考查古典概型、几何概型等基础知识．古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，几何概型的特点有下面两个：（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个．（2）每个基本事件出现的可能性相等．
　
18．如图，在半径为的半圆形（其中O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C、D在圆弧上，点A、B在半圆的直径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（注：不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC=x（m），圆柱的侧面积为S（m2）、体积为V（m3），
（1）分别写出圆柱的侧面积S和体积V关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，才能使得圆柱的侧面积S最大？
（3）当x为何值时，才能使圆柱的体积V最大？并求出最大值．
【分析】（1）连结OC，由BC，OC，可得OB，设圆柱底面半径为r，由AB为底面圆的周长，可得半径r，运用圆柱的侧面积公式和体积公式，即可得到所求解析式；
（2）运用配方和二次函数的最值求法，可得侧面积S的最大值及x的值；
（3）求出体积函数的导数，可得单调区间和极值，且为最值，及x的值．
【解答】解：（1）连结OC，因为BC=x，．
所以，…
设圆柱底面半径为r，则，
即，…
则…
…
（2），
所以当x2=150时，即时，圆柱的侧面积为S为最大…
（3）∵
∴，由V'=0解得x=10，…
又在x∈（0，10）上V'＞0，在上V'＜0，
所以在（0，10）上是增函数，在上是减函数，
所以当x=10（m）时，圆柱的体积V的最大值为…．
【点评】本题考查圆柱的侧面积和体积的最值的求法，注意运用二次函数的最值求法和由导数求单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
　
19．如图，已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR||OS|为定值．
【分析】（1）依题意，得a=2，，由此能求出椭圆C的方程．
（2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），设y1＞0．由于点M在椭圆C上，故．由T（﹣2，0），知=，由此能求出圆T的方程．
法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，由T（﹣2，0），得=，由此能求出圆T的方程．
（3）法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故，由此能够证明|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4为定值．
法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，由此能够证明|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4为定值．
【解答】解：（1）依题意，得a=2，，
∴c=，b==1，
故椭圆C的方程为．…
（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，
设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．
由于点M在椭圆C上，所以．
（
）
…
由已知T（﹣2，0），则，，
∴
=（x1+2）2﹣
=
=．…
由于﹣2＜x1＜2，
故当时，取得最小值为．
由（
）式，，故，
又点M在圆T上，代入圆的方程得到．
故圆T的方程为：．…
方法二：点M与点N关于x轴对称，
故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），
不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），
则
=（2cosθ+2）2﹣sin2θ
=5cos2θ+8cosθ+3
=．…
故当时，取得最小值为，
此时，
又点M在圆T上，代入圆的方程得到．
故圆T的方程为：．
…
（3）方法一：设P（x0，y0），
则直线MP的方程为：，
令y=0，得，
同理：，…
故
（
）
…
又点M与点P在椭圆上，
故，，…
代入（
）式，
得：．
所以|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4为定值．
…
方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），
不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．
则直线MP的方程为：，
令y=0，得，
同理：，…
故．
所以|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4为定值．…
【点评】本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．
　
20．已知函数f（x）=lnx，，设F（x）=f（x）+g（x），
（1）当a=2时，求函数F（x）的单调区间；
（2）若函数y=F（x）（x∈（0，1]）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率记为k，且k≤1恒成立，求实数a的最大值；
（3）是否存在实数m，使得函数的图象与函数的图象恰有三个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出F（x）的导数，通过讨论x的范围，得到函数的单调区间；（2）问题转化为在x0∈（0，1]上恒成立，根据函数恒成立求出即可；
（3）问题转化为方程恰有三个不同的实数根，令G（x）=，通过求导得到G（x）的极大值和极小值，从而判断结论．
【解答】解：（1）∵a=2，∴，
则，…
当﹣x2+x+2＞0时，解得0＜x＜2时，F′（x）＞0，
即函数y=F（x）在（0，2）上单调递增，…
当﹣x2+x+2＜0时，解得x＞2时，F′（x）＜0，
即函数y=F（x）在（2，+∞）上单调递减，
则函数y=F（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（2，+∞），…
（2）∵，
∴，…
以函数y=F（x）（x∈（0，1]）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率为k
则在x0∈（0，1]上恒成立，
即在x0∈（0，1]上恒成立，…
令
当时，，
所以，即所求实数a的最大值为…
（3）∵函数的图象与函数的图象恰有三个不同交点，
∴方程恰有三个不同的实数根，
即方程恰有三个不同的实数根，…
令G（x）=，
则，
由G′（x）＞0解得：x＞2或0＜x＜1，由G'（x）＜0解得：1＜x＜2，
所以函数y=G（x）在（0，1）和（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，…
即当x=1时，函数G（x）的极大值为G（1）=﹣2，
即当x=2时，函数G（x）的极小值为，
则由函数y=G（x）图象的草图可知，当时，
方程恰有三个不同的实数根，
即函数的图象与函数的图象恰有三个不同交点．
…
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道综合题．