专题01《集合》2026高考数学一轮复习训练试卷（新高考）（含解析）

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专题01《集合》2026高考数学一轮复习训练试卷（新高考）
一、单选题
1．设集合，若，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知集合则（　　）
A． B． C． D．
3．设全集，集合满足，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
6．设集合，则中元素的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知集合，集合，则（　　）
A． B．
C． D．
8．用列举法可将集合表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．已知集合，，则的子集的个数为（　　）
A．3 B．4 C．8 D．16
10．已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
11．已知集合，，则(　　)
A． B．
C． D．
12．满足 的集合A的个数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．15
13．设集合U=R， ，，则图中阴影部分表示的集合为（　　）
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}
C．{x|014．设全集，集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
15．下列说法正确的是（　　）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式的解集是，则的值为
16．已知集合，，则有（　　）
A． B． C． D．
17．下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
18．设全集，若集合，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
19．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
20．已知集合，集合，则（　　）
A． B．
C． D．
21．下列四个命题，其中说法正确的是（　　）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．，，若，则
D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为
22．已知集合，，定义运算，则下列描述正确的是（　　）
A．
B．记为集合，则
C．若，则符合要求的有个
D．中所有元素之和为
三、填空题
23．已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是　 　.
24．已知集合，若，则实数的取值范围为　 　.
25．设，，，，是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是　 　．
26．已知集合．若，则实数　 　．
27．已知集合，，若且，则实数a的取值范围是　 　.
28．设是非空集合，定义：且．已知，则等于　 　．
四、解答题
29．设全集，集合，集合．
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．
30．已知集合
（1）若，求；
（2）若是的充分条件，求实数a的取值范围.
31．维向量是平面向量和空间向量的推广，对维向量，记，设集合.
（1）求，；
（2）（i）求中元素的个数；
（ii）记，求使得成立的最大正整数.
答案与解析
1．【答案】A
【解析】【解答】解：因为集合，且， 所以，即，故.
故答案为：A.
【分析】根据集合的运算性质求解即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】明确补集和交集的定义.求出集合在全集中的补集，求这个补集与集合的交集.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意，，所以.
故答案为：B.
【分析】利用补集运算的定义即可求解.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：由解得，所以．
故选：C．
【分析】根据集合表示的意义，即求出的交点，联立方程组求解即可．
5．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得，，
故选：A.
【分析】根据交集的交集运算即可求得.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以，所以中元素的个数为5.
故选：B.
【分析】先出求集合，再求，进而即可求得中元素的个数.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
集合，则.
故答案为：D.
【分析】解不等式求得集合A，再根据集合的交集的运算求解即可.
8．【答案】D
【解析】【解答】由题意， ，可得集合元素为， ， ， ，所以集合用列举法可表示为 .
故答案为： D .
【分析】根据元素与集合的关系以及列举法的概念即可得出答案.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：因为
，
，
所以，
所以的子集个数为．
故答案为：D．
【分析】根据集合的描述法确定列举出集合中的元素，再根据交集的运算法则可得集合，从而根据其元素个数得出集合的子集个数.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：由 可知，即x>0，故B={x|x>0}，
所以A∩B={x|-1≤x≤1}∩{x|x> 0}={x|0 故答案为：D.
【分析】解出集合B，利用交集计算即可.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：由，解得，即集合；
由，得，解得，即集合，
则.
故答案为：C.
【分析】先解不等式求得集合A，B，再根据集合的并集运算求解即可.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：因为集合满足 ，
则集合中必有，集合还可以有元素，
满足条件的集合有，共7个.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件可知集合中必有，集合还可以有元素，从而写出集合的所有情况，则得出满足 的集合A的个数.
13．【答案】D
【解析】【解答】因为等价于，解得 ，
所以，所以或，
要使得函数有意义，只需，解得，
所以
则由韦恩图可知阴影部分表示.
故选：D.
【分析】本题考查集合的交集运算.先解指数不等式可求出集合A，再求出函数的定义域可求出集合B，观察图形可得：阴影部分表示，利用集合补集的定义可求出集合，利用集合交集的定义可求出答案.
14．【答案】C
【解析】【解】x2-2x>0得x>2或x<0，故A={x|x>2或x<0}，B={x|x≠0}，，于是{x|0故答案为：C.
【分析】分别求不等式得到集合A，求出B中函数的定义域即为集合B，再求B集与交集.
15．【答案】C,D
【解析】【解答】解：A、等价于，解得或，故A错误；
B、等价于，解得，故B错误；
C、若不等式恒成立，当时，不成立；
要使不等式恒成立，则，不等式组无解，故C正确；
D、易知是一元二次方程的两根，由韦达定理可得，
解得，当时，一元二次不等式，等价于解得，满足题意，则的值为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】解一元二次不等式即可判断AB；对a分情况讨论，求解即可判断C；根据一元二次不等式的解集和二次方程的根的关系，先确定再求的值即可判断D .
16．【答案】B,C
【解析】【解答】解：根据可得：，所以当且仅当，即时取等号，故B选项正确；又因为，故A选项错误；又集合S中的元素为点集，而集合T中的元素为数集，不是同类集合，故，，所以C选项正确，D选项错误.
故答案为：.BC
【分析】本题主要考查元素与集合的关系，交集与并集的运算，基本不等式，根据已知集合S中的等式利用基本不等式求得当且仅当，即时取等号，即可判定AB选项，再根据集合的种类结合交集并集的运算即可判定BC选项.
17．【答案】A,C,D
【解析】【解答】A. ，A正确；
B. ，B错误；
C. ，C正确；
D.空集是任意集合的子集， ，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据集合与集合、集合与元素的关系判断选项.
18．【答案】A,B,C
【解析】【解答】对于A，，，A符合题意；
对于B，，，B符合题意；
对于C， ，，C符合题意；
对于D，当时，，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则、并集的运算法则、补集的运算法则和集合间的包含关系，从而找出结论正确的选项。
19．【答案】A,C
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
对于A： ，故A正确；
对于B： ，故B错误；
对于C： ，则 ，故C正确；
对于D：，则 ， 所以 ，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】根据题意求集合A，B，结合集合间的关系以及集合的运算，逐项分析判断.
20．【答案】C,D
【解析】【解答】解：易知集合，
A、集合，，则，故A错误；
B、，故B错误；
C、由集合，则，故C正确；
D、由集合，则，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】先利用列举法表示集合，再根据集合的基本运算和元素与集合的关系即可判断.
21．【答案】A,D
【解析】【解答】解：因为，由对数函数单调递增，所以，
所以所以满足满足充分性；
因为，所以，
当时，则；
当时，推不出；
所以“”是“”的充分不必要条件，所以A对；
对于B，命题“，”的否定是“，”，所以B错；
对于C，因为，，又因为，所以，则，所以C错；
对于D，因为向量，，
则向量在向量上的投影向量为，所以D对.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法判断出选项A；利用全称命题与特称命题互为否定的关系，进而判断出选项B；利用向量共线的坐标表示，进而得出k的值，从而判断出选项C；利用数量积求投影向量的方法判断出选项D，进而找出说法正确的命题。
22．【答案】B,D
【解析】【解答】解：因为，则有：
　 0 1 3
1 1 2 4
2 2 3 5
所以.
对于A： ，故A错误；
对于B：因为 ，所以，故B正确；
对于C：若，则必有元素1，2，可能有3，4，5，
所以符合要求的有个，故C错误；
对于D：中所有元素之和为，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】根据题意可得，进而逐项分析判断.
23．【答案】2或4
【解析】【解答】解：当a=2时，，
当a=4时，，
当a=6时，，
则a的值是2或4.
故答案为：2或4.
【分析】 根据a∈A时，6-a∈A，即可得出答案.
24．【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：集合，
因为，所以，故实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意求得集合，再根据求的范围即可.
25．【答案】
【解析】【解答】解：因为，，
所以元素个数为4，所以中元素个数至少个，
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意，
综上所述，集合中元素个数最少为.
故答案为：.
【分析】由题意可得与的元素不同，则元素个数为4，并得到中元素个数至少4个，进而对元素的个数由小到大进行分类分析验证是否满足即可．
26．【答案】
【解析】【解答】解： 集合，若，
则4必定在集合中，
当时，解得或，
当时，，则，与题意不符，舍去；
当时，，则，符合题意，所以，
当时，解得，此时，不满足，舍去，
综上，即实数的值为.
故答案为：.
【分析】分类讨论求解参数即可.
27．【答案】
【解析】【解答】解：由得：，所以，因为且，所以.
故答案为：.
【分析】解分式不等式求解集合，结合集合交集 并集的定义，即可求解.
28．【答案】
【解析】【解答】解：因为解得，所以集合，所以，故=.
故答案为：.
【分析】先求的定义域从而求得集合，再求，最后根据定义求即可.
29．【答案】（1）解：由“”是“”的充分不必要条件，得，
又因为，，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）解：因为命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，
则，所以，不等式无解集，
所以实数的取值范围.
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而得出集合间的包含关系，再借助数轴得出不等式组，进而解不等式组得出实数a的取值范围.
（2）利用全称命题的真假性，将问题转化为，再分空集和非空集合讨论，再根据集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）由“”是“”的充分不必要条件，得 ，
又，，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，
则，无解，
所以实数的取值范围.
30．【答案】解：（1），
当时，，
则；
（2）因为，所以
又因为是的充分条件，所以，所以，解得，
即实数a的取值范围是.
【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求得集合P，将代入求得集合Q，再根据集合的交集运算求解即可；
（2）由题意，可得，列不等式组求参数范围即可.
31．【答案】（1）解：，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
；
，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
.
（2）解：（i）设中元素的个数为，
，，
为偶数时，，且，
，
中的元素个数为.
（ii）①当时，
；
②当时，
；
③当时，
；
；
要使得成立，
其必要条件是当时，，
令，则，
数列为递增数列，又，，
的解为；
当时，，
即充分性成立；
使得成立的最大正整数.
【解析】【分析】（1）利用已知条件列举出所有可能的情况，再根据可求得，的值.
（2）（i）设中元素的个数为，根据定义可得递推关系式，再结合等比数列求和公式，即可推导求得，从而得出中元素的个数.
（ii）首先确定的必要条件为当时，，由此可得；再验证当时充分性成立，从而得到使得成立的最大正整数的值.
（1），
当时，；当时，；当时，；当时，，
；
，
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，
.
（2）（i）设中元素的个数为，
，，
为偶数时，，且，
，
中的元素个数为.
（ii）①当时，
；
②当时，
；
③当时，
；
；
要使得成立，其必要条件是当时，，
令，则，
数列为递增数列，又，，
的解为；
当时，，
即充分性成立；
使得成立的最大正整数.
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