江苏省南京理工大学附中2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）(含部分答案)

2025-2026 学年江苏省南京理工大学附中九年级（上）月考数学试卷（10
月份）
一、选择题：本题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，关于 x 的一元二次方程的是（ ）
A. x+y=1 B. 3x+y2=2 C. 2x-x2=3 D. x+ =4
2.⊙O 的半径为 3，点 A 到圆心 O 的距离为 4，点 A 与⊙O 的位置关系是（ ）
A. 点 A 在⊙O 外 B. 点 A 在⊙O 内 C. 点 A 在⊙O 上 D. 不能确定
3.如图，把一块长为 40cm，宽为 30cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿
虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为 600cm2，设剪去小正方形的
边长为 xcm，则可列方程为（ ）
A. （30-2x）（40-x）=600 B. （30-x）（40-x）=600
C. （30-x）（40-2x）=600 D. （30-2x）（40-2x）=600
4.如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠AOC=130°，∠B 的大小是（ ）
A. 50°
B. 100°
C. 115°
D. 130°
5.若 a，b，c 满足 ，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的解是（ ）
A. 1，0 B. -1，0 C. 1，-1 D. 无实数根
6.如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A 半径为 2，P 为
⊙A 上任意一点，E 是 PC 的中点，则 OE 的最小值是（ ）
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A. 1
B.
C. 2
D.
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。
7.用配方法解方程 x2+10x-7=0，则方程可变形为（x+5）2=______．
8.随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司 2021 年缴税 40 万元，2023 年缴税 48.4 万元.该
公司这两年缴税的年平均增长率是 .
9.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，OC=5，CD=6，则 AE= .
10.如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB=AD，∠C=108°，点 E 在 上，
则∠E= °.
11.如图，点 O 是△ABC 的内心，∠A=70°，则∠BOC=______．
12.如图，AB 是⊙O 的弦，∠OAB=20°，则弦 AB 所对的圆周角的度数为 .
13.若 a,b 是一元二次方程 2x2+3x-4=0 的两个实数根，则 2a2+5a+2b 的值是 .
14.如图：AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB、CD 的延长线交于 E 点，已
知 AB=2DE，∠E=16°，则∠AOC 的大小是 °.
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15.如图，半径为 2 的⊙P 的圆心在直线 y=2x-1 上运动，当⊙P 与 x 轴相切
时，圆心 P 的坐标为 .
16.如图①，在矩形 ABCD 中，点 E 为 BC 的中点，点 P 沿 BC 从点 B 运动
到点 C，设 B、P 两点间的距离为 x,PA-PE=y,点 P 运动时 y 随 x 变化的函数
图象如图②所示，则 BC 的长是 .
三、解答题：本题共 10 小题，共 88 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 16 分)
用适当的方法解下列方程：
（1）（2x+3）2=（3x+2）2；
（2）x2-2x=5；
（3）x（x-1）=2-2x；
（4） .
18.(本小题 6 分)
关于 x 的方程 x2-（m+4）x+3m+3=0.
（1）求证：不论 m 取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于 2，则 m 的取值范围是______.
19.(本小题 6 分)
如图，⊙O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，AB=CD，连接 AD，BC．
求证： ．
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20.(本小题 7 分)
商场销售一批衬衫，平均每天可售出 30 件，每件盈利 45 元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取降价措
施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．如果降价后商场销售这批衬
衫每天盈利 1800 元，那么这种衬衫每件的价格应降价多少元？
21.(本小题 7 分)
已知：如图，在⊙O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，PC=PD， .
求证：弦 AB 是⊙O 的直径.
22.(本小题 8 分)
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心 O 在 AC 上，且⊙O 与 BC、AB 都相切；（要求：不写作法，保留作图
痕迹）
（2）若 AC=6，BC=8，则⊙O 的半径长为______．
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23.(本小题 8 分)
如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，延长 BC 至点 D，使 DC=BC.延长 DA 与⊙O 的另一个交点为 E，
连接 AC，CE.
（1）求证：∠D=∠E；
（2）若 AB=13，BC-AC=7，求 CE 的长.
24.(本小题 10 分)
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AD 为直径作⊙O 交 AB 于点 E，连接 CE，CE=BC.
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若 CD=2， ，求⊙O 的半径.
25.(本小题 9 分)
如图，利用一面墙（墙长 25 米），用总长度 49 米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏 ABCD，且中
间共留两个 1 米的小门，设栅栏 BC 长为 x 米．
（1）AB=______米（用含 x 的代数式表示）；
（2）若矩形围栏 ABCD 的面积为 210 平方米，求栅栏 BC 的长；
（3）矩形围栏 ABCD 的面积是否有可能达到 240 平方米？若有可能，求出相应 x 的值，若不可能，请说明
理由．
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26.(本小题 11 分)
[学习心得]
（1）宁宁在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以
使问题变得非常容易，
例如：如图 1，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°.D 是△ABC 外一点，且 AD=AC，求∠BDC 的度数.若以
点 A 为圆心，AB 长为半径作辅助圆⊙A，则 C，D 两点必在⊙A 上，∠BAC 是⊙A 的圆心角，∠BDC 是⊙A
的圆周角，则∠BDC=______°；
[初步运用]
（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=26°，求∠BAC 的度数；
[方法迁移]
（3）如图 3，已知线段 AB 和直线 l,用直尺和圆规在 l 上作出所有的点 P，使得∠APB=30°（不写作法，保
留作图痕迹）；
[问题拓展]
（4）①如图 4①，已知矩形 ABCD，AB=2，BC=m,点 M 为边 CD 上的一点.
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若满足∠AMB=45°的点 M 恰好有两个，则 m 的取值范围为______.
②如图 4②，在△ABC 中，∠BAC=45°，AD 是 BC 边上的高，且 BD=6，CD=2，求 AD 的长，
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1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】32
8.【答案】10%
9.【答案】9
10.【答案】126
11.【答案】125°
12.【答案】70°或 110°
13.【答案】7
14.【答案】48
15.【答案】（ ，2）或（- ，-2）
16.【答案】6
17.【答案】x1=-1，x2=1；
；
x1=1，x2=-2；
18.【答案】见解答；
m＜1．
19.【答案】证明：∵AB=CD，
∴ = ，
∴ + = + ，
∴ = ．
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20.【答案】解：设这种衬衫每件的价格降价了 x 元，则每件盈利（45-x）元，平均每天的销售量为（30
+2x）件，
依题意得：（45-x）（30+2x）=1800，
整理得：x2-30x+225=0，
解得：x1=x2=15．
答：这种衬衫每件的价格应降价 15 元．
21.【答案】如图，连接 BC，BD，
∵ ，
∴BC=BD，
又∵PC=PD，BP=BP，
∴△BPC≌△BPD（SSS），
∴∠BPC=∠BPD，
∵∠BPC+∠BPD=180°，
∴∠BPC=∠BPD=90°，
∴AB 是线段 CD 的垂直平分线，
∴AC=AD，
由对称性可知，弦 AB 是⊙O 的直径．
22.【答案】（1）如图所示，⊙O 即为所求．
（2） ．
23.【答案】∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
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又∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D，
∵∠B=∠E，
∴∠E=∠E；
12
24.【答案】（1）证明：如图，连接 OE，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠AED=∠DEB=90°，
∴∠DEC+∠CEB=90°．
∵CE=BC，
∴∠B=∠CEB，
∴∠A=∠DEC．
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE．
∵∠A+∠ADE=90°，
∴∠DEC+∠OED=90°，即∠OEC=90°，
∴OE⊥CE．
∵OE 是⊙O 的半径，
∴CE 是⊙O 的切线；
（2）解：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， ，
设⊙O 的半径为 r,则 OD=OE=r,AC=2r+2，
∴AC2+BC2=AB2，
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∴ ．
在 Rt△OEC 中，∠OEC=90°，
∴OE2+CE2=OC2，
∴r2+BC2=（r+2）2，
∴BC2=（r+2）2-r2，
∴ ，
解得 r=3，或 r=-3（舍去）．
∴⊙O 的半径为 3．
25.【答案】解：（1）（51-3x）
（2）依题意，得：（51-3x）x=210，
整理，得：x2-17x+70=0，
解得：x1=7，x2=10．
当 x=7 时，AB=51-3x=30＞25，不合题意，舍去，
当 x=10 时，AB=51-3x=21，符合题意，
答：栅栏 BC 的长为 10 米；
（3）不可能，理由如下：
依题意，得：（51-3x）x=240，
整理得：x2-17x+80=0，
∵Δ=（-17）2-4×1×80=-31＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏 ABCD 的面积不可能达到 240 平方米．
26.【答案】45；
26°；
见解答过程；
①2≤m＜ +1；②2 +4
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