不等式（含解析）--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业

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不等式--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业
一、选择题
1．,,,则的最小值是( )
A.12 B.13 C.16 D.18
2．若,则的最小值为( )
A. B. C. D.
3．已知，，则( )
A. B. C. D.
4．已知，则的最小值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
5．已知，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.（）
6．已知，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
7．若,,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8．若对任意实数，，不等式恒成立，则实数a的最小值为( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若,则下列命题正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若且,则 D.
10．若实数a，b满足，则下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
11．已知，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
12．已知，则( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．已知,则的最大值为___________.
14．若，，则的取值范围是________.
15．已知正数x,y满足,则的最小值为_____________．
16．已知x，y为正实数，且，则的最小值为________.
四、解答题
17．已知实数a,b满足:
（1）,求的取值范围;
（2）求的取值范围.
18．(1)已知,求的最小值；
(2)已知两正数满足,求的最小值．
19．(1)已知,求函数的最小值.
(2)已知,,且,求的最小值.
20．如图,矩形的对角线经过矩形的顶点M,且,.
(1)设,矩形的面积为S,请写出S关于x的关系式,并说明理由；
(2)求矩形面积的最小值.
21．（1）已知，求的最小值﹔
（2）已知，，且，求的最小值.
22．已知，，且.
(1)证明：；
(2)求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,则;
当且仅当时,即时,等号成立,
因此的最小值是16.
故选:C
2．答案：A
解析：,,,
法一：,当且仅当时,上式等号成立,
又,可得,时,的最小值为.
故选：A.
法二：,当且仅当时,上式等号成立,
又,可得,时,的最小值为.
故选：A.
3．答案：D
解析：因，则，
①当时，有，，则；
②当时，有，则；
③当时，有，，则；
综上，
故选：D
4．答案：A
解析：因为，所以，
所以根据基本不等式的性质可得.
当且仅当时，即时等号成立.
此时的最小值为5.
故选：A.
5．答案：D
解析：对于A中，当，时，，
此时，所以A错误；
对于B中，当，时，，所以B错误.
对于C中，当时，，所以C错误.
对于D中，因为，可得，所以D正确.
故选：D.
6．答案：C
解析：因为，所以，
对于选项A：因为，所以，故A正确；
对于选项B：因为，所以，故B正确；
对于选项C：取，，则，，即，故C错误；
对于选项D：因为，，所以，故D正确.
故选：C.
7．答案：A
解析：因为,,所以,,
所以,
所以的取值范围为.
故选：A.
8．答案：D
解析：对任意实数，，
不等式恒成立，
则对于任意实数，恒成立，
则只需求的最大值即可，，
设，则，
再设，
则
，
当且仅当，即时取得“=”.
所以，即实数a的最小值为.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：对于A选项,若,则,则,A正确；
对于B选项,若,则,B错误；
对于C选项,若且,则,
则,故,C正确；
对于D选项,,
当且仅当时,等号成立,故,D正确.
故选：ACD.
10．答案：BCD
解析：对于A：因为，所以，所以，A恒成立；
对于B：若，，，满足，但；
若，，，则满足，且，B不一定成立；
对于C：若，，则满足，但；
若，，则满足，且，C不一定成立；
对于D：若，，则满足，但；
若，，则满足，且，D不一定成立；
故选：BCD.
11．答案：BC
解析：对于A选项，由，有，故A选项错误；
对于B选项，由，有，故B选项正确；
对于C选项，由，有，故C选项正确；
对于D选项，由，有，有，故D选项错误.
故选：BC.
12．答案：BCD
解析：对于选项A，，
所以，选项A错误；
对于选项B，，所以成立；
对于选项C，，所以成立；
对于选项D，，所以成立.
故选：BCD.
13．答案：
解析：由知,,
当且仅当,即时取得等号,
即的最大值为,
故答案为：.
14．答案：
解析：显然，故，故，
故取值范围为.
故答案为:
15．答案：9
解析：因为x,y为正数,且,即,
所以,
当且仅当时,等号成立,所以的最小值为9.
故答案为：9.
16．答案：4
解析：因为，
又，所以，
整理得，
解得或（舍去，因为，），
当且仅当，时取等号.
所以的最小值为4.
故答案为：4
17．答案：（1）的取值范围为,的取值范围为;
（2）的取值范围为.
解析：（1）因为,所以,又因为,所以;
因为,所以,又因为,所以;
所以的取值范围为,的取值范围为;
（2）令,,
所以,解得,
因为,
所以,
所以,
所以的取值范围为.
18．答案：(1)
(2)9
解析：(1)因为,所以,
所以,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为；
(2)因为,所以,
所以,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为9.
19．答案：(1)
(2)16
解析：(1),
因为,所以,
由基本不等式得,
当且仅当,即时等号成立,
所以.
(2)由得,
因为,所以,
所以,
所以,
由基本不等式得,
当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值为.
20．答案：(1),理由见解析
(2)240
解析：(1)方法一：根据相似的性质可得,
所以,解得,
所以.
方法二：根据相似的性质可得,则,得,
所以.
(2)由(1)得,当且仅当,即时,等号成立,
故矩形面积的最小值为240.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1），
当且仅当，即时等号成立
（2），
当且仅当，即，时等号成立.
22．答案：(1)证明见解析
(2)2
解析：(1)因为，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，所以.
(2)因为，所以.
因为，，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
则，故，即的最小值是2.
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