常用逻辑用语（含解析）--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业

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常用逻辑用语--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业
一、选择题
1．设集合.，那么“且”是“”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2．用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，，若，设实数a的所有可能取值构成集合S.则( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3．已知，设p：，q：.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
5．命题“，”的否定为( )
A.， B.，
C.， D.，
6．已知集合，，且，则( )
A. B.
C. D.
7．“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．已知集合，，，则集合A，B，C的关系是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知集合,集合,下列关系正确的是( ).
A. B. C. D.
10．已知，，若，则a的值可能是( )
A. B.0 C. D.1
11．已知集合A中三个元素分别为2,,,若,则x的取值可能为( )
A. B.0 C.1 D.2
12．已知集合,,若,则的值可能为( )
A. B.2 C. D.12
三、填空题
13．若“”为真命题,则实数a的取值范围是______.
14．集合，用列举法表示集合______.
15．命题的否定为________.
16．若，则________.
四、解答题
17．已知p：q：或.
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若p是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
18．已知集合,
(1)若,求实数a的取值范围
(2)若,求实数a的取值范围
19．已知集合，集合，若成立的一个必要不充分条件是，求实数a的取值范围.
20．设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，求a的取值范围.
21．若集合A具有以下性质：
①,；
②若,则,且时,.
则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合,有理数集Q是否是“好集”,直接写出结论；
(2)设集合A是“好集”,求证：若,则；
(3)设集合A是“好集”,求证：若,则；
22．已知a,b是实数,求证：成立的充要条件是.
参考答案
1．答案：C
解析：当且成立时，
根据集合的交集定义可知：，
当成立时，根据集合的交集定义可知：且，
故“且”是“”的充分必要条件，
故选：C
2．答案：B
解析：，要使，
则或.
当时，，满足.
当时，首先有两个不同的解或，
其次，对于，，
当时，或，
当时，，，
此时，满足.
当时，，，
此时，满足.
当，即时，
无解，不符合题意.
当，即或时，
的解为或，
不是的解，
由，解得，
当时，，满足，
当时，，满足，
当时，，不符合题意.
综上所述，，.
故选：B
3．答案：C
解析：设集合，，集合，
因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
则，解得.
故选：C
4．答案：D
解析：因为，，
所以.
故选：D
5．答案：B
解析：命题“，”的否定为“，”.
故选：B
6．答案：C
解析：由，可得，
解得，所以A、B错误；
则，可知，所以C正确；
，所以D错误；
故选：C.
7．答案：A
解析：当时，成立，
当时，不一定成立，
即“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
8．答案：C
解析：集合，
当时，，
当时，，
又集合，，
集合，
集合，，
可得，
综上可得
故选：C.
9．答案：ACD
解析：由已知集合,集合B是由抛物线上的点组成的集合,
A正确,B错,C正确,D正确,
故选：ACD.
10．答案：BCD
解析：因为，，且，
当时，，符合题意，
当时，，则或，
解得或，
综上所述，a的值可能是0或1或.
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：由,则或,
若,解得或2,代回集合检验可得合题意,（舍去）,
若,解得,代回集合检验可得合题意,（舍去）,
综上,x的可能取值为或2.
故选：AD.
12．答案：ABD
解析：因为,所以或.
①当时,,,
所以或,得或4.
当时,不合题设,舍去.
当时,,,此时.
②当时,,,
所以或,解得：或或
当时,不合题设,舍去.
当时,,此时.
当时,,此时.
故选：ABD.
13．答案：
解析：设,
,即,在上有解,
则,由变形得,
当时,,根据有解,得.故答案为:.
14．答案：
解析：因为集合，
当时，；当时，；
所以.
故答案为：.
15．答案：
解析：命题的否定为.
故答案为：.
16．答案：
解析：因为，所以①或②，
由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，
故符合题意，此时；
由②得符合题意，此时；
综上，的值为.
故答案为：
17．答案：(1)或；
(2).
解析：(1)因为p：，
所以p：，即，
因为p是q的充分条件，所以或，
解得或，
即实数m的取值范围是或；
(2)依题意，：，
由(1)知p：，
又p是的必要不充分条件，
所以，其中等号不能同时取到，
解得，即实数m的取值范围是.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)若,这意味着一元二次方程有实数解,
所以或,
所以实数a的取值范围为；
(2)；
若,则当且仅当,
情形一：若,显然满足题意,此时；
情形二：若,此时不是集合A的子集,不符合题意,
若,此时,符合题意；
情形三：若或,且,则只能,此时,无解；
综上所述,实数a的取值范围为.
19．答案：
解析：由题意知，是的必要不充分条件，
因此B是A的真子集.易得.
①当时，，解得；
②当时，有无解；
③当时，有无解.
综上，实数a的取值范围为.
20．答案：
解析：若“”是“”的必要条件，则，
又集合B为非空集合，故有解得，所以a的取值范围.
21．答案：(1)B不是“好集”；Q是“好集”
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1)B不是“好集”, 理由是：
,,而,B不是“好集”；
Q是“好集”, 理由是：,；对任意,,有,
且时,,有理数集Q是“好集”.
(2)因为集合A是“好集”,所以.
若,则,即.
所以,即.
(3)对任意一个“好集”A,任取,
若或时,显然.
且时,由定义可知：,.
所以,即.
所以.
由(2)可得：,即.
22．答案：证明见解析
解析：先证明充分性：
若,则成立.
所以“”是“”成立的充分条件；
再证明必要性：
若,则,
即,
,
,
,
,
即成立.
所以“”是“”成立的必要条件.
综上：成立的充要条件是.
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