对数的运算（含解析）--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业

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对数的运算--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业
一、选择题
1．若，，，则( )
A. B.
C. D.
2．若，，，则( )
A. B. C. D.
3．已知,则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
4．已知函数,,若,,对任意的,总存在,使得,则实数b的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．已知函数（且）的图象经过定点,则( )
A. B. C. D.3
6．若,,,则( )
A. B. C. D.
7．函数的值域为( )
A. B.
C. D.
8．下列关系中正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．下列各函数中,是指数函数的是( )
A. B. C. D.x
10．下列大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
11．如图，正方体边长为2，E，F分别是，中点，平面截正方体与棱，分别交于点G，H，下列选项正确的是( )
A.，，三线交于一点
B.P是多边形边上的动点，的最大值是
C.正方体被截面分成上下两部分的体积之比为
D.棱锥的外接球的表面积为
12．若函数，且是指数函数，则下列说法正确的有( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．函数（且）的图象恒过定点是______.
14．已知函数（且）的图像过定点,正实数m,n满足,则的最小值为________________.
15．函数（且）的图像恒过定点P,则点P的坐标为________________.
16．函数且过定点,则_______________.
四、解答题
17．已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.
（1）求函数和的解析式，并判断函数的单调性；
（2）求函数，的最小值.
18．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将的图象向左平移1个单位长度，得到的图象，求的最大值.
19．已知指数函数（，且）的图象过点，，.
（1）若，求x的取值范围；
（2）判断在上的单调性.
20．已知函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
（1）求的解析式；
（2）函数，，求的最小值.
21．已知函数是指数函数.
（1）求实数m的值;
（2）解不等式
22．比较下列各组数中两个数的大小：
(1),;
(2),;
(3),;
(4),.
参考答案
1．答案：B
解析：因为是减函数，所以，
因为在单调递增，
所以，故，所以，
又是增函数，所以，所以.
故选：B.
2．答案：B
解析：因为，，，
所以，，.
设函数，则，
当时，，单调递减，
所以，所以，故.
故选：B
3．答案：C
解析：是减函数,,所以,
又,
．
故选：C．
4．答案：D
解析：函数在上单调递增,所以.函数的图象开口向下,
对称轴为直线,所以在[1,3]上单调递减,所以.因为对任意的,
总存在,使得,所以,所以,解得.
故选：D.
5．答案：C
解析：令,得,此时,
所以定点P的坐标为,即,,所以.
故选：C.
6．答案：B
解析：因为,,,所以,,.
设函数,则,当时,,单调递减,
所以,所以,故.
故选：B.
7．答案：D
解析：令,则,当时取等号,
又为R上的单调递增函数,故,即,
故函数的值域为,
故选：D.
8．答案：D
解析：幂函数在单调递增,所以,
指数函数单调递减,所以,
所以.
故选:D
9．答案：BD
解析：由指数函数定义知,指数函数的一般形式为：选项A中,,所以选项A错误；
根据指数函数的定义,选型BD正确；
选项C中,,不符合指数函数的形式,选项C错误；
故选：BD.
10．答案：AC
解析：对于A选项,对于指数函数,因为,指数函数单调递减.
又因为,,即.
所以,A选项正确.
对于B选项,对于,,是单调递减函数,.
在单调递增,,所以,B选项错误.
对于C选项,,.
是单调递增函数,.所以,C选项正确.
对于D选项,,.
是单调递增函数,,则,其倒数关系为.
所以,D选项错误.
故选：AC.
11．答案：ABC
解析：由E，F分别是，中点，所以作直线必与交于一点，
而平面且与平面不平行，所以与平面有且仅有一个交点，
G为平面与棱的交点，所以延长也必与交于一点，
由A，G，E，F都在平面，所以、、交于同一点R，A对；
同A分析，应用平面的基本性质，可得如下图示的截面，即为面，
易知，，
作，平行于正方体侧棱，分别交，于I，J，
而P是多边形边上的动点，所以P在底面上的投影在上运动，
要使最大，只需与夹角小于且在上投影最长，
如图，与C重合，即P与E重合时，在上投影最长，
此时，且，
而，所以
，B对；
由上图，正方体被截的下部分体积，
所以正方体被截的上部分体积，所以，C对；
由题设，棱锥的外接球的球心在过正方形中心且垂直于该平面的直线上，如下图示，所以球体半径，可得，
所以，则球体表面积，D错.
故选：ABC
12．答案：AC
解析：因为函数是指数函数，所以，解得，所以，所以，，故B，D错误，A，C正确.故选AC.
13．答案：
解析：当,即时,为定值,此时,
故（且）的图象恒过定点.
故答案为:
14．答案：12
解析：函数的图像过定点,所以,,即,
所以,
当且仅当,时等号成立.
故答案为：12.
15．答案：
解析：令,即,则,
所以定点P为,
故答案为：.
16．答案：
解析：当,时,,即函数恒过,
此时
故答案为：
17．答案：（1），；在R上单调递增
（2）当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为
解析：（1）①，
，
为定义在R上的奇函数，为定义在R上的偶函数，
②，
联立①②，得，.
在R上单调递增，证明如下：
任取，且，
则
，
，，，，
，即，
在R上单调递增.
（2），
令，，易知t单调递增，则，
，
令，，
当，即时，在上单调递增，则；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则；
当，即时，在上单调递减，则.
综上所述，当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题图可知，，解得，，
所以.
（2）依题意可得，
所以.
因为，，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故的最大值为.
19．答案：（1）
（2）在上单调递增
解析：（1）由题意得，解得，
，，
可整理为，
令，则，
，即，.
的取值范围是.
（2）由题可知，
任取，且，
则
.
，且，
，，，
，，
，，
，即，
在上单调递增.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）的图象无限接近直线但又不与该直线相交，，
又的图象经过原点，，即，
.
（2）由（1）得，，
令，则，
即，，
故当，即时，取得最小值，为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可知解得
（2）由（1）得
在上单调递增,
,解得,
故原不等式的解集为
22．答案：(1);
(2);
(3);
(4).
解析：(1)因为函数在R上单调递增,且,所以,综上所述：;
(2)因为函数在R上单调递减,且,所以,综上所述：;
(3)因为函数在R上单调递减,且,所以,综上所述：;
(4)因为函数在R上单调递减,且,所以,综上所述：;
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