对数函数（含解析）--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业

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对数函数--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业
一、选择题
1．如图，①②③④中不属于函数，，的一个是( )
A.① B.② C.③ D.④
2．已知，则函数与函数的图象在同一坐标系中可以是( )
A. B.
C. D.
3．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．已知函数（a，c为常数，其中，）的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A.， B.，
C.， D.，
7．已知函数，若，且，则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
8．函数在上的最大值与最小值的和为a，则a的值为( )
A. B. C.2 D.4
二、多项选择题
9．函数的图象过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10．在同一平面直角坐标系中，函数，的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11．若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：，，，，其中是“同形”函数的是( )
A.与 B.与 C.与 D.与
12．使成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．已知函数.若，则__________.
14．对数函数（，且）与指数函数__________（__________，且__________）互为反函数.
15．若函数在上的最大值为2，则实数__________.
16．若函数在上是减函数，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题
17．已知，求的值.
18．已知函数（且）.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若，求函数的值域；
（3）是否存在实数a，b，使得函数在区间上的值域为？若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由.
19．已知函数（且）.
（1）若，求的单调区间；
（2）若在上单调递增，求a的取值范围.
20．设函数，且，.
（1）求a，b的值；
（2）当时，求的最大值.
21．已知函数，（，且），其中a，b均为实数.
（1）若函数的图象经过点，，求a，b的值；
（2）如果函数的定义域和值域都是，求的值；
（3）若a满足不等式，且函数在区间上有最小值，求实数a的值，
22．已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）求使不等式成立的x的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：根据题意函数，，中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意.
根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应.
由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.
故函数图象为①.
则②不属于函数，，的一个.
故选：B.
2．答案：B
解析：当时，，则在R上单调递增，在上单调递减，故选B.
3．答案：B
解析：由复合函数“同增异减”的原则知函数在上单调递减，由对数的真数大于0知在上恒成立，
所以解得，
故实数a的取值范围是.故选B.
4．答案：B
解析：由题意可知，令，因为在区间上单调递增，在区间上单调递增，所以二次函数在区间上单调递增，则，且，解得，所以实数a的取值范围是.
5．答案：C
解析：根据题意得解得.
6．答案：D
解析：由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换，知，.故选D.
7．答案：C
解析：由，且，可知，且，
所以在上是减函数，从而.
8．答案：B
解析：易知在上单调，故，即，即，所以，即.故选B.
9．答案：BCD
解析：作出函数的大致图象如图所示，则函数的图象过第二、三、四象限.
10．答案：AC
解析：选项A中，根据题中图象知在定义域上单调递增，所以，又的图象过点，所以，所以，故A符合；
选项B中，由的图象可知，所以函数的图象应由的图象向右平移b个单位长度得到，故B不符合；
选项C中，由的图象知且，由的图象知且，故C符合；
选项D中，由的图象知，由的图象知，故D不符合.故选AC.
11．答案：AC
解析：由题知，.
对于A，将的图象先向右平移2个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可以得到的图象，故A符合；
对于C，将的图象先向右平移1个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可以得到的图象，故C符合；
对于B，D，因为为分段函数，其图象不能通过或的图象平移得到，故B，D均不符合.
故选AC.
12．答案：CD
解析：，，
，，
不等式的解集为.
易得使不等式成立的一个充分不必要条件所对应的集合必须是集合的真子集.
结合选项知选CD.
13．答案：
解析：且，
，
，.
14．答案：；；
解析：
15．答案：
解析：若，则，不满足题意，所以；
若，则在上为减函数，所以无解；
若，则在上为增函数，所以解得.
综上，.
16．答案：
解析：令，其图象的对称轴为直线.依题意，有即故.
17．答案：80
解析：，，，.
同理，求得..
18．答案：（1）函数是奇函数，证明见解析
（2）
（3）存在，
解析：（1）函数是奇函数.
证明：由，解得或，
故的定义域为，关于原点对称.
因为，
所以是奇函数.
（2）当时，，，
因为，所以（舍去）或，
所以，，
所以，
所以的值域是.
（3）.
因为函数在上的值域为，，且，
结合的定义域可知，
所以.
①当时，函数在上单调递增，
所以即
因为，所以，所以无解（或因为，所以，所以无解），
故此时不存在实数a，b满足题意；
②当时，函数在上单调递减，
所以即
解得或（舍去），.
综上，存在，满足题意.
19．答案：（1）的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
解析：（1）当时，，
由，解得或，
故的定义域为.
令，
则该函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数在上是减函数，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，则该函数在上单调递减，在上单调递增.
①当时，要使在上单调递增，
则在上单调递增，且恒成立，
故解得，
又，所以；
②当时，要使在上单调递增，则在上单调递减，且恒成立，
故无解.
综上，a的取值范围为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由得
即
（2）由（1）知，
设，，.
令，，
当，即时，，
又在上单调递增，
当u最大时，y也最大，
的最大值为.
21．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为函数的图象经过点，，
所以解得
（2）当时，函数在上单调递增，
由题意可得无解；
当时，函数在上单调递减，
由题意可得解得
所以.
（3）因为，所以，解得，
又，所以，则函数在区间上单调递减，
所以当时，取得最小值，
即，解得.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为是定义在R上的奇函数，
所以，解得，
检验：当时，，定义域为R，
，且，都有，
所以是定义在R上的奇函数，故.
（2）由（1）知.
即，
得，即，
①当，即时，成立；
②当，即时，
原不等式等价于，解得.
综上，使不等式成立的x的取值范围是.
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