古典概型（含解析）--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业

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古典概型--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业
一、选择题
1．某校高一共有10个班,编号1至10,某项调查要从中抽取三个班作为样本,现用抽签法抽取样本,每次抽取一个号码,共抽3次,设五班第二次被抽到的可能性为b,则( )
A. B. C. D.
2．规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀.根据以往经验，某选手投掷一次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生0到9之间的随机整数，用0,1表示该次投掷未在8环以上，用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在8环以上，经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907；966；191；925；271；932；812；458；569；683
031；257；393；527；556；488；730；113；537；989
据此估计，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为( )
A. B.
C. D.
3．某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有7张抽奖券，其中3张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李能获得奖品的概率为( )
A. B. C. D.
4．分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张卡片，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法数为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
5．已知，且，则的概率为( )
A. B. C. D.
6．已知某运动员每次投篮命中的概率约为.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15
7．有2人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该2人在不同层离开电梯的概率是( )
A. B. C. D.
8．柜子里有3双不同的鞋，从中随机取出2只.设事件“取出的鞋都是一只脚的”，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知古典概型的样本空间及事件A和事件B,满足,,,,则( )
A. B. C. D.
10．不透明的袋子中装有两个分别标有数字1，2的红球和四个分别标有数字1，2，3，4的黄球，这些球除颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则( )
A．这两个球颜色相同的概率小于颜色不同的概率
B．至少有一个红球被取出的概率为
C．这两个球上的数字相同的概率为
D．这两个球上的数字之和为偶数的概率为
11．若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和,，,且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图.现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则( )
A.这两个图都是二部图的概率为
B.这两个图至少有一个是二部图的概率为
C.这两个图不都是二部图的概率为
D.这两个图恰有一个是二部图的概率为
12．若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V,V可划分为两个子集和,,且图中的每一条边的一个关联结点在中,另一个关联结点必在中,则将图G称为二部图．现有下列六个图,若从这六个图中任选两个,则( )
A.这两个图都是二部图的概率为
B.这两个图至少有一个是二部图的概率为
C.这两个图不都是二部图的概率为
D.这两个图恰有一个是二部图的概率为
三、填空题
13．古典概型的概率计算公式：
对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个样本点组成的.
如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n，随机事件A包含的样本点数为m，那么事件A的概率规定为__________.
14．古典概率模型：
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是__________（简称为有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（即__________）发生的可能性大小都相等（简称为等可能性），则称这样的随机试验为__________，简称为__________.
15．古典概型的特征：
（1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有__________；
（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性__________.
16．若从2个白球,2个红球,1个黄球这5个球中随机取出2个球,则所取2个球颜色相同的概率是_______________.
四、解答题
17．一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．
(1)若，求第二次取到红球的概率；
(2)若取出的2个球都是红球的概率为，求n．
18．龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一副扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））.现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功.现有三种抽取方式，如下表：
方式① 方式② 方式③
抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取
成功概率
（1）分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率；
（2）若三种抽取方式小明各进行一次，
（i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率；
（ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明.
19．某班在一次班会课上推出了一项趣味活动：在一个箱子里放有4个完全相同的小球,小球上分别标注有1、2、3、4号码.参加活动的学生有放回地摸两次球,每次摸1个,并分别记录下球的号码数字x,y.奖励规则如下：①若xy≤3,则奖励笔记本1本；②若,则奖励水杯1个；③其余情况奖励饮料1瓶.
(1)求小王获得笔记本的概率；
(2)试分析小王获得水杯与获得饮料,哪一个概率大
20．有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座.
（1）求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
（2）求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
（3）求这四人恰有一人坐在自己的席位上的概率.
21．已知关于x的一元二次函数，设集合，.从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b.
（1）列举出所有的数对，并求函数有零点的概率；
（2）求函数在区间上单调递增的概率.
22．有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率.
（1）恰有两名同学拿对了书包；
（2）至少有两名同学拿对了书包；
（3）书包都拿错了.
参考答案
1．答案：D
解析：因为总体中共有10个个体,
所以五班第一次没被抽到,第二次被抽到的可能性为.
故选：D.
2．答案：D
解析：由所给数据可知，20组数据中有3组
191，031，113不是优秀，其余17组是优秀，
所以可以拿到优秀的概率为，故选D.
3．答案：C
解析：设没有奖品的4张抽奖券分别为a，b，c，d，
有奖品的3张抽奖券分别为A，B，C.随机抽出2张，
所有可能的结果为，，，
，，，，，，，
，，，，，
，，，，，共21种，
而小李获得奖品的结果为，，，，
，，，，，，，
，，，共15种，
故小李能获得奖品的概率为.
故选：C.
4．答案：C
解析：由题意知，从这4张卡片中随机抽取2张卡片，
取出的2张卡片上的数字之和为奇数包括
，，，共有4种结果.
故选：C.
5．答案：B
解析：由题基本事件空间中的元素有：
，，，，，，
满足题意的有，，，，
则的概率为.
故选：B．
6．答案：B
解析：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191，271，932，812，393，共5组随机数，所求概率为.故选B.
7．答案：C
解析：设2人分别为A，B，则2人自2至6层离开电梯的所有可能情况为，，，，，，，…，，共25种，2人在相同层离开电梯的情况为，，，，，共5种，
所以2人在不同层离开电梯的概率.
8．答案：B
解析：设三双不同的鞋分别为，，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋，
从中任取两只有，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中取出的鞋都是一只脚的有，，，，，共6种，
所以取出的鞋都是一只脚的概率是.
故选：B.
9．答案：BCD
解析：由题意,,,
所以,,,.
故选:BCD.
10．答案：AC
解析:从袋子中随机取出两个球，样本空间＝{（红1,红2），（红1,黄1），（红1,黄2），
（红1,黄3），（红1,黄4），（红2,黄1），（红2,黄2），（红2,黄3），（红2,黄4），
（黄1,黄2），（黄1,黄3），（黄1,黄4），（黄2,黄3），（黄2,黄4），（黄3,黄4）}.
A选项，样本空间共15种情况数，其中两个球颜色相同的情况有7种，颜色不同的有8种，
这两个球颜色相同的概率为，颜色不同的概率为是，A正确.
B选项，至少有一个红球的情况有9种，故概率为是，B不正确.
C选项，这两个球上的数字相同情况有2种，故概率为，C正确.
D选项，这两个球上的数字之和为偶数的情况有6种，概率为，D不正确.
故选：AC
11．答案：BC
解析:
对于图(1)，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内，
这显然不符合二部图的定义，图(4)也是如此，所以图(1)与图(4)不是二部图.
除了这两个图，其他四个图都是二部图，
例如，对于图(3)，当,时，图中的每一条边的一个关联结点在中，
另一个关联结点必在中；
对于图(5)，当,时，图中的每一条边的一个关联结点在中，
另一个关联结点必在中.从这六个图中任选两个，所有的选择为
，
，
，共15种.
这两个图都是二部图的选择共有6种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有14种，
这两个图不都是二部图的选择共有9种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有8种，
故这两个图都是二部图的概率为，故A错误；
这两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确；
这两个图不都是二部图的概率为，故C正确；
这两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误.
故选：BC
12．答案：BC
解析：对于图(1),图中出现了,则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内,
这显然不符合二部图的定义,图(4)也是如此,所以图(1)与图(4)不是二部图．
除了这两个图,其他四个图都是二部图,
例如,对于图(3),当时,图中的每一条边的一个关联结点在中,
另一个关联结点必在中；
对于图(5),当时,图中的每一条边的一个关联结点在中,
另一个关联结点必在中．从这六个图中任选两个,所有的选择为
,
,
,共15种．
这两个图都是二部图的选择共有6种,这两个图至少有一个是二部图的选择共有14种,
这两个图不都是二部图的选择共有9种,这两个图恰有一个是二部图的选择共有8种,
故这两个图都是二部图的概率为,故A错误；
这两个图至少有一个是二部图的概率为,故B正确；
这两个图不都是二部图的概率为,故C正确；
这两个图恰有一个是二部图的概率为,故D错误.
故选：BC.
13．答案：
解析：
14．答案：有限的；基本事件；古典概率模型；古典概型
解析：
15．答案：（1）有限个
（2）相等
解析：
16．答案：
解析：从5个球中随机取出2个球,共有10种基本事件,其中取出2球颜色相同的只有2种,
所以取出两个颜色相同球的概率为.
故答案为：.
17．答案：(1)；
(2)3.
解析:(1)由题可知袋中共有5个球，记作，，，，
从中依次不放回取出2个球，样本点有
，
，
，
共20个样本点，
记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件，
不妨设，，为红球，，为绿球．两次都取到红球，则．
先取到绿球再取到红球，则，
于是，
即第二次取到红球的概率为.
(2)两次都取到红球为事件，.
所以两次取出红球的概率为，
即，解得．
18．答案：（1），，.
（2）（i）；（ii）此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大
解析：（1）设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为，
则，，，
设事件“抽到一张红10和一张红K”，(红桃10，红桃K)，(红桃10，方块K)，(方块10，红桃K)，(方块10，方块K)，(红桃K，红桃10)，(方块K，红桃10)，(红桃K，方块10)，(方块K，方块10)，
故，，.
（2）（i）记三次抽取至少有一次成功为事件B，
则.
（ii）有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大.
若按①②③的顺序，，
同理，求出①③②、②①③、②③①、③①②、③②①顺序下的概率分别为，，，，，
故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大
19．答案：(1)
(2)获得水杯的概率大
解析：(1)小王两次摸球,的情况包含(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种情况,其中满足的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共有5种情况,
所以小王获得笔记本的概率
(2)满足的基本事件包含(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)共6个基本事件,所有小王获得水杯的概率,
小王获得饮料的概率,
因为,所有获得水杯的概率大.
20．答案：（1）
（2）
（3）
解析：将A，B，C，D四位贵宾就座情况按从左至右排席位，依次是a，b，c，d席位，如图所示.
由图可知，样本点共有24个.
（1）设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，
则事件M只包含1个样本点，所以.
（2）设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，
则事件N包含9个样本点（即图中标记为“O”的情形），
所以.
（3）设事件S为“这四人恰有一人坐在自己的席位上”，
则事件S包含8个样本点（即图中标记为“√”的情形），
所以.
21．答案：（1）数对见解析；函数有零点的概率为
（2）
解析：（1）数对有，，，，，，，，，，，，，，，共15个.
函数有零点等价于，
则满足条件的数对有，，，，，，共6个.
所以函数有零点的概率.
（2）易知，函数图象的对称轴为直线，
因为函数在区间上单调递增，所以.
满足条件的数对有，，，，，，，，，，，，，共13个，
所以函数在区间上单调递增的概率.
22．答案：（1）
（2）
（3）
解析：设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的样本空间
，
共24个样本点.
（1）记“恰有两名同学拿对了书包”为事件M，
则，
共6个样本点，故.
（2）记“至少有两名同学拿对了书包”为事件N，
则，
共7个样本点，故.
（3）记“书包都拿错了”为事件E，
则
，
共9个样本点，故.
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