函数的单调性和最值（含解析）--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业

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函数的单调性和最值--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业
一、选择题
1．已知函数的对称轴为直线，则下列关系式正确的是( ).
A. B.
C. D.
2．设函数在区间上单调递减,则正数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
3．下列函数中,是偶函数且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4．幂函数在区间上单调递增,则下列说法正确的是( )
A. B.或 C. D.或
5．已知在上满足,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
7．下列函数中，满足且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
8．已知是定义在R上的单调函数，，，，则( )
A.
B.
C.
D.与大小不确定
二、多项选择题
9．下列函数中,在其定义域上为增函数的是( )
A. B.
C. D.
10．若函数在上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值可以是( )
A.2 B. C.1 D.0
11．下列函数在上是单调函数的是( )
A. B. C. D.
12．已知函数是R上的增函数，则a的取值可以是( )
A. B. C.0 D.1
三、填空题
13．已知函数且在区间上单调递减，则实数a的取值范围是_______.
14．函数的单调增区间为____________．
15．若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为__________.
16．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是________.
四、解答题
17．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断在上的单调性.
18．已知函数，.
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）求函数在区间上的最小值.
19．已知函数对一切实数x，y都有成立，且.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）设P：当时，不等式恒成立；Q：当时，是单调函数.若P，Q至少有一个成立，求实数a的取值范围.
20．某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2300万元引进先进设备，用于生产救治某种患者的无创呼吸机，已知年产量x（单位：百台）与投入成本（单位：万元）满足如下关系：据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600万元，且依据市场情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.
（1）求年利润（万元）关于年产量x的函数解析式；（年利润=销售额-投入成本-固定成本）
（2）当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.
21．给定函数，，.
（1）在给定直角坐标系中画出函数，的图象；
（2），表示，中的较大者，记为，结合图象写出函数的解析式，并求出的最小值.
22．已知在上单调递增，且，.判断在上的单调性，并加以证明.
参考答案
1．答案：C
解析：因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，所以在上单调递减.因为，所以.
2．答案：A
解析：由得,
因为,所以,,
由解得,
由解得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
因为函数在区间上单调递减,
故,解得.
故选:A
3．答案：B
解析：由题可知C、D是奇函数,故排除;
对于选项A,图像是开口向下的抛物线,在上单调递减,故排除;
对于选项B,,所以函数在定义域内是偶函数,
当时,在上单调递增,
故选:B.
4．答案：B
解析：因为幂函数在上单调递增,
则,解得或.
故选：B.
5．答案：B
解析：因为在上满足,
所以在上单调递减,
需满足以下三个条件：
(1)在上单调递减,只需；
(2)在上单调递减,此时显然,函数的对称轴为,
所以只需且；
(3)在处,第一段的函数值要大于等于第二段的函数值,即；
因此由,解得,
即实数a的取值范围为.
故选：B.
6．答案：B
解析：对于A，当时，，
函数在上单调递减，A不是；
对于B，当时，，
函数，在上单调递增，
则函数在上单调递增，，
则，函数在上单调递增，B是；
对于C，函数在上单调递减，C不是；
对于D，，
函数在上单调递增，
函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，D不是.
故选：B
7．答案：B
解析：对于选项A，，故A错误；
对于选项B，，
在区间上单调递增，故B正确；
对于选项C，，故C错误；
对于选项D，在区间上单调递减，故D错误.
故选：B.
8．答案：C
解析：根据题意，不妨，则，
当函数单调递增时，可得，
所以，所以；
当函数单调递减时，，
所以，所以；
综上可得，.
故选：C.
9．答案：AD
解析：A.因为在R上是增函数,在R上是减函数,所以在R上是增函数,故A正确；
B.在区间和上都是增函数,但在定义域内不是增函数,故B错误；
C.因为,所以,
由,得,
所以在上是减函数,故C错误；
D.因为,所以,
所以在R上是增函数,故D正确.
故选：AD
10．答案：AB
解析：依题意,当时,在取得最大值,在取得最小值,所以,即；
当时,在取得最大值,在取得最小值,所以,即.
故选：AB.
11．答案：AB
解析：对于A，，在上单调递增，故A正确；
对于B，，在上单调递减，故B正确；
对于C，，令，令，
故在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D，，令，令，
在上单调递减，在上单调递增，故D错误；
故选：AB.
12．答案：ABC
解析：由题意可得，解得.
所以实数a的取值范围是.
故选：ABC.
13．答案：
解析：因为且，则内层函数在上为减函数，
由于函数且在区间上单调递减，
则外层函数是增函数，则，
且对任意的，恒成立，
即，解得，
综上所述，实数a的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：（也对）
解析：由得,
解得,所以的定义域是.
函数的开口向下,对称轴为,
函数在上单调递减,
根据复合函数的单调性同增异减可知,的单调递增区间是.
故答案为：（也对）
15．答案：
解析：要使函数有意义，则有，
解得：，令，
函数在上单调递增，在上单调递减，
又因为在上单调递减，由复合函数单调性可知：
函数在上单调递增，
又因为函数在区间内单调递增，
所以，则有，解得：，
故答案为：.
16．答案：
解析：由题意得，在上单调递增，
且在上恒成立，
则，解得.
故答案为：
17．答案：（1）
（2）在上单调递增
解析：（1）函数的定义域为.
（2）任取，且，
则
.
，且，
，，
，，
故在上单调递增.
18．答案：（1），
（2）
解析：（1）当时，，，
由二次函数的性质知，，.
（2）函数图象的对称轴为直线，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，.
综上所述，
19．答案：（1）
（2）
（3）或
解析：（1）令，，
则，故.
（2）令，则，
，.
（3）不等式，即，即，
图象的对称轴为直线，且开口向上，
当时，单调递减，，
若P成立，则，令.
，
若在上是单调函数，则或，解得或，
令或.
故当P，Q至少有一个成立时，实数a的取值范围为或.
20．答案：（1）
（2）当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元
解析：（1）当时，；
当时，.
综上，
（2）当时，，
易知当时，取得最大值，为1700；
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，此时最大利润为1950万元.
因为，所以当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元.
21．答案：（1）图见解析
（2）；
解析：（1）函数，的图象如图所示.
（2）由，得，或，
结合图象得，
结合图象可知当时，.
22．答案：函数在上单调递减.证明见解析
解析：函数在上单调递减.证明如下：
任取，且，
则
.
因为在上单调递增，
所以.
又因为，，
所以，
则，所以，
所以，
所以，即.
故在上单调递减.
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