实际问题中的函数模型（含解析）--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业

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实际问题中的函数模型--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业
一、选择题
1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数的关系为25，为使每辆客车营运的年平均利润最大，则每辆客车的营运年数应为( ).
A.2 B.4 C.5 D.6
2．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量的几个统计数据：1986年8.6亿吨；1991年10.4亿吨；1996年12.9亿吨.有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是选择( )函数模型进行预测的.
A.一次函数 B.二次函数 C.指数函数 D.对数函数
3．宇宙之大,粒子之微,无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”,光速约为米每秒,1阿秒等于秒．现有一条50厘米的线段,第一次截去总长的一半,以后每次截去剩余长度的一半,需要截________次才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离．（参考数据：）( )
A.30 B.31 C.32 D.33
4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )
A.
B.
C.
D.
5．薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨HestonBlumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.
在特定条件下，薯条品质得分p与煎炸时间t（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为( )
A.2.25min B.2.75min C.3.25min D.3.75min
6．某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌,其数量（单位:个）分别记为和.设培育时间为t（单位:天）,据统计,两者数量满足以下关系:,.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌,则大约需要( )
A.3天 B.4天 C.5天 D.6天
7．B-S模型在金融、物理等学科具有重要应用.在进行正态分布的合理调整之后，可得一种B-S模型的定价公式：，其中K代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差，为执行价格，r为利率，为期权的有效期.已知，，，则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8．小五用2000元买了一部手机,由于电子技术的飞速发展,手机制造成本不断降低,每隔一年手机的价格就降低一半.若不计折旧费,则两年后这部手机的价值为( )
A.500元 B.600元 C.800元 D.1000元
二、多项选择题
9．为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相排放未达标的企业要限期整改,加强污水治理.设企业的污水排放量W与时间t的关系为,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论,其中正确的结论为( )
A.在这段时间内,甲乙两企业的污水排放量均达标
B.在时刻,甲乙两企业的污水排放量相等
C.甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值
D.在这段时间内,甲企业的污水排量高于乙企业的污水排量
10．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是( )
A.甲同学从家出发到乙同学家走了
B.甲从家到公园的时间是
C.当时，y与x的关系式为
D.当时，y与x的关系式为
11．几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费x（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是( )
A.此时利润率最大
B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C.再投入1万元研发经费时利润率最大
D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润
12．噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分別为，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税,超过5000元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:
全月应纳税所得额 税率
不超过3000元的部分 3%
超过3000元至12000元的部分 10%
超过12000元至25000元的部分 20%
一职工11月份收入19000元,该职工11月份应缴纳个税为____________元
14．已知某种食品的保鲜时间y（单位:h）与储存温度x（单位:）满足的关系式为,a,,若该食品在时的保鲜时间是,在时的保鲜时间是在时保鲜时间的2倍,则该食品在时的保鲜时间是________.
15．端午节前,小鲁购进了一批粽子进行销售,第一天销售了256个,第二、三天的销售量持续走高,第三天的销售量达到400个,则第二、三天销售量的平均增长率为_____________%.
16．为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方式如下表：
每户每月用水量 水价
不超过的部分 3元/
超过但不超过的部分 6元/
超过的部分 9元/
若某户居民本月交纳水费为66元,则此户居民本月用水量为____________.
四、解答题
17．通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大,表明学生注意力越集中）经过实验分析得知:.
（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较,何时学生的注意力更集中
（2）讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中 能持续多少分钟
（3）一道比较难的数学题,需要讲解25分钟,并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目
18．为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有A,B两种型号的挖掘机,已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米;4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台型挖掘机一小时的施工费用为180元.
（1）分别求每台型,型挖掘机一小时挖土多少立方米
（2）若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元
19．如图,已知,,,点P从B点沿直线BC运动到C点,过P作BC垂线l,记直线l左侧部分的多边形为,设,的面积为,的周长为．
(1)求和的解析式；
(2)记,求的最大值．
20．某车间生产一种仪器的固定成本为10000元,每生产一台该仪器需要增加投入100元,已知总收入满足函数：H(x)＝其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数(用表示)；
(2)当月产量为何值时,车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
21．某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本万元，假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.
(1)求利润（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；
(2)当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.
22．根据某高科技公司多年的经营数据,发现该公司每年的利润（单位:万元）与研发投入x（单位:万元）满足函数关系式,且当时,.
（1）若该公司想要明年的利润为700万元,则明年的研发投入应该为多少万元
（2）若该公司想要明年的利润相比今年增加175万元,则明年的研发投入相比今年应该怎样变化
参考答案
1．答案：C
解析：设年平均利润为，则.
因为，所以当，即时，取到最大值2.
2．答案：B
解析：画出散点图（图略）可知只能选B或C.
若选B，设，
可设，，，，
将点A，B，C代入得，预测.
若选C，设，
同样设，，，，
将点A，B代入得，，，误差较大.故选B.
3．答案：B
解析：根据已知可得,光在1阿秒内走的距离为米.
截x次后,剩余的长度米.
由可得,,
结合函数的单调性,两边同时取对数可得,
,
所以,.
所以,应当截31次.
故选：B.
4．答案：B
解析：从所给的散点图可看出函数的变化趋势是先增后减，
所以该函数模型是二次函数.
故选：B
5．答案：C
解析：由图2知，
解得，，，
所以，
所以当时，p取得最大值.
故选：C.
6．答案：B
解析：由题意,,整理得,
当时,;当时,,
函数在上单调递增,又,所以.
故选:B
7．答案：A
解析：由题意知：，
即，也即，
由题意有：，以及，
可得：，所以，
故选：A.
8．答案：A
解析：经过两年,手机价值为（元）.
故选：A.
9．答案：BD
解析：由图可知在这段时间内,甲乙两企业的污水排放量均超标,故A错误；
在时刻,甲乙两企业的污水排放量相等,故B正确；
甲企业的污水排放量的最小值不大于乙企业的污水排放量的最大值,故C错误；
在这段时间内,甲企业的污水排量高于乙企业的污水排量,故D正确.
故选：BD.
10．答案：BCD
解析：由图象可知，甲在公园休息的时间是，所以只走了，故A错误，
由题中图象可知，甲从家到公园的时间是，故B正确，
当时，设，则，解得，故C正确，
当时，设，直线过点，，
则，故y与x的关系式为，故D正确.
故选：BCD.
11．答案：BC
解析：当时，，故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误.，当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
12．答案：ACD
解析：因为，，所以.
又随着p的增大而增大，所以，故A正确.
由，得.
假设，则，所以，所以，
不可能成立，故B不正确.
因为，所以，故C正确.
因为，所以，故D正确.故选ACD.
13．答案：1390
解析：收入是19000元,根据缴纳个税规定分四段,
第一段5000元不缴税;
第二段3000元缴税为;
第三段9000元缴税为;
第四段2000元缴税为;
所以该职工11月份应缴纳个税为:元.
故答案为:1390.
14．答案：64
解析：由该食品在时的保鲜时间是,得,所以,
由在时的保鲜时间是在时保鲜时间的2倍,得,
所以,所以该食品在时的保鲜时间是.
故答案为:64.
15．答案：25
解析：设第二、三天销售量的平均增长率为x,
则,
得,
得(舍去负根),
得.
故答案为：25.
16．答案：
解析：当用水量为时,水费为,而本月交纳的水费为66元,显然用水量超过,
当用水量为时,水费为,
而本月交纳的水费为66元,所以本月用水量不超过,
即有,
因此本月用水量为,
故答案为：.
17．答案：（1）讲课开始25分钟时,学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中
（2）讲课开始10分钟,学生的注意力最集中,能持续10分钟
（3）不能
解析：（1）因为,,
所以讲课开始25分钟时,学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.
（2）当时,是增函数,且.
当时,是减函数,且.
所以讲课开始10分钟,学生的注意力最集中,能持续10分钟
（3）当时,令,则.
当时,令,则.
则学生注意力在180以上所持续的时间为.
所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.
18．答案：（1）每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米
（2）型挖掘机7台,型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元
（1）设每台A型,B型挖据机一小时分别挖土x立方米和y立方米,根据题意列出方程组,解答即可;（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量,再利用一次函数增减性求出最低费用.
解析：（1）设每台型,型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米,根据题意,得
,解得.
所以,每台型挖掘机一小时挖土30立方米,
每台型挖据机一小时挖土15立方米.
（2）设型挖掘机有m台,总费用为W元,则型挖据机有台.根据题意,得,
因为,解得,
又因为,解得,
所以.
所以,共有三种调配方案.
方案一:当时,,即型挖据机7台,型挖掘机5台;
案二:当时,,即型挖掘机8台,型挖掘机4台;
方案三:当时,,即型挖掘机9台,型挖掘机3台.
,由一次函数的性质可知,W随m的减小而减小,
当时,,
此时型挖掘机7台,型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元.
19．答案：(1)；
(2).
解析：(1)作的高,,,,
当,,所以,,
,.
当,,所以,,；
(2)当,,最大值为.
当时,,
当且仅当时,有最大值,又,
故最大值为．
20．答案：(1)
(2)每月生产150台仪器时,利润最大,最大利润为12500元.
解析：(1)设每月产量为x台,则总成本为,又,
(2)当时,,所以当时,有最大值12 500；
当时,是减函数,.
所以当时,取最大值,最大值为12500.
所以每月生产150台仪器时,利润最大,最大利润为12500元.
21．答案：(1)
(2)产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.
解析：(1)由题意可知，当，时，；
当，时，
综上，
(2)当，时，
且当时，取得最大值1625；
当，时，
当且仅当时，取得最大值1900
综上，当，即产量为5000台时，
该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元
22．答案：（1）明年的研发投入应该为万元;
（2）明年的研发投入相比今年应该提高至今年的倍.
解析：（1）当时,,所以,解得,
所以,
令,可得,解得,
所以明年的研发投入应该为400万元;
（2）设今年的研发投入为万元,利润为万元,明年的研发投入为万元,利润为万元,
所以,,
根据题意可得,
所以,所以,所以,所以.
所以明年的研发投入相比今年应该提高至今年的倍.
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