事件的独立性（含解析）--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业

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事件的独立性--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业
一、选择题
1．甲、乙两个雷达独立工作,它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8,飞行目标被雷达发现的概率为( )
A.0.02 B.0.28 C.0.72 D.0.98
2．某种疾病的患病率为，通过验血诊断该疾病的误诊率为，即非患者中有的人诊断为阳性，患者中有的人诊断为阴性.随机抽取1人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为( )
A.0.46 B.0.046 C.0.68 D.0.068
3．如图，电路从A到B上共连接了6个开关，每个开关闭合的概率都为，若每个开关是否闭合相互之间没有影响，则从A到B通路的概率是( )
A. B. C. D.
4．甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是( )
A.该题被攻克的概率为 B.该题未被攻克的概率为
C.该题至少被一人攻克的概率为 D.该题至多被一人攻克的概率为
5．如图，元件通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是( )
A.0.729 B.0.8829 C.0.864 D.0.9891
6．甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为和,甲、乙两人各射击一次,目标被命中的概率为( )
A. B. C. D.
7．甲乙两人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否为加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
8．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．连续抛掷一枚硬币两次,事件A表示“第一次硬币正面朝上”,事件B表示“第二次硬币反面朝上”,事件C表示“两次硬币都正面朝上”,事件D表示“两次硬币朝上的情况不同”,则( )
A.A与C相互独立 B.A与D相互独立 C.B与C相互独立 D.B与D相互独立
10．连续抛掷一枚硬币两次,事件A表示“第一次硬币正面朝上”,事件B表示“第二次硬币反面朝上”,事件C表示“两次硬币都正面朝上”,事件D表示“两次硬币朝上的情况不同”,则( )
A.A与C相互独立 B.A与D相互独立 C.B与C相互独立 D.B与D相互独立
11．抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则事件A与事件B( )
A.相互独立 B.互为对立事件
C.互斥 D.相等
12．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是( )
A．事件与C相互独立 B．事件A，B，C两两独立
C． D．
三、填空题
13．随机事件的独立性：
一般地，当__________时，就称事件A与B__________（简称__________）.
事件A与B相互独立的直观理解是：____________.
如果事件A与B相互独立，则__________，__________，__________也相互独立.
14．判断两事件是否相互独立的方法：
因为“__________”是“”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立.
15．甲 乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲 乙投篮命中的概率分别为，且甲 乙投篮命中的结果相互独立，则的概率是________.
16．已知A,B两个事件相互独立,且,,则________.
四、解答题
17．已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.
(1)求丙投篮命中的概率；
(2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；
(3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.
18．甲、乙两位同学进行中国象棋比赛,约定赛制如下:一人累计获胜2局,此人最终获胜,比赛结束;4局比赛后,没人累计获胜2局,比赛结束,获胜局数多的人最终获胜,两人获胜局数相等为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为,,,且每局比赛的结果相互独立.
（1）求比赛3局结束的概率;
（2）求甲最终获胜的概率.
19．排球比赛实行“每球得分制”,即每次发球都完成得分,谁取胜谁就得1分,得分的队拥有发球权,最后先得25分的队获得本局比赛的胜利,若出现比分,要继续比赛至某队领先2分才能取胜,该局比赛结束.甲、乙两队进行一局排球比赛,已知甲队发球时甲队获胜的概率为,乙队发球时甲队获胜的概率为,且各次发球的胜负结果相互独立.若甲、乙两队双方平后,甲队拥有发球权.
（1）当时,求两队共再发3次球都无法结束比赛的概率;
（2）当时,求甲队得26分且取得该局比赛胜利的概率.
20．射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组（72支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息.
箭靶区域 环外 黑环 蓝环 红环 黄圈
区域颜色 白色 黑色 蓝色 红色 黄色
环数 1-2环 3-4环 5环 6环 7环 8环 9环 10环
甲成绩（频数） 0 0 1 2 3 6 36 34
乙成绩（频数） 0 1 2 4 5 12 36 12
用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响.
（1）甲、乙各射出一支箭，求有人命中8环及以上的概率；
（2）甲、乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率.
21．数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字，且每次数字的传输相互独立.发送0时，收到0的概率为，收到1的概率为；发送1时，收到1的概率为，收到0的概率为.
(1)若发送的数据为“01”，记收到的数字全部正确的概率为，全部错误的概率为，试比较，的大小；
(2)已知发送数字0，1时，收到正确数字的概率都大于收到错误数字的概率.
(i)从下面①②③中选出一定错误的结论：
①②③
(ii)从(i)中选出一个可能正确的结论作为条件.用X表示收到的数字串，将X中数字1的个数记为，如“1011”，则.若发送的数据为“1100”，求的最大值.
22．名选手参加某项“1对1”的趣味游戏比赛,采用如下赛制:第1轮将名选手两两随机配对进行比赛并决出胜负,败者被淘汰,胜者进入第2轮;第2轮将名选手两两随机配对进行比赛并决出胜负,败者被淘汰,胜者进入第3轮;……,以此类推,直到最终决出冠亚军.假设每名选手在任何一场比赛中获胜的概率均为.甲、乙是其中2名选手.
（1）当时,求甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率;
（2）当时,求甲、乙在第4轮比赛中相遇的概率;
（3）求甲、乙2人在比赛中相遇的概率.
参考答案
1．答案：D
解析：设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”,事件B表示“乙雷达发现飞行目标”,
因为甲乙两个雷达独立工作,它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8,
所以,,
所以飞行目标被雷达发现的概率为.
故选:D
2．答案：D
解析：记随机抽取的1人患病为事件A，诊断结果为阳性为事件B，则由全概率公式，.
3．答案：C
解析：从A到C通路的概率，
从C到B上、下各自通路的概率，
所以从C到B通路的概率为，
而从A到B要通路，需A到C，C到B均通路，
故所求概率.
4．答案：D
解析：A.该题被攻克为至少有1人攻克该题的概率，故A错误；
B.该题未被攻克的概率为，故B错误；
C.由A可知，该题至少被1人攻克的概率为，故C错误；
D.该题至多被1人攻克概率为，故D正确.
故选：D
5．答案：B
解析：电流能通过，的概率为，
电流能通过的概率为0.9，
故电流不能通过，也不能通过的概率为，
所以电流能通过系统，，的概率为，
而电流能通过的概率为0.9，
所以电流能在M，N之间通过的概率为，故选B.
6．答案：A
解析：甲、乙两人各射击一次,目标没被命中的概率为,
甲、乙两人各射击一次,目标被命中的概率为.
所以A选项是正确的.
7．答案：C
解析：恰好有一个一等品的概率
.
故选：C.
8．答案：C
解析：记甲、乙、丙获得一等奖分别为事件A，B，C，
则，，，
则，，，
则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为
.
故选:C.
9．答案：BD
解析：,,,,
对A:,,
故A与C不相互独立,故A错误;
对B:,,有,
故A与D相互独立,故B正确;
对C:,故B与C不相互独立,故C错误;
对D:,,有,’
故B与D相互独立,故D正确;
故选:BD.
10．答案：BD
解析：由题意,得,,
则,,
故A与C不相互独立,A与D相互独立,B与C不相互独立,B与D相互独立.
故选:BD
11．答案：A
解析:显然事件A和事件B不相等，故D错误；
由于事件A和事件B能同时发生，
所以不为互斥事件，也不为对立事件，故B、C错误；
因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，
故事件A和事件B相互独立，故A正确.
故选：A.
12．答案：BCD
解析:由题意，可得，，
对于A中，事件，可得，且，
所以，所以事件与C不相互独立，所以A错误；
对于B中，由，
所以事件A，B，C两两相互独立，所以B正确；
对于C中，事件，所以，所以C正确；
对于D中，由，所以D正确.
故选：BCD.
13．答案：；相互独立；独立；
事件A是否发生不会影响到事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响到事件A发生的概率；
与B；A与；与
解析：
14．答案：A与B相互独立
解析：
15．答案：/0.4
解析：由题意可得.
故答案为：
16．答案：0.42/
利用独立事件的乘法公式即可求解.
解析：因为A,B相互独立,所以.
故答案为:0.42
17．答案：(1)0.5
(2)0.21
(3)0.29
解析：（1）设甲投篮命中为事件A，乙投篮命中为事件B，丙投篮命中为事件C，
由题意可知，，，，
则，，
所以丙投篮命中的概率为0.5；
（2）甲和乙命中，丙不中为事件D，
则，
所以甲和乙命中，丙不中的概率为0.21；
（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件E，
则
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）根据题意可知,比赛3局结束的事件为前两局中,甲或乙中有一个人胜了一局且另一局为平局或败局,
第三局由前两局中胜一局的一方获胜,
所以比赛3局结束的概率为:,
（2）根据题意可知,甲最终获胜的可能性有:
①两局后获胜,即连续胜两局,此时概率为;
②三局后获胜,且前两局有一局没获胜,此时概率为;
③四局后以胜2局获胜,且前三局只胜一局,另两局没有全败,此时概率为;
④四局后以胜1局获胜,且另外3局全是平局,此时概率为;
所以设“甲最终获胜”为事件A,则
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）后两队前发2次球就没有结束比赛的话,那么两队的第3次发球也无法结束比赛,
故概率.
（2）当时,甲、乙两队先打成,后甲连赢两局,甲队得26分且取得该局比赛的胜利,
当甲先赢后输,再连赢两局的概率,
当甲先输再连赢三局的概率,
故甲队得26分且取得该局比赛胜利的概率.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）设“甲运动员一箭命中8环及以上”，“乙运动员一箭命中8环及以上”，“有人命中8环及以上”，
则，，
显然事件A，B相互独立，，
，
所以甲、乙各射出一支箭，有人命中8环及以上的概率为.
（2）设“甲运动员第i箭命中黄圈”，“乙运动员第i箭命中黄圈”，，
所以，.
设“共有3支箭命中黄圈”，
，
因为，，，相互独立，
，，，互斥，
所以甲、乙各射出两支箭，共有3支箭命中黄圈的概率
.
21．答案：(1)答案见解析
(2)(i)②③一定错误；(ii).
解析:(1)由题意，，，，
当时，；
当时，；
当时，.
(2)(i)由题意，，解之得，所以，
所以，，
所以②③一定错误
(ii)由(i)中选择作为条件，当发送的数据为“1100”时，事件包含以下三种情况：
①两个1接收都正确，两个0接收都正确，其概率为；
②有且只有一个1接收正确，有且只有一个0接收正确，其概率为
；
③两个1接收都错误，两个0接收都错误，其概率为；
所以，
令，则，其中，可得，
所以，，
由二次函数的性质可知，在时取到最大值，最大值为.
22．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）当时,共8人,第一轮甲共有7种配对方式,
故甲乙分在一组的概率为,
甲乙在第2轮相遇,则甲、乙第一轮不在一组且均晋级,其概率为,
同理,第2轮甲乙同一组的概率为,
故甲乙在第2轮比赛相遇的概率为.
（2）当时共有人,第i轮,某特定对象有种配对方式.
甲乙在第4轮相遇,则甲乙需在前3轮不相遇且均晋级.
第1轮甲乙不相遇且均晋级的概率为,
第2轮甲乙不相遇且均晋级的概率为,
第3轮甲乙不相遇且均晋级的概率为,
故甲乙在第4轮比赛中相遇的概率为.
（3）共有人,甲、乙在第1轮相遇的概率为,
甲乙在第2轮相遇的概率为,
甲乙在第3轮相遇的概率为,
以此类推,甲乙在第i轮相遇的概率为:,
故甲乙相遇的概率为:.
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