随机现象与随机事件（含解析）--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业

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随机现象与随机事件--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业
一、选择题
1．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是( )
A.至多一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都没有中靶
2．抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是( )
A.事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数”
B.事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数”
C.事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7”
D.事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8”
3．从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球,下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是( )
A.都是蓝球 B.都是黄球 C.恰有一个蓝球 D.至少有一个蓝球
4．从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球,下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是( )
A.都是蓝球 B.都是黄球 C.恰有一个蓝球 D.至少有一个蓝球
5．某人打靶时连续射击三次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( )
A.三次都没有中靶 B.三次都中靶 C.至多一次中靶 D.只有一次中靶
6．下列事件中属于随机事件的是( )
①太阳从东方升起
②买彩票中奖
③掷一枚骰子出现的点数大于6
④掷一枚硬币正面朝上
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
7．抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:“点数不大于3”,“点数大于4”,“点数为奇数”,“点数为偶数”,下列结论正确的是( )
A.A,C为互斥事件 B.B,C为对立事件
C.A,D为互斥事件 D.C,D为对立事件
8．下列命题：①对立事件一定互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则；③若事件A，B，C彼此互斥，则；④若事件A，B满足，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多项选择题
9．袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是( )
A.至少有一个白球与都是白球 B.恰有一个红球与白、黑球各一个
C.至少一个白球与至多有一个红球 D.至少有一个红球与两个白球
10．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么不互斥的两个事件是
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
11．抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A,B,C,D判断正确的有( )
A.A与B是互斥事件但不是对立事件
B.A与C是互斥事件也是对立事件
C.A与D是互斥事件
D.C与D不是对立事件也不是互斥事件
12．有甲、乙两种套餐供学生选择，记事件A为“只选甲套餐”，事件B为“至少选一种套餐”，事件C为“至多选一种套餐”，事件D为“不选甲套餐”，事件E为“一种套餐也不选”.下列说法错误的是( )
A．A与C是互斥事件 B．B与E是互斥事件，且是对立事件
C．B与C不是互斥事件 D．C与E是互斥事件
三、填空题
13．在抛掷一枚骰子，观察其朝上面的点数的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点数出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件包含的样本点为__________.
14．某电路如图所示，用A表示事件“灯泡变亮”，用B，C，D依次表示事件“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则__________.（用B，C，D间的运算关系式表示）
15．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则__________.
16．下面有四个关于充要条件的命题：①“向量与非零向量共线”的充要条件是“有且只有一个实数使得；②“函数为偶函数”的充要条件是“”；③“两个事件为互斥事件”是“这两个事件为对立事件”的充要条件；④设，则“"是“为偶函数”的充分不必要条件.其中，真命题的序号是__________.
四、解答题
17．已知事件A与B互斥，判断与B的关系，以及A与的关系.
18．如果随机试验的样本空间是，且A是一个必然事件，B是一个不可能事件.
（1）写出A与的关系；
（2）写出B与的关系.
19．从52张扑克牌（不含大小王）中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率：
（1）抽到的牌是7；
（2）抽到的牌不是7；
（3）抽到的牌是方片；
（4）抽到J或Q或K；
（5）抽到的牌既是红心又是草花；
（6）抽到的牌比6大比9小；
（7）抽到的牌是红花色；
（8）抽到的牌是红花色或黑花色.
20．甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷.规定第1次由甲投掷.
（1）求第2次由甲投掷的概率；
（2）求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率.
21．已知，.（1）如果，那么__________，__________，__________；（2）如果A，B互斥，那么__________，__________，__________.
22．一名射击爱好者每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，
（1）不小于0.9？
（2）不小于0.99？
参考答案
1．答案：D
解析：连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶；
②只有一次中靶；③两次都没有中靶，
所以事件“至少一次中靶”互为对立事件的是两次都没有中靶.
故选：D.
2．答案：B
解析：对于A，二者能同时发生，不是互斥事件，如,故A错误；
对于B，二者不能同时发生，也不能同时不发生，点数都是偶数，故B正确；
对于C，二者不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故C错误；
对于D，二者能同时发生，不是互斥事件，如，故D错误.
故选:B
3．答案：A
解析：事件“至少有一个黄球”的对立事件是“没有黄球”,即都是“都是蓝球”,
所以与事件“至少有一个黄球”互为对立的是“都是蓝球”.
故选:A
4．答案：A
解析：事件“至少有一个黄球”的对立事件是“没有黄球”,即都是“都是蓝球”,
所以与事件“至少有一个黄球”互为对立的是“都是蓝球”.
故选:A
5．答案：A
解析：“至少一次中靶”的对立事件是“三次都不中靶”.
故选：A.
6．答案：C
解析：①太阳一定会从东方升起,所以太阳从东方升起,是必然事件；
②因为购买一张彩票可能中奖,也可能比中奖,所以购买一张彩票中奖是随机事件；
③因为掷一枚骰子,可能出现的点数最大为6,出现的点数大于6,是不可能事件；
④因为掷一枚硬币,可能正面朝上,也可能背面朝上,所以掷一枚硬币正面朝上,是随机事件,
故随机事件有②④.
故选：C.
7．答案：D
解析：样本空间为,,,,,
对于A,由于,所以A,C不互斥,故A错误;
对于B,,所以B,C不互斥,更加不可能对立,故B错误;
对于C,,所以A,D不互斥,故C错误;
对于D,因为,,所以C,D为对立事件,故D正确.
故选:D.
8．答案：A
解析：由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；
②中，当A与B是互斥事件时，才有(B)，
对于任意两个事件A，B满足，所以是不正确的；
③也不正确不一定等于1，还可能小于1；
④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，
从袋中任摸一个球，设事件{摸到红球或黄球}，事件{摸到黄球或黑球}，
显然事件A与B不互斥，但
9．答案：BD
解析：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.
在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；
在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；
在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；
故选：BD.
10．答案：AB
解析：“至少有一个黑球”中包含“都是黑球,A正确；
“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生,B正确；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生,C不正确；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生,D不正确.
故选：AB.
11．答案：ABD
解析：抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,
“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,
在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确；
在B中,A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确；
在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误；
在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：AD
解析:事件A为“只选甲套餐”；
事件B为“至少选一种套餐”，
包括选甲套餐，选乙套餐，甲乙两种套餐都选；
事件C为“至多选一种套餐”，
包括选甲套餐，选乙套餐，甲乙两种都不选；
事件D为“不选甲套餐”，
包括选乙套餐，甲乙两种都不选；
事件E为“一种套餐也不选”.
A.事件A与C既不互斥也不对立，故A错误；
B.事件B与E是互斥事件，且是对立事件，故B正确；
C.事件B与C不互斥，故C正确；
D.事件C与E不互斥，故D错误.
故选：AD.
13．答案：2，4，5，6
解析：该试验的样本空间，，，所以，所以.
14．答案：（或）
解析：由题图可得“灯泡变亮”即“开关Ⅱ与开关Ⅲ至少有一个闭合”且“开关Ⅰ闭合”，因此.
15．答案：
解析：因为，又，，
得到，又因为，所以.
故答案为：.
16．答案：①②④
解析：由共线向量定理，知命题①为真.
当时，显然为偶函数，反之，是偶函数，则恒成立，就有恒成立，得，因此②为真.
对立事件是互斥事件的特殊情形，所以③为假.
在④中，若，则是偶函数.但是是偶函数，则也成立，故“”是“为偶函数”的充分不必要条件.
故答案为：①②④.
17．答案：
解析：因为事件A与B互斥，
所以，.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）根据必然事件的定义可知，；
（2）根据不可能事件的定义可知，.
19．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）0
（6）
（7）
（8）1
解析：（1）52张牌中数字为7的有4张，所以概率为；
（2）52张牌中不是7的有（张），所以概率为；
（3）52张牌中方片共有13张，所以概率为；
（4）52张牌中J，Q，K共有（张），所以概率为；
（5）该事件为不可能事件，所以概率为0；
（6）抽到的牌为7或8，共有8张，所以概率为；
（7）红花色的牌共有（张），所以概率为；
（8）该事件为必然事件，所以概率为1.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）掷出的骰子的点数的样本点总数为36.
记事件“掷出的点数之和为3的倍数”，
则，有12个样本点.
.
故第2次由甲投掷的概率为.
（2）前4次投掷中，乙恰好投掷2次的情况分以下三种：
第一种情况，第1，2次由甲投掷，第3，4次由乙投掷，其概率为，
第二种情况，第1，3次由甲投掷，第2，4次由乙投掷，其概率为，
第三种情况，第1，4次由甲投掷，第2，3次由乙投掷，其概率为.
故前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率为.
21．答案：0.5；0.3；0.2；0.80；0.5
解析：（1）如果，那么，，所以，，.
（2）如果A，B互斥，那么，则，，.
故答案为：0.5；0.3；0.2；0.8；0；0.5
22．答案：（1）11
（2）21
解析：（1）已知n次独立射击中至少击中一次的概率为；
要使，必须，即射击次数必须不小于11次.
（2）要使，必须，即射击次数必须不小于21次.
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