一元二次函数与一元二次不等式（含解析）--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业

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一元二次函数与一元二次不等式--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业
一、选择题
1．若不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.或
2．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.或
C.或 D.
3．若关于x的不等式有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知方程的两个实根为，，若，则( )
A.4 B. C.或4 D.1
5．不等式的解为( )
A. B.或 C. D.或
6．若关于x不等式的解集为，则关于x不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7．已知，当时，的最小值是，则( )
A. B. C. D.
8．已知关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．对于给定的实数a,关于实数x的一元二次不等式的解集可能为( )
A. B.
C. D.或
10．若关于x的不等式有解，则实数a可以是( )
A. B. C. D.1
11．下列不等式的解集为R的是( )
A. B. C. D.
12．已知关于x的不等式的解集为则( )
A.
B.不等式的解集为
C.
D.不等式的解集为或
三、填空题
13．设,若关于x的不等式的解集中的整数解恰有4个,则实数a的取值范围是_______________.
14．已知不等式的解集为,则的值为_____________.
15．若关于x的不等式的解集为，则________.
16．已知关于x的不等式的解集为，则_________.
四、解答题
17．已知函数.
(1)若,求实数a的值；
(2)若,恒成立,求：实数a的取值范围.
18．解下列不等式.
(1)；
(2).
19．设函数,其中.
(1)若,
（i）当时,求的最大值和最小值;
（ii）对任意的,都有,求实数a的取值范围；
(2)若对任意的,都有,求实数t的取值范围.
20．已知关于x的不等式.
(1)若该不等式的解集为或，求实数a，b的值；
(2)解该不等式.
21．已知不等式的解是或.
(1)用字母a表示出b,c；
(2)求不等式的解
22．关于x的方程至少有一个负实根,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：对一切实数都成立，
①时，恒成立，
②时，，
解得，
综上可得，，
故选：C.
2．答案：C
解析：因为关于x的不等式的解集为，
所以和是一元二次方程的解，且，
则由韦达定理得，，
解得，，
即不等式
可化为，
可得，解得或，
则不等式的解集为或，故C正确.
故选：C
3．答案：A
解析：化简可得，
由该不等式有且只有两个整数解，可得两个整数解必为1和2，
则有，解得.
故选：A.
4．答案：B
解析：因为方程的两个实根为，，
则，，
所以，
整理得到，解得或，
又由，得到，所以，
故选：B.
5．答案：A
解析：,解得或,
故不等式解集为.
故选：A.
6．答案：C
解析：因为不等式的解集为，
则，且和3是的两个根，
所以，即，，
故
，解得或，
从而关于x不等式的解集为.
故选：C.
7．答案：D
解析：，0，
的最小值是，
若，即时，
则，
解得；
若，即时，
，，不合题意舍去.
故.
故选：D.
8．答案：C
解析：因为在时有解，
所以在时有解，
设配方为，
其图像开口向上，对称轴为,
在区间上：
当时，取得最小值；
当时，取得最大值；
因此，在上的最大值为3，
因为在时有解，
所以a不大于在该区间上的最大值即可，即.
故选：C.
9．答案：BC
解析：当时,函数开口向下,
若,不等式解集为;
若,不等式的解集为,
若,不等式的解集为.
综上,B、C项都可能成立.
10．答案：AD
解析：因为关于x的不等式有解，
所以，解得或，结合选项可知A，D正确.
故选：AD.
11．答案：AC
解析：因为，所以不等式的解集为R，所以A正确，
因为，所以方程的两根为，所以不等式的解集为，所以B错误，
因为，所以不等式的解集为R，所以C正确，
因为，所以D错误，故选AC.
12．答案：ABD
解析：由题可得,则,
所以,即,解得,故选项A和选项B正确；
,因为,所以,
即,选项C错误；
不等式可化为,
即,解得或,故选项D正确；
故选：ABD.
13．答案：
解析：,
,所以当时,,有无数个整数解,舍；
当时,,有无数个整数解,舍；
当时,
因为,所以要使解集中的整数解恰有4个,则
,,,,,
故答案为：.
14．答案：4
解析：,作出函数的图象,如图,
,若,则不等式的解集是两段区域,不合题意,
所以,此时恒成立,
又因为不等式的解集为,
所以,,
,由得或4,
若,由,解得或,不合题意,
所以,此时,
所以.
故答案为：4.
15．答案：
解析：因为关于x的不等式的解集为，
则方程的两根为，2，所以，
解得，所以，
故答案为：.
16．答案：2或4
解析：当时，的解集为，
所以，解得或，
检验：当时，，
即，解得，符合题意，
当时，，即，
解得或，不符合题意，舍去，
所以，此时；
当时，因为，所以，
结合
对称轴性质可知且，
由解得（舍）或，
由即，
解得或（舍），
所以，，此时.
故答案为：2或4.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,
所以；
(2)当时,恒成立,
当,
综上所述：时,恒成立.
18．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)不等式可化为，
不等式的解集是.
(2)原不等式可化为，
若时，解为,
若时，解为，
若时，解为.
19．答案：(1)（i）,；（ii）
(2)
解析：(1)（i）当时,,
所以,;
（ii）当时,,由,
由题意：,所以.
所以a的取值范围为.
(2)设函数在区间上的最大值为M,最小值为m,
所以“对任意的,,都有”等价于“”.
①当时,,,
由,得,又,无解；
②当时,,,
由,得,
因此；
③当时,,,
由,得,因此；
④当时,,,
由,得,无解,
综上所述,实数t的取值范围为区间.
20．答案：(1)，
(2)答案见解析
解析：(1)由题意知，2是方程的一个根，
所以，解得，
所以，
解得或，所以；
(2)若，解得，
所以该不等式的解集为；
若，当，
即时，该不等式的解集为R；
当，即时，
，该不等式的解集为；
当，即时，
的两个根分别为，，
所以该不等式的解集为或；
若时，当，
即时，该不等式的解集为；
当，
即时，的两个根分别为
，，
所以该不等式的解集为.
21．答案：(1),
(2)或
解析：(1)由不等式的解为或,
可知且的两根为2和3,
由韦达定理得,,所以,；
(2)由(1)可得：可变为,
因为,所以,整理得,
解得或,所以不等式的解是或.
22．答案：
解析：①当时,解得,满足条件；
②当时,显然方程没有零根,由,得
设方程的两个实数根为,,
若方程有两异号实根,则,解得；
若方程有两个负的实根,则,解得.
综上,若方程至少有一个负的实根,则.
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