用样本估计总体分布（含解析）--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业

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用样本估计总体分布--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业
一、选择题
1．某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，这批用户问卷的得分不低于80分的份数为( )
A.20 B.30 C.35 D.40
2．如图，是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知该样本容量为300，则样本数据落在内的频数为( )
A.68 B.170 C.204 D.240
3．如图,已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态,则下列结论正确的是( )
A.众数平均数中位数 B.众数中位数平均数
C.众数平均数中位数 D.中位数平均数众数
4．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56 B.60 C.120 D.140
5．如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让的居民用水不超出标准a（单位：t），根据直方图估计，下列最接近a的数为( )
A.8.5 B.9 C.9.5 D.10
6．某校举办了一次环境保护知识竞赛,为了解学生的环境保护知识掌握程度,学校采用简单随机抽样从全校5000名学生中抽取了一个容量为100的样本,已知样本的成绩全部分布在区间内,根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示,则频率分布直方图中( )
A.0.3 B.0.03 C.0.25 D.0.025
7．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
8．某学校组织高一学生参加数学测试，现将学生成绩整理并做出频率分布直方图如图所示，其中数据的分组依次为，，，.若高于60分的人数是350，则高一学生人数为( )
A.1000 B.750 C.500 D.250
二、多项选择题
9．“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是( )
A.月跑步里程逐月增加
B.月跑步里程最大值出现在9月
C.月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数
D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳
10．年上半年,中国养猪企业受猪价高位的利好影响,大多收获史上最佳半年报业绩,部分企业半年报营业收入同比增长超过1倍．某养猪场抓住机遇,加大了生猪养殖规模,为了检测生猪的养殖情况,该养猪场对2000头生猪的体重（单位：）进行了统计,得到如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是( )
A.这2000头生猪体重众数为
B.这2000头生猪中体重不低于的有80头
C.这2000头生猪体重的中位数落在区间内
D.这2000头生猪体重的平均数为
11．某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：），并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是( )
A.
B.估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为30%
C.估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间
D.估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间
12．为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距( )
A.a的值为0.030
B.抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间
C.2000名考生中约有10名成绩优秀
D.估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间
三、填空题
13．如图是某学校抽取的n个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，第3小组的频数为18，则n的值是___________.
14．某校为了解今年春季学期开学第一周,高二年级学生参加学校社团活动的时长,有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学,统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长,并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是,数据分组为,,,,.这100名同学中,今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为_______________人.
15．某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制,均为整数)的频率分布直方图如图,则成绩在之间的学生人数为________.
16．相关部门对某景区在“十一”黄金周中每天的游客人数进行了统计，其频率分布表如下：
时间 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
频率 0.05 0.08 0.09 0.13 0.30 0.15 0.20
已知10月1日这天该景区的营业额约为8万元，假定这七天每天游客人均消费相同，则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为_________万元.
四、解答题
17．某校高一年级期中考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，则成绩在内的学生有几个？
(2)学校计划对本次测试数学成绩优异的学生进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的学生的最低分数.
18．今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日.某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养.该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为，，，，，并作出如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中x的值；
(2)根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
(3)已知学生成绩落在的平均数是77，方差是5；落在的平均数是84，方差是5.求这两组数据的总方差.
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，;n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差.
19．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)若从成绩位于区间和的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在的概率；
(3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．（注：，，）
20．某地教育局为了解该地高中生课下作业的负担情况，从该地高中学生中随机抽取了100名学生，统计这些学生完成课下作业日均用时（单位：时），并按照，，，分组绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值；
(2)估计该地高中生完成课下作业日均用时低于1.5小时的概率；
(3)估计该地高中生完成课下作业日均用时的中位数.
21．某机构为调查本市不同年龄的市民对“奥运会”相关知识的认知程度，对不同年龄的人举办了一次“奥运会”知识竞赛.其中认知程度高的共有m人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.
(1)求m的值，并根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄（同一组中的数据用该组的组中值做代表值）；
(2)现从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，随机抽取2名作为组长.已知甲（年龄38岁），乙（年龄41岁）两人已确定入选宣传使者，求甲、乙两人中恰有一人被选上的概率.
22．某校从高一年级学生中随机抽取200人参加人工智能科技知识测试，得分在之间，分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值；
(2)估计这200名学生得分的上四分位数和平均值（同组中数据用该组区间中点值作代表）；
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取40人.若第四组选手成绩的平均数和方差分别为80和14，第五组选手成绩的平均数和方差分别为90和9，请据此估计第四组和第五组所有选手成绩的平均值和方差.
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；记两组数据总体的样本平均数为W，总体样本方差为，则总体样本平均数；总体样本方差）
参考答案
1．答案：B
解析：由图可得这批用户问卷的得分不低于80分的频率为，
故这批用户问卷的得分不低于80分的份数为：，
故选：B
2．答案：C
解析：样本数据落在内的频率为，
所以样本数据落在内的频数为，
故选：C
3．答案：B
解析：由频率直方图可得,单峰不对称且“右拖尾”,最高峰偏左,众数最小,
平均数易受极端值的影响,与中位数相比,平均数总是在“拖尾”那边,
故平均数大于中位数,所以众数中位数平均数.
故选:B
4．答案：D
解析：由频率分布直方图中的数据可得每周的自习时间不少于22.5小时的频率为
，
则200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是.
故选：D.
5．答案：A
解析：因为，
，
所以a应在，
所以，
解得.
故最接近8.316的数为8.5.
故选：A.
6．答案：B
解析：在频率分布直方图可知,所有直方图面积之和为1,
所以,解得.
故选:B.
7．答案：C
解析：因为频率直方图中的组距为1，
所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率
即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为
(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
8．答案：C
解析：由频率分布直方图得高于60分的人数所占的频率为，所以高一学生人数为，故选C.
9．答案：BCD
解析：根据折线图可知，7月跑步里程下降了，故A选项错误.
根据折线图可知，9月的跑步里程最大，故B选项正确.
一共11个月份，里程中间的是从小到大的第6个，根据折线图可知，跑步里程的中位数为8月份对应的里程数，故C选项正确.
根据折线图可知，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D选项正确.
综上所述，正确的选项为BCD.
故选：BCD.
10．答案：BCD
解析：由频率分布直方图可知,这一组的数据对应的小长方形最高,所以这2000头生猪的体重的众数为,A错误；
这2000头生猪中体重不低于的有（头）,B正确；
因为生猪的体重在内的频率为,
在内的频率为,且,
所以这2000头生猪体重的中位数落在区间内,C正确；
这2000头生猪体重的平均数为,
D正确．
故选：BCD.
11．答案：BCD
解析：选项A：，解得，A错误；
选项B：估计该哈密瓜的质量不低于的比例为，B正确；
选项C：低于的概率为，
低于的概率为，
故估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于至之间，C正确；
选项D：低于的概率为，
低于的概率为0.7，
估计该哈密瓜的质量的中位数介于至之间，D正确.
故选：BCD
12．答案：ABD
解析：依题意，，
解得，A选项正确.
根据频率分布直方图，，
所以极差介于40分至60分之间，B选项正确.
90分以上频率为0.1，对应有人，C选项错误.
成绩介于70分至90分之间的频率为，
所以估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间，D选项正确.
故选：ABD
13．答案：48
解析：根据频率分布直方图得，从左到右的前3个小组的频率和为.
又前3个小组频率之比为，
第3小组的频率为.
又第3小组的频数为18，样本容量.
14．答案：68
解析：今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为
,
故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为.
故答案为：68.
15．答案：5
解析：
所以成绩在之间的学生人数为.
故答案为:5
16．答案：48
解析：设游客人数最多的那一天的营业额约为x万元，则，解得.
17．答案：(1)2
(2)134分
解析：(1)由题意有：，
解得，
采用分层抽样在内的学生人数有：
，
所以成绩在内的学生有2个；
(2)因为成绩在内的频率为：，
所以最低分数为：，
所以估计获得表彰的学生的最低分数为134分.
18．答案：(1)0.015
(2)76.25，75
(3)17
解析：（1）根据频率分布直方图，
有，解得；
（2）学生成绩落在的频率为，
学生成绩落在的频率为，
学生成绩落在的频率为，
学生成绩落在的频率为，
学生成绩落在的频率为，
由，，
可得中位数为，
学生成绩的平均数为；
（3）这两组数据的平均数为，
这两组数据的总方差为
.
19．答案：(1)0.030
(2)
(3)，
解析：(1)由题意，
解得：.
(2)由题可知，成绩在区间的频数为：；
成绩在区间的频数为：.
利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为，
成绩在的频数为.
再从这7份答卷中随机抽取两份，
这两份答卷的成绩都落在的概率为：.
(3)因为落在与的频率之比为；
所以，
.
20．答案：(1)
(2)0.25
(3)2.1
解析：(1)由，解得.
(2)由频率分布直方图可知，
样本中高中生完成课下作业日均用时
低于1.5小时的频率为，
所以估计该地高中生完成课下作业日均用时
低于1.5小时的概率.
(3)样本中前三组的频率之和为
，
前四组的频率之和为，
所以中位数位于内，
故估计该地高中生完成课下作业日均用时的中位数为
.
21．答案：(1)；31.75
(2)
解析：(1)由，得；
，
这100人的平均年龄为31.75.
(2)由题意得，第四组应抽取人，
记为A（甲），B，C，D，
第五组抽取人，记为E（乙），F.
对应的样本空间为：，.
记“甲、乙两人中恰有一人被选上”为事件M，
则，
甲、乙两人中恰有一人被选上的概率为.
22．答案：(1)0.035
(2)上四分位数为75，平均值为68.5.
(3)第四组和第五组所有选手成绩的平均值为84，方差为36.
解析：(1)由图可得，
解得.
(2)上四分位数即第75百分位数，
因为第一组、第二组及第三组的频率之和为，
所以第75百分位数为75，故上四分位数为75.
平均值.
(3)设第四组、第五组所有选手成绩的平均数、
方差分别为，，，
所以第四组抽取人，
第五组抽取人，
则第四组、第五组所有选手成绩的平均值为，
，
第四组、第五组所有选手成绩的方差为
.
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