用样本估计总体数字特征（含解析）--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业

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用样本估计总体数字特征--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业
一、选择题
1．已知一组样本数据,,,的方差为10，且．设，则样本数据,,,的方差为( )
A.9.5 B.10.5 C.9.75 D.10.25
2．已知,若x,,,的中位数为2,则( )
A. B. C.2 D.1
3．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”.现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120；
②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；
③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8；
则可以判定数学成绩优秀的同学为( )
A.甲、丙 B.乙、丙 C.甲、乙 D.甲、乙、丙
4．一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是( )
A.极差 B.中位数 C.平均数 D.众数
5．已知A组数据“”和组数据“”（，）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由A，B这两组数据构成的所有数据的总体方差为( )
A.15 B.32 C.35 D.42
6．北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会，南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事．之前，为助力冬奥，提高群众奥运法律知识水平和文明素质，某市有关部门开展冬奥法律知识普及类线上答题，共计30个题目，每个题目2分满分60分，现从参与线上答题的市民中随机抽取1000名，将他们的作答成绩分成6组，并绘制了如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，可估计这次线上答题成绩的平均数为( )
A.33 B.34 C.35 D.36
7．一组数据11，18，6，38，20的极差为( )
A.16 B.20 C.32 D.-32
8．已知一组数据的频率分布直方图如图所示,则数据的中位数估计值为( )
A.64 B.65 C.64.5 D.66
二、多项选择题
9．《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为93，93，88，81，94，91，90.则这组时间数据的( )
A.极差为13 B.平均数为90 C.方差为25 D.中位数为92
10．有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则( )
A.，，，的平均数等于，，…，的平均数
B.，，，的中位数等于，，…，的中位数
C.，，，的标准差不小于，，…，的标准差
D.，，，的极差不大于，，…，的极差
11．已知事件A、B、C满足,,,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则A,B不独立
12．给定一组数据5，2，1，2，3，3，2，3，5，4，则这组数据的( )
A.极差为4 B.标准差为 C.平均数为3 D.中位数为3
三、填空题
13．一组数据5，5，7，a，10的平均数为7，则其方差为________.
14．数据21，19，31，25，28，18，30的极差是________.
15．有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，x，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为________.
16．已知60个样本数据的平均数为3，其中，则这60个数据的方差为________.
四、解答题
17．某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，（）.试验结果如下：
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记，记，，…，的样本平均数为，样本方差为.
（1）求，；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
18．从某校高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图.
利用频率分布直方图求：
（1）这50名学生成绩的众数与中位数；
（2）这50名学生的平均成绩.（答案精确到0.1）
19．某公司总体由1000人组成，按收入情况分成两层，第一层（高收入层）20人；第二层（低收入层）980人.从第一层随机抽取2人，调查上月收入得12000元和16000元；从第二层随机抽取8人，上月收入分别为2200元、2300元、1800元、3200元、4000元、3400元、2800元及3600元如何来估计这月1000人的月收入？
20．统计学中，协方差用来描述两组数据和之间的总体的误差．定义：协方差．已知甲、乙两位同学五次考试（满分5分）数学和物理成绩如下表：
甲 ① ② ③ ④ ⑤
数学成绩 1 2 3 4 5
物理成绩 1 3 3 3 5
2 5 6 7 10
乙 ① ② ③ ④ ⑤
数学成绩 3 3 4 5 5
物理成绩 1 3 3 4 4
4 6 7 9 9
(1)依据表格数据分别求出甲、乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差，
(2)分别求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，并计算他们数学物理总成绩的方差，根据计算结果，猜想一般情况下和之间的等量关系式（不需要证明）；
(3)在一般情况下，证明：．
21．某风景区千峰叠翠,万派环宋,山势雄奇,胜境遍布,其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕于高山雾海之中,忽隐忽现,如苍龙遨游九天,其峰群之集中,规模之宏大,造型之奇异和离城市之近尚属罕见,是得天独厚的自然风景区.现为更好地提升旅游品质,该风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分）,根据评分,制成如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图,求x的值;
（2）估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数（每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替,得数保留两位小数）.
22．某沙稻研究中心利用早直播技术在沙漠试验田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg）如下：
甲4751495053
乙4451605852
(1)利用均值和极差对甲、乙的产量进行评价；
(2)产量的变异系数（CV）是一个用于评估产量稳定性和变异程度的指标，越小，产量越稳定，生产的风险也越小，其计算公式为.根据产量的变异系数，你认为哪个品种更适合推广
参考答案
1．答案：B
解析：设样本数据，，，的平均值为，
方差为，样本数据，，，的方差为，
则，
，
故
，
故选：B
2．答案：D
解析：因为,所以,
分别令,,解得,
当时,,所以,解得；
当时,,所以,
解得（舍去）或（舍去）；
当时,,所以,
解得（舍去）或（舍去）；
当时,,所以,解得（舍去）.
综上,.
故选：D
3．答案：A
解析：在①中，甲同学：
5个数据的中位数为127，众数为120，
所以前三个数为120，120，127，
则后两个数肯定大于127，
故甲同学数学成绩优秀，故①成立；
在②中，5个数据的中位数为125，
总体均值为127，
可以找到很多反例，
如：118，119，125，128，128，
故乙同学数学成绩不优秀，故②不成立；
在③中，5个数据的中位数为135，
总体均值为128，总体方差为19.8，
设，
则
，
，
丙同学数学成绩优秀，故③成立，
数学成绩优秀有甲和丙2个同学.
故选:A
4．答案：C
解析：A，由题意，去掉一个最大值后，剩下的数据中可能有数据等于原来的最大值，此时极差不变，A错误；
B，中位数不一定改变，如原数据为1，2，2，3，中位数为2，去掉3后，数据为1，2，2，中位数还是2，B错误；
C，设原平均数为，
假设去掉最大值后平均数不变，则，
所以，解得，
由原数据不全相等，可得，矛盾，
所以平均数一定改变，C正确；
D，众数不一定改变，如数据为2，2，3，4，众数为2，去掉4后，众数仍为2，D错误.
故选：C
5．答案：B
解析：由条件可知，总体平均数
，
设A组数据的平均数为，方差为，B组数据的平均数是，方差是，
所以所有数据的总体方差
.
故选：B
6．答案：B
解析：由题图，.
故选：B
7．答案：C
解析：该组数据的最大数为38，
最小数为6，所以极差.
故选：C.
8．答案：B
解析：因为,所以中位数位于之间,
设中位数为x,则,解得,
即中位数为65.
故选:B
9．答案：AB
解析：对于A，可得该组数据的极差为，故A正确；
对于B，平均数为，故B正确；
对于C，所以方差，故C不正确；
对于D，中位数为91，故D不正确.
故选：AB.
10．答案：BD
解析：A项，不妨设这组数据为0，2，3，4，5，6，则原平均数，
去掉0和6之后的平均数，故A项错误；
B项，不妨假设，则，，，和，，…，的中位数都是，故B项正确：
C项，不妨设这组数据为1，2，3，5，6，7，则，
，
去掉1和7后，，，
所以，从而，故C项错误；
D项，沿用B项的假设，则，，，的极差为，，，…，的极差为，
因为，
所以，故D项正确.
11．答案：ACD
解析：对于A,若,则,故A正确;
对于B,例如掷一次骰子,事件表示得到1或2点,事件B表示得到3点或2点或4点,所以,,,此时不成立,故B错误;
对于C,若,则,则,故C正确;
对于D,若,则,,,则,,A,B不独立,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：ACD
解析：将数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5
极差为；平均数为；
标准差为；中位数为3.
故选：ACD.
13．答案：
解析：由题意可得，则，
所以方差为，
故答案为：
14．答案：13
解析：数据21，19，31，25，28，18，30的极差是.
故答案为：13.
15．答案：7.5/
解析：依题意可得极差为，平均数为，
所以，解得，所以中位线为.
故答案为：7.5
16．答案：12
解析：由60个样本数据的平均数为3，可得，可得，
又由方程
.
故答案为：12.
17．答案：（1），
（2）有显著提高
解析：（1）因为，
所以，，，，，，，，，，
所以，
所以.
（2）因为，即，
所以甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
18．答案：（1）众数为75分，中位数为76.7
（2）平均成绩为76.2
解析：（1）由众数的概念及频率分布直方图可知，这50名学生成绩的众数为75分.
因为数学竞赛成绩在的频率为，
数学竞赛成绩在的频率为.
所以中位数为.
（2）这50名学生的平均成绩为
.
19．答案：见解析
解析：如果用样本平均数（元）来估计总体平均数显然偏高.
若先分别算出这两层的样本平均数元，元，
则用样本的分层抽样的平均数（元）来估计就合理多了.
20．答案：(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
解析:(1)，
甲的数学成绩x与物理成绩y的协方差：
，
乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差：
(2)解甲的数学成绩x与物理成绩y的方差为：
乙的数学成绩x与物理成绩y的方差为：
甲的数学与物理总成绩：
乙的数学与物理总成绩：
由甲、乙同学成绩数据可知：
(3)欲证，
只需证
即证
以下证明（※）式：
①当时，（※）式显然成立
②当时，由均值不等式
……
则上述n个不等式相加可得：
所以则（※）式成立，
所以成立
21．答案：（1）
（2）中位数约为86.67.平均数为84.
解析：（1）由图知:,
可得
（2）因为
所以中位数在区间内,令其为m,
则,解得.
所以满意度评分的中位数约为86.67.
由频率分布直方图可知,平均数为.
22．答案：(1)答案见解析
(2)甲品种
解析:(1)甲品种产量样本的平均值，极差为；
乙品种产量样本的平均值，极差为.
所以甲品种的产量略低乙品种，但比较稳定：乙品种的产量较高，但波动较大.
(2)甲品种的样本方差，
所以甲品种产量的变异系数；
乙品种的样本方差
，
所以乙品种产量的变异系数.
因为，所以甲品种的产量更稳定，生产的风险也更小，更适合推广.
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