指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（含解析）--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业

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指数函数、幂函数、对数函数增长的比较--2025-2026学年高一数学北师大版必修一课时作业
一、选择题
1．当时，，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
2．下列函数中,增长速度最慢的是( )
A. B. C. D.
3．在一次数学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x,y的函数关系式与下列哪类函数最接近？（其中a为待定系数）( )
A. B. C. D.
4．据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万、0.76万，则该地区这三个月的用工人数y（万人）关于月数x的函数关系近似是( )
A. B. C. D.
5．在一次物理实验中某同学测量获得如下数据：
x 1 2 3 4 5
y 5.380 11.232 20.184 34.356 53.482
下列所给函数模型较适合的是( )
A. B.
C. D.
6．某种植物生长发育的数量y与时间x之间的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 2 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A. B. C. D.
7．下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A. B. C. D.
8．某种细胞在正常培养过程中，时刻t（单位：）与细胞数n（单位：个）的部分数据如下表：
t 0 20 60 140
n 1 2 8 128
根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．函数，，在区间上( )
A.的递减速度越来越慢 B.的递减速度越来越慢
C.的递减速度越来越慢 D.的递减速度慢于的递减速度
10．在同一坐标系中，对于函数与的图象，下列说法错误的是( )
A.与的图象有两个交点
B.与的图象有三个交点
C.，当时，的图象恒在的图象的上方
D.，当时，的图象恒在的图象的上方
11．给出下列结论,其中正确的结论是( )
A.函数的最大值为
B.若幂函数的图象经过点,则解析式为
C.函数与函数互为反函数
D.若x,,,则xy的最小值为1
12．已知为定义在R上的偶函数，当时，有，且当时，.给出下列命题，其中正确的命题的为( )
A.
B.函数在定义域上是周期为2的周期函数
C.直线与函数的图像有1个交点
D.函数的值域为
三、填空题
13．甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，.有以下结论：
①当时，乙总在最前面；
②当时，丙在最前面；当时，丙在最后面；
③若它们一直运动下去，则最终在最前面的是甲.
其中所有正确结论的序号是__________.
14．常见函数模型的比较：
在上的增减性 __________ __________ __________
图象的变化 增长速度不变 随x增大逐渐变“陡” 随x增大逐渐变“缓”
增长速度 的增长速度远远__________的增长速度，的增长速度__________的增长速度.
结论 存在一个，当时，有__________.
15．三个变量，，随自变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
5 135 625 1715 3645 6633
5 29 245 2189 19685
5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40
其中符合对数函数模型的变量是__________，符合指数函数模型的变量是__________，符合幂函数模型的变量是__________.
16．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是___________.
①；②；③；④.
四、解答题
17．猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病,既往猴痘疫情主要在非洲地区流行,2022年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区,2022年1月至2024年7月31日,全球已经有121个国家报告了猴痘病例例,其中死亡229例.2024年8月,世卫组织宣布猴痘疫情构成“国际关注的突发公共卫生事件”.猴痘病毒经过变异之后传染性极强,假设猴痘病毒在特定环境下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录,用表示经过的单位时间数,用表示猴痘感染人数.
x 2 4 6 8
y 8 64 511 4097
(1)请从与且两个函数模型中选择更适合猴痘病毒感染规律的函数模型,并求出该函数模型的解析式；
(2)求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.（参考数据：,）
18．茶是中华民族的举国之饮,发于神农,闻于鲁周公,始于唐朝,兴于宋代,中国茶文化起源久远,历史悠久,文化底蕴深厚,是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯,这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示,茶水的口感与水的温度有关.经实验表明,用的水泡制,待茶水温度降至时,饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》,某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1min测量一次茶水温度,得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时间 0 1 2 3 4 5
水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27
设茶水温度从经过后温度变为,现给出以下三种函数模型：
①;
②;
③.
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型,并根据前3组数据求出该解析式;
(2)根据(1)中所求函数模型,求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）;
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实,求进行实验时的室温约为多少.
19．（例题）已知某地区第一年的经济增长率为a（且a为常数），第二年的经济增长率为，这两年的平均经济增长率为y，写出y与x的关系，并求y的最小值.
20．已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为.
（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？
（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿：而2004年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
21．某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型更符合实际？
22．（例题）2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
参考答案
1．答案：B
解析：方法一：在同一坐标系中画出函数，，的图象如图所示，在区间内从上往下依次是，，的图象，.故选B.
方法二：取，经检验知B正确.故选B.
2．答案：C
解析：根据指数函数,对数函数,幂函数,一次函数的增长差异,对数函数增长速度最慢,
故选：C.
3．答案：A
解析：将对应得在坐标系中点出,得：
根据图形形状可得,其与指数函数图象最为接近.
故选：A.
4．答案：C
解析：对于A，当时，，与0.76差距较大，故排除A；
对于B，当时，，与0.76差距较大，故排除B；
对于D，当时，，与0.76差距较大，故排除D.故选C.
5．答案：D
解析：由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A中的函数增长速度保持不变，B中的函数增长速度越来越慢，C中的函数y是随x的增大而减小，D中的函数符合题意.故选D.
6．答案：D
解析：将表中各点代入方程检验，可知D正确.故选D.
7．答案：D
解析：当时，指数函数增长速度最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数的增长速度最快.
8．答案：A
解析：由表中数据可以看出，n与t的函数关系式为，令，则，
而，所以，即，所以繁殖到1000个细胞时，时刻t最接近于.故选A.
9．答案：ABC
解析：函数，，在区间上的图象如图所示，
在上，的递减速度越来越慢，故A正确；
的递减速度越来越慢，故B正确；
的递减速度越来越慢，故C正确；
的递减速度与的递减速度的快慢随x的不同取值而有所不同，故D错误.故选ABC.
10．答案：AC
解析：，，，，，，，，
则可在同一坐标系内作出两函数图象如图所示.
显然两函数的图象有三个交点A，B，C，故A错误，B正确；
由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，
所以当时，的图象恒在的图象的上方，故C错误，D正确.故选AC.
11．答案：BC
解析：对于选项A：因为,当且仅当时等号成立,
由指数函数的单调性可知：,
所以函数取最小值,故A错误;
对于选项B：设幂函数为,,
因为幂函数的图象经过点,则,则,
所以函数解析式为,故B正确;
对于选项C：根据指数函数与对数函数的关系可知：函数与函数互为反函数,故C正确;
对于选项D：因为,,
则,当且仅当时取等,
则,解得：,
则,所以有最大值1,故D错误,
故选：BC.
12．答案：ACD
解析：根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线和函数的图象如图所示，
根据图象可知选项A中，正确；
对于选项B，函数在定义域上不是周期函数，所以B不正确；
对于选项C，根据函数图象可知与的图象有个交点，所以C正确；
对于选项D，根据图象，函数的值域是，所以D正确.
故选：ACD.
13．答案：②③
解析：当时，，，；当时，，，，所以当时，乙不总是在最前面，故①不正确.根据三种函数的变化特点，当时，，可知当时，丙在最前面；当时，丙在最后面，故②正确；因为指数函数呈爆炸式增长，所以若它们一直运动下去，最终在最前面的是甲，故③正确.
14．答案：增函数；增函数；增函数；快于；快于；
解析：
15．答案：；；
解析：由题中表格，可知三个变量，，随着x的增大都是越来越大的，其中的增长速度最快，符合指数函数模型，的增长速度最慢，符合对数函数模型，符合幂函数模型.
16．答案：①
解析：结合四种函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.
17．答案：(1),
(2)12个单位时间
解析：(1)若选,
将,和,代入得,解得,
得,代入得,这与题干时差异很大,
所以该函数模型不适合：
若选,
将,和,代入得,
解得,得,
代入得,得,与表中数据接近,
适合作为拟合猴痘病毒感染规律的函数模型；
(2)设至少需要x个单位时间数,则,
两边同时取底数为10的对数得,
即,
,
又,
,
,的最小值为12,
即至少经过12个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.
18．答案：(1)选模型②,且
(2)
(3)约为10℃
解析：(1)由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢,故模型①③不符合,
选模型②,则,即,可得,
所以且.
(2)令,则.
所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为.
(3)由,即,所以进行实验时的室温约为.
19．答案：，；y有最小值
解析：根据题意有，
从而有，.
显然，上述函数是增函数，因此时，y有最小值.
20．答案：（1）1881年世界人口是1650年的2倍，2003年世界人口是1970年的2倍
（2）指数模型不适宜时间跨度较长的人口增长情况
解析：（1）设1650年后n年，人口是1650年的2倍，
即有，
两边取常用对数，可得，
即有；
设1970年后m年，人口是1970年的2倍，
即有，
两边取常用对数，可得，
即有.
则有1881年世界人口是1650年的2倍，2003年世界人口是1970年的2倍；
（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；
而2003年世界人口还没有达到72亿.
由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.
21．答案：乙选择的模型更符合实际
解析：若按模型，
将，，代入得
解得所以.
若按模型，将，，代入，
解得所以.
模型比较：
x 4 5
73 76
73.4 77.7
实际人数 74 78
比较发现，采用模型与实际人数误差更小，乙选择的模型更符合实际.
22．答案：推断此水坝大概是公元前2903年建成的
解析：设样本中碳14的初始量为k，衰减率为，经过x年后，残余量为y.
根据问题的实际意义，可选择如下模型：
（，且；；）.
由碳14的半衰期为5730年，得.
于是，
所以.
由样本中碳14的残余量约为初始量的可知，
，
即.
解得.
由计算工具得.
因为2010年之前的4912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的.
分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数（，且；，且）建立数学模型.
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