3.3.1探索与表达规律 教学设计（表格式） 2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

3.3.1探索与表达规律
学科 数学 年级 七年级上册 课型 新授课 单元 第三单元
课题 整式及其加减 课时 3.3.1
课标要求 本节课作为七年级上册整式及其加减单元的新授课，依据义务教育数学课程标准，要求学生经历探索日历数字规律、图形数量规律的过程，掌握用代数式表示数量关系的方法，体会从特殊到一般的归纳推理思想和代数建模思想；培养学生观察、分析、猜想、验证的能力，能运用所学知识解决与规律相关的实际问题，感受数学与生活的紧密联系，为后续方程、函数等知识的学习奠定基础。
教材分析 本节课隶属于第三单元 “整式及其加减”，是在学生掌握整式的概念、合并同类项等基础知识后的应用性内容。教材以日历数字和棋子摆图形为载体，将抽象的代数规律与具体生活情境相结合，既巩固了整式的运算知识，又让学生体会到代数在描述和解决实际问题中的工具性作用。其内容编排遵循 “具体实例 — 探索规律 — 代数式表达 — 验证应用” 的逻辑，符合七年级学生的认知规律，是衔接基础代数知识与实际应用的重要纽带。
学情分析 七年级学生已经具备了有理数的运算能力和整式的初步认识，对生活中的规律现象有一定的感知，但抽象概括能力和代数建模能力仍处于发展阶段。他们对情境探究、动手操作类的学习活动兴趣较高，能够通过具体实例进行简单的观察和猜想，但在将具体规律抽象为一般代数式、验证规律的普遍性方面可能存在困难。因此，教学中需要借助具体实例逐步引导，降低抽象思维的难度，同时注重培养学生的逻辑推理能力。
教学目标 1.学生能掌握日历中数字的排列规律（横向、纵向、对角线） 2.理解 3×3 方框、十字形框、H 形框等数框的规律，能用电代数式表示规律 3.会分析图形数量的变化规律，能用代数式表示第 n 个图形的数量。
教学重点 本节课的教学重点是探索并掌握日历中不同形状数框的数字规律（如 3×3 方框中 9 个数的和是中间数的 9 倍、十字形框中 5 个数的和是中间数的 5 倍等），以及图形规律的代数表达方法；学会运用设未知数的方式验证规律的普遍性，并能利用规律解决相关实际问题。
教学难点 难以熟练通过设未知数（如设数框中间数为x）将日历中数框的具体数字转化为代数式，并推导规律的普遍性； 难以从具体数框规律（如 3×3 方框、十字形框）抽象总结出对称数框的共同规律。
教法与学法分析 教法上，采用情境教学法，以日历、棋子摆图形等生活实例创设问题情境，激发学生的探究兴趣；运用启发式教学法，通过层层递进的问题引导学生自主思考、合作探究；结合讲练结合法，在讲解规律后及时通过练习题巩固知识，确保学生掌握重点内容。学法上，引导学生采用自主探究与合作交流相结合的方式，通过独立观察、小组讨论、归纳总结等活动，经历规律的探索过程；注重培养学生的归纳推理能力，让学生学会用代数建模的思想将实际问题转化为数学问题，掌握 “观察 — 猜想 — 验证 — 应用” 的学习方法。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 1.日历数的基本规律 观察图3-7所示的日历图，回答下列问题： （1）日历图中的数有什么规律？ 分析： 横向：同一行相邻数差1（因为连续一天）； 纵向：同一列相邻数差7（因为一周7天）； 对角线：左上到右下相邻数差8，右上到左下相邻数差6。 （2）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ 分析：套色方框中，9个数之和是正中间数的9倍。 以图中套色方框为例（中间数为 ），计算和： ，而 ，验证了“和是中间数的9倍”。 （3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ 分析：设方框正中间的数为，则周围8个数可表示为：。 求和：，因此对任何一个月的日历都成立（因日历排列规律“一周7天”固定）。 （4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？请用代数式表示。 横向每行3个数的和：（是中间数的3倍）； 纵向每列3个数的和：（是中间数的3倍）； 对角线两数的和：，（是中间数的2倍）。 拓展 在日历中，用3×3方框框出9个数，若这9个数的和为270，求正中间的数，以及这9个数中最大的数。 解析：根据规律，“3×3方框中9个数的和是正中间数的9倍”。设正中间的数为，则，解得。 日历中，3×3方框里最大的数是正中间数加8（纵向差7、横向差1，共差8），因此最大数为。 呈现图 3-7 日历图，依次提出关于日历数规律、3×3 方框 9 个数和与中间数关系等问题，讲解设中间数为x推导规律的方法，出示 9 个数和为 270 的拓展题。 观察日历图分析横向、纵向、对角线规律，计算验证 9 个数和与中间数的关系，用代数式推导规律普遍性，探索其他关系并解决拓展题。 让学生通过自主观察、计算与代数推导，初步掌握日历数字规律，初步培养归纳推理与代数建模意识。
环节二：新知讲解 尝试·思考 （1）图3-7所示的日历图中，能否使框中9个数的和为144？180呢？为什么？ 分析：根据“9个数的和是正中间数的9倍”，设正中间的数为，则9个数的和为。 和为144时：由，解得。 和为180时：由，解得。 （2）在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号？ 分析：同一列中，相邻两个星期日的日期差为7天（一周7天）。 设这个月的第一个星期日为号，则五个星期日的日期依次为：、、、、。 根据“日期数的和为80”，列方程： 化简方程： 解方程： 因此，这个月的第一个星期日是2号。 提出 “框中 9 个数和为 144、180 是否可行”“五个星期日和为 80 求第一个星期日” 的问题，引导用日历规律设未知数求解，分析数的合理性并讲解方程解法。 根据 “9 个数和为中间数 9 倍” 列方程求中间数，判断对应数是否在日历范围，列方程解决同一列五个星期日的问题。 巩固日历规律的应用，提升学生运用代数方程解决规律相关实际问题的能力。
环节三：延申探究 思考·交流 （1）如图3-8，如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？如果改为H形框呢？它们有什么共同规律？ 分析：①十字形框的规律：设十字形框的中间数为，则框内包含的数为：上方、下方、左方、右方，以及中间数。 求和： 规律：十字形框中5个数的和是中间数的5倍。 ②H形框的规律：设H形框的中间数为，则框内包含的数为：上方两个数、，中间两个数、，下方两个数、，以及中间数（共7个数）。 求和： 规律：H形框中7个数的和是中间数的7倍。 ③共同规律：这类对称形状的数框（十字形、H形等），框内数的和都是中间数的倍数，且“倍数等于框内数的个数”（十字形5个数→和为中间数的5倍；H形7个数→和为中间数的7倍）。 原因：日历中数的排列遵循“横向相邻差1，纵向相邻差7”，对称分布的数在相加时，偏移量（如与、与等）会相互抵消，最终和为“中间数×数的个数”。 （2）你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗？与同伴进行交流。 可以设计多种包含数字规律的数框，以下是示例： 示例1：2×2正方形框（含4个数） 在日历中选取2行2列的正方形框，设左上角的数为，则其余3个数为：右方、下方、右下方。 规律：对角线之和相等：（都等于）；4个数的和：，即“和是左上角数加4的4倍”。 示例2：竖条框（含3个数，同一列） 在日历中选取同一列的3个数，设中间数为，则上方数、下方数。 求和：，规律：同一列3个数的和是中间数的3倍。 注：还可设计“L形框” “倒T形框”等，只要利用“横向差1、纵向差7”的规律，通过对称或规则形状选数，均可发现和、差等规律。 拓展：用“十字形框”（含中间数、上、下、左、右共5个数）框日历，若5个数的和为100，求中间的数及这5个数。 解析： 十字形框的规律：“5个数的和是中间数的5倍”。设中间数为，则，解得。 根据日历规律： 上方数：； 下方数：； 左方数：； 右方数：。 因此，5个数为。 呈现十字形、H 形框，引导设中间数推导和的规律，组织学生讨论总结共同规律，鼓励设计其他形状数框，讲解十字形框和为 100 的拓展题。 推导十字形、H 形框数的和的规律，总结对称数框的共同规律，合作设计 2×2 正方形框等并分析规律，解决拓展题。 拓展数框规律类型，培养学生创新思维与合作探究能力，深化对 “对称数框和为中间数倍数” 的理解。
环节四：巩固内化，拓展延伸 用棋子摆“三角形”，第1个三角形用3枚，第2个用6枚，第3个用9枚…… （1）第个三角形用多少枚棋子？ （2）摆到第几个三角形时，用了99枚棋子？ 解析： （1）观察规律： 第1个：；第2个：；第3个：。 因此，第个三角形用枚棋子。 （2）令，解得，即摆到第33个三角形时，用了99枚棋子 呈现 “棋子摆三角形” 实例，提出求第n个三角形棋子数、用 99 枚棋子对应个数的问题，引导观察规律并讲解代数式与方程解法。 观察前 3 个三角形的棋子数找规律，推导第n个的代数式3n，列方程3n=99求解对应个数。 将规律探索从日历延伸到图形，巩固用代数式表示规律与方程求解的能力，体会数形结合思想。
课堂小结 1.通过本节课的学习你收获了什么？ ①日历数字规律：明确日历数字的基本排列规律； 掌握3×3方框（9 宫格）的规律；理解十字形、H 形等特殊方框的规律。 ②图形规律探索：能分析 “棋子摆小房子” 等图形的数量变化规律，通过观察相邻图形的差异，归纳出第n个图形的数量表达式（如等差数列、倍数关系）。 ③代数工具应用：学会用 “设未知数（如设中间数为x）” 的方法，通过代数式表示数的关系，验证规律的普遍性（如证明 9 宫格和为9x）；能利用代数方程解决规律相关的实际问题（如已知和求中间数、已知多个日期和求第一个日期）。 引导学生梳理本节课在日历数字规律、图形规律探索及代数工具应用方面的收获，提炼归纳推理法、代数建模思想等主要学习方法与数学思想。 回顾本节课学习内容，主动表述在日历数字规律、图形规律探索及代数工具应用上的收获，总结归纳推理、代数建模等数学思想与学习方法。 帮助学生系统梳理本节课所学知识，深化对归纳推理、代数建模等数学思想的理解，提升知识总结与反思能力，形成完整的知识体系。
板书设计 3.3.1 探索与表达规律 一、日历中的数字规律 基本排列规律： 横向：相邻数差1；纵向：相邻数差7；对角线：左上－右下差8，右上－左下差6 3×3方框（9宫格）规律：设中间数为，周围数： 9个数和=9；每行/每列和=3；对角线和=2 拓展：和→中间数（和÷9），最大数= 二、数框规律拓展 十字形框（5个数）：设中间数为，数：，和=5 H形框（7个数）：设中间数为，数：，和=7 共同规律：对称数框的和=中间数×框内数的个数（偏移量抵消） 其他数框示例： 2×2方框：对角线和相等，和=4（）（为左上角数） 竖条3个数：和=3（为中间数） 三、图形中的规律（棋子摆三角形） 实例：第1个3枚（3×1），第2个6枚（3×2），第3个9枚（3×3） 第个三角形：3枚棋子 应用：已知棋子数→求（列方程3=总数） 梳理本节课日历数字规律、不同形状数框规律、棋子摆三角形的图形规律及归纳推理、代数建模等核心数学思想与方法，将抽象知识直观化，突出教学重难点，引导课堂学习节奏，同时为学生课后复习提供清晰依据，助力达成教案中的教学目标。
作业设计 基础练习 1.日历中同一列相邻两个数的差是（ ） A. 1 B. 6 C. 7 D. 8 2.用3×3方框框住日历中9个数，若中间数为，则这9个数的和为（ ） A. B. C. D. 十字形框（含中间、上、下、左、右共5个数）中，5个数的和是中间数的（ ）倍 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 4.若3×3方框中9个数的和为135，则正中间的数是____。 能力提升 5.摆第个“小房子”用棋子数为，则第3个“小房子”用棋子数为（） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 6.同一列5个星期日，日期依次为，若和为90，则____。 7.某日历中，9个数的和为216，求最大的数。 拓展练习 8.为什么 “对称形状的数框（如十字形、H 形）” 的和是中间数的倍数？结合代数方法说明。
教学反思 在本节课教学中，整体遵循“日历规律探索—数框拓展延伸—图形规律应用”的逻辑展开，通过独立研学、合作交流等环节，有效引导学生经历“观察—猜想—验证—应用”的过程，基本达成了掌握日历与图形规律、培养代数建模思想的教学目标，尤其是借助具体日历实例与代数式推导，帮助学生将抽象规律具象化，多数学生能顺利运用规律解决基础与提升类问题。但教学中也存在不足，如对抽象思维较弱的学生，在H形框规律推导及“对称数框共同规律”总结环节，引导力度稍显不足，部分学生未能快速理解偏移量抵消的原理；此外，图形规律部分仅涉及棋子摆三角形，案例类型较单一，未能充分拓展学生对不同图形规律的认知。后续教学可增加分层引导，针对薄弱学生设计更多阶梯式问题，同时补充更多样的图形规律案例（如摆正方形、梯形等），进一步强化学生规律探索能力与知识迁移能力。