2025-2026学年八年级数学上学期期中押题卷
【苏科版新教材】
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：第1章 三角形—第3章 勾股定理。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）在实数，3.1415926，，，，0.2020020002…（相邻两个2中间一次多1个0）中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．
C．1，2，3 D．5，12，13
3．（3分）如图，若AB＝AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．∠AEB＝∠ADC D．AE＝AD
4．（3分）如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE＝9，则线段DE的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
5．（3分）下列各组数中，一定不是一个三角形三边长的是（ ）
A．a，a+1，a+2 B．a﹣1，a，a+1 C．a，a+1，2a D．a﹣1，a，2a
6．（3分）估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（3分）如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，连接AD，AC＝AD，△ABD与△ACD的面积之比为AB：AC，若∠BAC＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．80° B．75° C．70° D．60°
9．（3分）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC中AB边的“中高偏度值”为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB，AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B的度数为（ ）度．
A．30 B．45 C．60 D．30或45
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）的平方根是 ．
12．（3分）用四舍五入法，对1.5498取近似数（精确到十分位）是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则△DEF的周长是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线，m，n交于点P，连接CP．若∠1＝21°，则∠B的度数为 ．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝ ．
16．（3分）若一个直角三角形的直角边为a、b，斜边为c，则c2＝a2+b2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝8，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）求下列各式中的x：
（1）（x﹣3）2﹣1＝3；
（2）8（x+1）3＝1．
18．（8分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求的小数部分；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
19．（8分）如图，AE∥BC，AE＝AB，∠EFA＝∠ACB．求证：△ABC≌△EAF．
20．（8分）如图所示，有一块四边形花圃ABCD，AB＝3m，AD＝4m，BC＝13m，CD＝12m，∠A＝90°．若在这块花圃上种植花草，已知每种植1m2需50元，则共需多少元？
21．（8分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．
（1）求证：EF⊥AC；
（2）若∠ABD＝50°，∠DBC＝10°，EF＝3，求BD的长．
22．（10分）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式的最小值为 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值．
23．（10分）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”．
已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上．
（1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”；
（2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数；
（3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为 ．
24．（12分）定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．
（1）如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+OB+OC＝18，则这个等边三角形的高的长度为 ；
（2）如图2，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：点P是△ABC的费马点；
（3）应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求．2025-2026学年八年级数学上学期期中押题卷
【苏科版新教材】
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：第1章 三角形—第3章 勾股定理。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）在实数，3.1415926，，，，0.2020020002…（相邻两个2中间一次多1个0）中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】先将化简，再根据无理数的定义，即可求解．
【解答】解：∵，
∴无理数有，，0.2020020002…（相邻两个2中间一次多1个0），共3个．
故选：B．
2．（3分）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．
C．1，2，3 D．5，12，13
【分析】根据勾股数的定义逐项判断即可．
【解答】解：A．0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
B．不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
C．1+2＝3，不能够构成三角形，不符合题意；
D．52+122＝169＝132，故是勾股数，符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图，若AB＝AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．∠AEB＝∠ADC D．AE＝AD
【分析】利用AB＝AC，加上∠A为公共角，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，
∴当添加∠B＝∠C时，△ABE≌△ACD（ASA），故此选项正确，不符合题意；
当添加BE＝CD时，不能判断△ABE≌△ACD，故此选项错误，符合题意；
当添加∠AEB＝∠ADC时，△ABE≌△ACD（AAS），故此选项正确，不符合题意；
当添加AE＝AD时，△ABE≌△ACD（SAS），故此选项正确，不符合题意．
故选：B．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE＝9，则线段DE的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】从已知条件开始思考．根据角平分线的定义和平行线的性质可得结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，∠BCF＝∠CFE，
∵∠B和∠C的平分线相交于点F，
∴∠CBF＝∠DBF，∠BCF＝∠ECF，
∴∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，
∴BD＝DF，CE＝EF，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE＝9．
故选：A．
5．（3分）下列各组数中，一定不是一个三角形三边长的是（ ）
A．a，a+1，a+2 B．a﹣1，a，a+1 C．a，a+1，2a D．a﹣1，a，2a
【分析】由三角形三边关系定理，即可判断．
【解答】解：A、a+a+1＝2a+1，2a+1﹣（a+2）＝a﹣1，当a＞1时，能构成三角形，当a≤1时，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、a﹣1+a＝2a﹣1，2a﹣1﹣（a+1）＝a﹣2，当a＞2时，能构成三角形，当a≤2时，不能构成三角形，故B不符合题意；
C、a+a+1＞2a，能构成三角形，故C不符合题意；
D、a﹣1+a＜2a，不能构成三角形，故D符合题意．
故选：D．
6．（3分）估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】先估算出，进而可得．
【解答】解：∵4，5，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．（3分）如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP＝AC，即可得出答案．
【解答】解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴AC，
∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P，
∴AP＝AC，
∴点P表示的数是﹣1；
故选：A．
8．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，连接AD，AC＝AD，△ABD与△ACD的面积之比为AB：AC，若∠BAC＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．80° B．75° C．70° D．60°
【分析】过点D作DE⊥AB交AB于点E，作DF⊥AC交AC于点F，根据三角形面积公式、△ABD与△ACD的面积之比为AB：AC求得DE＝DF，从而根据角平分线的性质判断AD是∠BAC的平分线，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C的度数即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E，作DF⊥AC交AC于点F．
∵△ABD与△ACD的面积之比为AB：AC，
∴AB DE：AC DF＝AB：AC，
∴DE＝DF，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC＝60°，
∴∠DAC∠BAC60°＝30°，
∵AC＝AD，
∴∠C＝∠ADC（180°﹣∠DAC）（180°﹣30°）＝75°．
故选：B．
9．（3分）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC中AB边的“中高偏度值”为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据题意作图高、中线，再根据勾股定理求解．
【解答】解：过C作CH⊥AB于H，取AB的中点D，连接CD，过D作DE⊥CH于E，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．
∴AB5，
∴CD＝BDAB＝2.5，
∵2S△ABC＝AC BC＝AB CH，
∴CH＝2.4，
∴BH1.8，
∴DH＝BD﹣BH＝0.7，
∴，
故选：B．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB，AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B的度数为（ ）度．
A．30 B．45 C．60 D．30或45
【分析】先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD＝∠CDF＝45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE＝DB，②BD＝BE，③DE＝BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．
【解答】解：∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，
∴∠FDA∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，
分类如下：
①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，
解得：x＝22.5°．
此时∠B＝2x＝45°；
见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．
②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，
解得x＝37.5°，
此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°．
图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°．
③DE＝BE时，则∠B（180﹣2x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x（180﹣2x）°，
此方程无解．
∴DE＝BE不成立．
综上所述，∠B＝45°或30°．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）的平方根是 ±2 ．
【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：由于4，
所以的平方根是±2，
故答案为：±2．
12．（3分）用四舍五入法，对1.5498取近似数（精确到十分位）是 1.5 ．
【分析】把十分位上的数字4进行四舍五入即可．
【解答】解：1.5498≈1.5（精确到十分位）．
故答案为：1.5．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则△DEF的周长是 11 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DFAB，EFBC，然后代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC＝8，BC＝6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB的中点，
∴△BCE是直角三角形，EF是Rt△BCE的中线，
EF＝BF＝FCBC＝3，
又∵点D是AB的中点，
∴DF是Rt△AFB的中线，也是Rt△AEB的中线，
∴DE＝DFAC＝4，
∴三角形DEF的周长＝DE+DF+EF＝4+4+3＝11，
故答案为：11．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线，m，n交于点P，连接CP．若∠1＝21°，则∠B的度数为 67° ．
【分析】连接PA，PB，PC，设直线m交AC于点D，设∠PAC＝α，根据线段垂直平分线的性质得PA＝PB，PA＝PC，则PA＝PB＝PC，∠PAC＝∠PCA＝α，进而得PA是线段BC的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质得∠PAB＝∠PAC＝α，则∠BAC＝2α，然后根据∠PDA＝21°+α，∠PDA+∠BAC＝90°得α＝23°，则∠BAC＝46°，由此即可得出∠ABC的度数．
【解答】解：连接PA，PB，PC，设直线m交AC于点D，如图所示：
设∠PAC＝α，
∵直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线，m，n交于点P，
∴PA＝PB，PA＝PC，
∴PA＝PB＝PC，∠PAC＝∠PCA＝α，
∴PA是线段BC的垂直平分线，
∵AB＝AC，
∴∠PAB＝∠PAC＝α，
∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝2α，
∵∠1＝21°，
∴∠PDA＝∠1+∠PCA＝21°+α，
∵∠PDA+∠BAC＝90°，
∴21°+α+2α＝90°，
解得：α＝23°，
∴∠BAC＝2α＝46°，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）（180°﹣46°）＝67°，
∴∠ABC的度数为67°．
故答案为：67°．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝ 86 ．
【分析】根据正方形面积计算公式得到，，，再由勾股定理推出S1+S4＝S2+S3，据此可得答案．
【解答】解：如图，连接BD．
由题意，得，，，．
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2+AD2＝S1+S4．
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2＝BC2+CD2＝S2+S3．
∴S1+S4＝S2+S3．
∴S2＝S1+S4﹣S3＝135﹣49＝86，
故答案为：86．
16．（3分）若一个直角三角形的直角边为a、b，斜边为c，则c2＝a2+b2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝8，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是 1 ．
【分析】如图，取BC的中点T，连接AT，ET．首先证明∠CEB＝90°，求出AT，ET，根据AE≥AT﹣ET，可得结论．
【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∵∠ABD＝∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∵CT＝TBBC＝4，
∴ETBC＝4，AT，
∵AE≥AT﹣ET，
∴AE≥1，
∴AE的最小值为1，
故答案为：1．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）求下列各式中的x：
（1）（x﹣3）2﹣1＝3；
（2）8（x+1）3＝1．
【分析】（1）根据平方根的概念解方程即可；
（2）根据立方根的概念解方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣1＝3，
（x﹣3）2＝4，
x﹣3＝±2，
∴x＝5或x＝1；
（2）8（x+1）3＝1，
，
，
∴．
18．（8分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求的小数部分；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）利用无理数的估算计算；
（2）先求出a，b，c的值，再计算代数式的值．
【解答】解：（1）∵的整数部分c＝3，
∴的小数部分为：4；
（2）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，
∴33＝5a+2，a＝5，42＝3a+b﹣1，16＝3×5+b﹣1，b＝2，c＝3，
∴3a﹣b+c＝3×5﹣2+3＝16，
∴3a﹣b+c的平方根为±4．
19．（8分）如图，AE∥BC，AE＝AB，∠EFA＝∠ACB．求证：△ABC≌△EAF．
【分析】先根据平行线的性质得到∠EAF＝∠B，然后根据“AAS”证明△ABC≌△EAF．
【解答】证明：∵AE∥BC，
∴∠EAF＝∠B，
在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（AAS）．
20．（8分）如图所示，有一块四边形花圃ABCD，AB＝3m，AD＝4m，BC＝13m，CD＝12m，∠A＝90°．若在这块花圃上种植花草，已知每种植1m2需50元，则共需多少元？
【分析】连接BD，则在直角△ABD中，已知AD，AB根据勾股定理可以计算BD，又因为BD2+CD2＝BC2，所以△BCD为直角三角形，四边形ABCD的面积为△ABD和△BCD面积之和．
【解答】解：连接BD，
在Rt△BAD中，AB＝3m，AD＝4m，
m，
∵在△BDC中，BD2+DC2＝BC2，
∴∠BDC＝90°
∴△BDC的面积为BD×CD＝30平方米
△ABD的面积为AB×AD＝6平方米
∴四边形面积＝36平方米
共需花费36×50元＝1800元．
答：共需花费1800元．
21．（8分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．
（1）求证：EF⊥AC；
（2）若∠ABD＝50°，∠DBC＝10°，EF＝3，求BD的长．
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质可以证明结论成立；
（2）利用直角三角形的斜边上的中线的性质和等腰三角形的判定与性质得到∠ABE＝∠BAE＝50°，∠EBC＝∠BCE＝10°，利用三角形的内角和定理求得EAC+∠ECA＝60°，再利用等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠ECA＝30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质和直角三角形的斜边上的中线的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接AE、CE，如图所示，
∵∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，
∴AEDB，CEBD，
∴AE＝CE，
∵F是AC中点，
∴EF⊥AC；
（2）解：∵∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，
∴AE＝BEBD，CE＝BEBD，
∴∠ABE＝∠BAE＝50°，∠EBC＝∠BCE＝10°，
∴∠EAC+∠ECA＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE﹣∠EBC﹣∠ECB＝60°．
由（1）知：EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∵EF⊥AC，
∴AE＝2EF＝6，
∴BD＝2AE＝12．
22．（10分）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式的最小值为 13 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值．
【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可；
（3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可．
【解答】解：（1）∵AH＝3+2＝5，HD＝12，
∴，
∴的最小值是13，
故答案为：13；
（2）∵AC＝2，DF＝1，CF＝5，AH＝2+1＝3，HD＝5，
∴，
∴的最小值是；
（3）构造△ABC，CD⊥BC于D，AC＝6，BC＝8，如图，
设CD＝x，则，
∴，
∵62+82＝102，
∴∠ACB＝90°，
∴，
∴x＝4.8．
23．（10分）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”．
已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上．
（1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”；
（2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数；
（3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为 45°或 ．
【分析】（1）由等边对等角得到∠ABC＝∠C，∠BDC＝∠C，则∠ABC＝∠BDC，再由三角形的外角性质即可求证；
（2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到∠A＝180°﹣2∠C，再由外角性质得到∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C，然后再分类讨论即可；
（3）分两种情况讨论，当∠DBC＝∠BAC时，由三线合一得到AE⊥BC，BE＝CE，设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x，可得AE垂直平分BC，则∠DBC＝∠FCB＝2x，然后根据外角性质表示出∠DFC＝∠DCF＝4x再由三角形内角和定理得到∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°；当∠ABD＝∠BAC时，设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x，则∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x，由△ABF≌△ACF（SAS），以及等腰三角形性质得到∠DFC＝∠DCF＝2x，在△DFC中由三角形内角和定理建立方程求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∴∠ABC＝∠BDC，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABD，
∴∠A＝∠DBC，
∴BD是△ABC的“等角分割线”；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣2∠C，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠BDA＝90°，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠BDA＝∠DBC+∠C，
∴∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C，
∵BD是△ABC的“等角分割线”，
∴①∠A＝∠ABD，180°﹣2∠C＝2∠C﹣90°，
解得：∠C＝67.5°；
②∠A＝∠DBC，180°﹣2∠C＝90°﹣∠C，
解得：∠C＝90°（舍去），
综上：∠C＝67.5°；
（3）解：记∠BAC的平分线与BC交于点E，
①当∠DBC＝∠BAC时，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，∠BAE＝∠CAE，BE＝CE（等腰三角形三线合一），
设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x
∵AE⊥BC，BE＝CE，
∴AE垂直平分BC，
∴FB＝FC，
∴∠DBC＝∠FCB＝2x，
∴∠DFC＝∠FBC+∠FCB＝2x+2x＝4x，
∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF＝4x，
∴∠ACE＝∠DCF+∠FCB＝4x+2x＝6x，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，
∴x+6x+90°＝180°，
解得：，
∴；
②当∠ABD＝∠BAC时，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE（角平分线的定义），
设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x，
∴∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x，
在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝2x，
∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF＝2x，
∵∠FDC+∠DFC+∠DCF＝180°，
∴4x+2x+2x＝180°，
解得：x＝22.5°，
∴∠BAC＝2×22.5°＝45°，
综上：∠BAC的度数为45°或，
故答案为：45°或．
24．（12分）定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．
（1）如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+OB+OC＝18，则这个等边三角形的高的长度为 9 ；
（2）如图2，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：点P是△ABC的费马点；
（3）应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求．
【分析】（1）根据AAS证明△ABO≌△BOC得OA＝OB＝OC，从而点O是三边垂直平分线的交点，延长AO交BC于点D，根据30度角的性质求出OD＝3即可求解；
（2）作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，设AB与CD交点为G．根据SAS证明△CAD≌△EAB得∠ADC＝∠ABE，CD＝BE，S△CAD＝S△EAB，然后证明AP平分∠DPE，可得∠APD＝∠APE＝60°，进而可证结论成立；
（3）分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于一点，该点即为所求的点，根据SAS证明△KBD≌△QBA得∠DKB＝∠AQB，DK＝AQ，从而可判断当D、K、Q、C四点共线时，QA+QB+QC＝DC为最小值，进而可证结论成立．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠ABO+∠CBO＝60°．
∵点O是等边△ABC的费马点，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，
∴∠BAO+∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝∠CBO，
∴△ABO≌△BOC（AAS），
∴OA＝OB＝OC，
∴点O是三边垂直平分线的交点，
∴．
∵OA+OB+OC＝18，
∴OA＝OB＝OC＝6．
∴延长AO交BC于点D，如图1，
∴，
∴AD＝6+3＝9．
故答案为：9；
（2）证明：如图2，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，设AB与CD交点为G．
∵△ABD与△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC＝60°，
∴∠CAD＝∠EAB，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴∠ADC＝∠ABE，CD＝BE，S△CAD＝S△EAB，
又∵∠ADC+∠DAG＝∠ABE+∠GPB，
∴∠GPB＝∠DAG＝60°，
∴∠BPC＝∠DPE＝120°，∠EPC＝60°，
∵，，
∴，
∴AM＝AN，
∴AP平分∠DPE，
∴∠APD＝∠APE＝60°，
∴∠APB＝∠APC＝120°＝∠BPC，
∴点P是△ABC的费马点；
（3）解：能，如第（2）小题那样，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于一点，由（2）小题知该点是△ABC的费马点，即为所要建的污水处理站Q的位置．
证明：如图3，设点Q是△ABC内一点，连接QA、QB、QC，并在QB同侧作等边△ABD与等边△QBK，连接DK．
∵△ABD与△QBK都是等边三角形，
∴BA＝BD，BQ＝BK＝QK，∠ABD＝∠QBK＝60°，
∴∠KBD＝∠QBA，
∴△KBD≌△QBA（SAS），
∴∠DKB＝∠AQB，DK＝AQ，
∴QA+QB+QC＝DK+KQ+QC≥DC．
当D、K、Q、C四点共线时，QA+QB+QC＝DC为最小值，
又∵∠BKQ＝∠BQK＝60°，
∴这时∠DKB＝∠AQB＝120°，∠CQB＝120°，
∴∠AQC＝120°，
∴点Q是△ABC的费马点，
即当点Q是△ABC的费马点时，QA+QB+QC的值最小．
