第1讲 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的概念及解法
一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.
一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax +bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax ，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数
一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法
用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；
公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a、b、c的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论
（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac
当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反过来也成立
（2）一元二次方程的求根公式是
移项得：
二次项系数化为1，得：
：
即
当时，
即
∴
4. 因式分解法的一般步骤是：
①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解
【典例】一元二次方程定义及一般形式
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C.
【解析】解：A：不是整式方程，故本选项错误；
B：当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；
C：由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；
D：方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C．
2.把一元二次方程化成一般形其中、、分别为（ ）
A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、
【答案】B.
【解析】原方程可整理为：， ，，．
【方法总结】
（1）一元二次方程必须满足的条件：
①含有一个未知数；②未知数最高次数是2；③二次项系数不为0；是整式方程
（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；
（3）项的系数包括它前面的符号。如：x +5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；
3x +4x-1=0的常数项是-1而不是1；
【随堂练习】
1．若2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c=0，
解得c=1；
故选：A．
2．若方程（n﹣1）x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．n≠1 B．n≥0 C．n≥0且n≠1 D．n为任意实数
【解答】解：∵方程（n﹣1）x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程，
∴n≥0且n﹣1≠0，即n≥0且n≠1．
故选：C．
【典例2】直接开平方法
1.若为方程式的一根，为方程式的一根，且、都是正数，则之值为何 ( )
A. 5 B. 6 C. D.
【答案】B.
【解析】由得，∴ ，，
又是正数且是此方程的根，
∴ ．同理，
∴ ．
2.解方程.
【解析】根据平方根的定义，得，即，．
【方法总结】
形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法；如果a＜0，则方程无解
【随堂练习】
1．方程（x﹣5）2=5的解为_______．
【解答】解：两边开平方可得x﹣5=±，
∴x=5±，
则x1=5+、x2=5﹣，
故答案为：．
2．解方程：（x﹣1）2=9．
【解答】解：两边开方得：x﹣1=±3，
解得：x1=4，x2=﹣2．
【典例3】配方法
1.已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，据题意得p=3，9﹣q=7，
∴p=3，q=2，
∴是，
∴，
∴，
∴，即
2.用配方法解方程：
【解析】
【方法总结】
用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；
④化原方程为的形式；
⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解
【随堂练习】
1．若方程x2﹣8x+m=0可以通过配方写成（x﹣n）2=6的形式，那么x2+8x+m=5可以配成（ ）
A．（x﹣n+5）2=1 B．（x+n）2=1 C．（x﹣n+5）2=11 D．（x+n）2=11
【解答】解：∵x2﹣8x+m=0，
∴x2﹣8x=﹣m，
∴x2﹣8x+16=﹣m+16，
∴（x﹣4）2=﹣m+16，
依题意有n=4，﹣m+16=6，
∴n=4，m=10，
∴x2+8x+m=5是x2+8x+5=0，
∴x2+8x+16=﹣5+16，
∴（x+4）2=11，
即（x+n）2=11．
故选：D．
2．用配方法解方程x2﹣6x﹣1=0，经过配方后得到的方程式_____．
【解答】解：x2﹣6x﹣1=0，
（x﹣3）2﹣9﹣1=0
（x﹣3）2=10，
故答案为：（x﹣3）2=10．
3．将一元二次方程x2﹣2x﹣1=0用配方法化成的（x+a）2=b形式为______．
【解答】解：方程x2﹣2x﹣1=0，变形得：x2﹣2x=1，
配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，
故答案为：（x﹣1）2=2
【典例4】公式法
1.一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【答案】B.
【解析】解：在方程4x2﹣2x+=0中，△=（﹣2）2﹣4×4×（）=0，
∴一元二次方程4x2﹣2x+=0有两个相等的实数根．
故选B
2.用公式法解方程：.
【解析】
【方法总结】
解题技巧：（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac
当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反过来也成立
（2）一元二次方程的求根公式是
【随堂练习】
1．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
【解答】解：∵4y2=12y+3
∴4y2﹣12y﹣3=0
∴a=4，b=﹣12，c=﹣3
∴b2﹣4ac=192
∴y==．故选C．
2．方程x2﹣x﹣1=0的根是（ ）
A．x1=，x2= B．x1=，x2=
C．x1=，x2= D．没有实数根
【解答】解：这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，
b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5，
x=，
x1=，x2=，
故选：B．
3．用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6=0．
【解答】解：方程2x2﹣7x+6=0，
这里a=2，b=﹣7，c=6，
∵△=49﹣48=1，
∴x=，
则x1=2，x2=1.5．
【典例5】因式分解法
1.解方程（x-1）（x+2）=2（x+2）
【解析】原方程可以整理为
∴或
∴
2.解方程：.
【解析】
解得．
【方法总结】
因式分解法的解题技巧是：
①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解
【随堂练习】
1．若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线长度为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【解答】解：设矩形的长和宽分别为a、b，
则a+b=7，ab=12，
所以矩形的对角线长====5，
故选：A．
2．方程x（x﹣2）+x﹣2=0的两个根为（ ）
A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2
【解答】解：因式分解，得
（x﹣2）（x+1）=0，
于是，得
x﹣2=0或x+1=0，
解得x1=﹣1，x2=2，
故选：D．
3．一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（ ）
A．x1=1，x2=6 B．x1=2，x2=3 C．x1=1，x2=﹣6 D．x1=﹣1，x2=6
【解答】解：x2﹣5x﹣6=0
（x﹣6）（x+1）=0
x1=﹣1，x2=6
故选：D．
知识点2：根与系数的关系
根与系数关系又称为韦达定理：
(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝
(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q
【典例】
1.已知关于x的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，
(1) 求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【解析】解：(1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k＋1)]2－4k(k-1)>0，且k≠0，
解得k>-，且k≠0 .即k的取值范围是k>-，且k≠0 .
(2) 假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1 , x2的倒数和为0.
则x1 ，x2不为0，且，即，且，解得k=-1 .
而k=-1 与方程有两个不相等实根的条件k>-，且k≠0矛盾，
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在 .
【方法总结】
解题技巧：
(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝
(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q
(3)当方程的两个根分别为x1、x2，满足条件的方程为（x-x1）（x-x2）=0
(4)常常配合平方差公式和完全平方公式完成解题
【随堂练习】
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
【解答】解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴+=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1或m=3
2．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若+=﹣1，求k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣．
（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，
∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，
∴+==﹣=﹣1，
解得：k1=3，k2=﹣1，
经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根．
又∵k＞﹣，
∴k=3．
3．已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．
【解答】解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，
解得：m＜1，
即实数m的取值范围是m＜1；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，
即，
解得：x1=2，x2=0，
由根与系数的关系得：m=2×0=0．
知识点3：一元二次方程的应用
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.审题一定要看清楚数值是总量还是经过2次变化后的量。
一件商品的利润=售价-进价。
总利润=一件商品的利润×卖出去的数量。
【典例1】增长率或降低率
1.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2023年市政府共投资亿元人民币建设了廉租房万平方米，预计到2025年底三年共累计投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2025年底共建设了多少万平方米廉租房．
【解析】（1）设每年市政府投资的增长率为．
根据题意，得：，
整理，得：，
解之，得：，
∴，（舍去），
∴，
答：每年市政府投资的增长率为．
（2）设到2025年底共建廉租房面积，
则可得：，
∴（万平方米）．
【方法总结】
解这类题的方法是：
(1)增长率问题：平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)
(2)降低率问题：平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量)。
【随堂练习】
1．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%．
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
2．某地2023年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2025年在2023年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2023年到2025年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2025年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2025年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，
根据题意得：1280（1+x）2=1280+1600，
解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（舍去）．
答：从2023年到2025年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．
（2）设2025年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，
根据题意得：8×1000×400+5×400（a﹣1000）≥5000000，
解得：a≥1900．
答：2025年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
【典例2】利润问题
1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？
【解析】设每个商品的定价是x元，
由题意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2000，
整理，得x2-110x+3000=0，
解得x1=50，x2=60．
当x=50时，进货180-10（50-52）=200个＞180个，不符合题意，舍去；
当x=60时，进货180-10（60-52）=100个＜180个，符合题意．
答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．
【方法总结】
列一元二次方程解决销售利润方案问题时，要理清进价、原来的售价、上升价格或下调价格，以及销售数量与售价之间满足的函数关系.如果列出的方程是一元二次方程，在解方程时需要根据应用题的实际意义来决定方程根的取舍问题.
销售问题公式：
价格上升公式为 （原来的售价+上升的钱数—进价）× 销售数量 = 利润
价格下调公式为 （原来的售价—下降的钱数—进价）× 销售数量 = 利润
【随堂练习】
1．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
【解答】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，
整理，得：x2﹣130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x=50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
2．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为____件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
故答案为26；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）=1200，
整理，得x2﹣30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
解得：x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【典例3】面积问题
1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长米，宽米的矩形场地上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为平方米．求人行道的宽。
【解析】解：设人行道路的宽为米，根据题意得：
；
解得：或（舍去）
答：人行道宽2米。
2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为．则长度为多少
【解析】解：设m，则m．
根据题意可得，，
解得：，，
当，，
故（不合题意舍去），
答：长度为15m。
【方法总结】
两种不同的算法求图形的面积：
利用特殊图形（三角形，长方形，正方形等）的面积公式求；
三角形面积=底乘以高的一半；正方形面积=边长的平方；矩形的面积=长乘以宽；
②利用面积的加减列式求解
不规则图形面积要转化为规则的图形面积来求。
【随堂练习】
1．、如图，某餐厅的餐桌桌面是一个面积为0.84m2的矩形，桌面装有两个表面为相同正方形的电磁炉，两个电磁炉之间及与四周的距离均为0.2m，求电磁炉表面的边长．
【解答】解：设电磁炉表面的边长为xm，则矩形桌面的长为（2x+0.6）m，宽为（x+0.4）m，
根据题意得：（2x+0.6）（x+0.4）=0.84，
解得：x1=0.3，x2=﹣1（舍去）．
答：电磁炉表面的边长为0.3m．
2．公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余空地面积为56m2，求原正方形空地的边长．
【解答】解：设原正方形空地的边长为xm，
根据题意得：（x﹣3）（x﹣2）=56，
整理，得：x2﹣5x﹣50=0，
解得：x1=﹣5（不合题意，舍去），x2=10．
答：原正方形空地的边长为10m．
【典例4】动点问题
1.已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4平方厘米？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7平方厘米？说明理由．
【解析】解：设t秒后，则AP=t，BP=5-t； BQ=2t．
（1）因为S△PBQ=BP×BQ÷2，
所以2t（5-t）=4×2
解得：t=1或4．（t=4秒不合题意，舍去）
故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）PQ=5，则PQ2=25=BP2+BQ2，
即25=（5-t）2+（2t）2，t=0（舍去）或t=2．
故2秒后，PQ的长度为5cm．
（3）令S△PQB=7，即：BP×BQ÷2=7,
（5-t）×2t=7×2
整理得：t2-5t+7=0．
由于b2-4ac=25-28=-3＜0，则方程没有实数根．
所以，在（1）中，△PQB的面积不等于7cm2．
2.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90度，BC=16，AD=21，DC=12，动点P从点D出发，沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．
①设△BPQ的面积为S，求S和t之间的函数关系式；
②当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三等形？（分类讨论）
【解析】解： ①作PM⊥BC，垂足为M．
则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12
∵QB=16﹣t，
∴S=．
②可知CM=PD=2t，CQ=t，
若以B、P、Q三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
第一种：PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=PM2+QM2=122+t2，解t=．
第二种：BP=BQ，在Rt△PMB中，BP2=（16﹣2t）2+122，3t2﹣32t+144=0无实根，
∴PB≠BQ．
第三种：若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16﹣2t）2+122，解得t1=，t2=16（舍去）
综上可知：t=或t=，B、P、Q三点为顶点三角形是等腰三角形．
【方法总结】
解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解。
首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探索运动中“动”的一般规律。
其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察各种可能的情况进行分类讨论，较为精确的把每种情况一一呈现出来。要学会运动问题静态化，在整个过程中要深刻理解分类讨论、数学结合等数学思想。
【随堂练习】
1．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
综合运用：一元二次方程
1.解一元二次方程
【解析】，
，
．.
2.用配方法解方程：.
【解析】
,．
3.用公式法解方程.
【解析】.
,
此方程无实数根．
4.解方程（因式分解法）
【解析】
即
解得：
5.果农李明种植的草莓计划以每千克元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售．
（1）求李明平均每次下调的百分率；
（2）小刘准备到李明处购买吨草莓，因为数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金元．
试问小刘选择哪种方案更优惠，优惠了多少？请说明理由．
【解析】（1）设平均每次下调的百分率为．
由题意，得．
解这个方程，得，．
因为降价的百分率不可能大于，所以不符合题意，
符合题目要求的是．
答：平均每次下调的百分率是．
（2）小刘选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：（元），
方案二所需费用为：（元），
∵，元，
∴小刘选择方案一购买更优惠，优惠了元．
6.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
【解析】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑，
∵经过两轮感染后就会有台电脑被感染，
∴可得：，
解得：，（舍去），
∴．
7.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销售可增加千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利元，请回答：
（1）为尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【解析】（1）解：设每千克核桃应降价元．
根据题意，得．
化简，得
解得，．
答：为尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价元．
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价元或元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价元．
此时，售价为：（元），．
答：该店应按原售价的九折出售．
8.如图，在宽为，长为矩形地面上修筑宽度一样的道路（图中阴影部分），余下的种植草坪，要使其草坪面积为，则宽为多少
【解析】解：设道路得宽为x m，
根据题意得：，
整理得：，
解得：或（不合题意，舍去），
道路的宽为．
9.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动. （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
【解析】解：因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝10（cm）.
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.
则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
则根据题意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.第1讲 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的概念及解法
一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.
一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax +bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax ，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数
一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法
用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；
公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a、b、c的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论
（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac
当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反过来也成立
（2）一元二次方程的求根公式是
移项得：
二次项系数化为1，得：
：
即
当时，
即
∴
4. 因式分解法的一般步骤是：
①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解
【典例】一元二次方程定义及一般形式
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2.把一元二次方程化成一般形其中、、分别为（ ）
A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、
【方法总结】
（1）一元二次方程必须满足的条件：
①含有一个未知数；②未知数最高次数是2；③二次项系数不为0；是整式方程
（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；
（3）项的系数包括它前面的符号。如：x +5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；
3x +4x-1=0的常数项是-1而不是1；
【随堂练习】
1．若2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．1 B． C． D．
2．若方程（n﹣1）x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．n≠1 B．n≥0 C．n≥0且n≠1 D．n为任意实数
【典例2】直接开平方法
1.若为方程式的一根，为方程式的一根，且、都是正数，则之值为何 ( )
A. 5 B. 6 C. D.
2.解方程.
【随堂练习】
1．方程（x﹣5）2=5的解为_______．
2．（2018春 青县期末）解方程：（x﹣1）2=9．
【典例3】配方法
1.已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的（ ）
A. B. C. D.
2.用配方法解方程：
【方法总结】
用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；
④化原方程为的形式；
⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解
【随堂练习】
1．若方程x2﹣8x+m=0可以通过配方写成（x﹣n）2=6的形式，那么x2+8x+m=5可以配成（ ）
A．（x﹣n+5）2=1 B．（x+n）2=1 C．（x﹣n+5）2=11 D．（x+n）2=11
2．用配方法解方程x2﹣6x﹣1=0，经过配方后得到的方程式_____．
3．将一元二次方程x2﹣2x﹣1=0用配方法化成的（x+a）2=b形式为______．
【典例4】公式法
1.一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
2.用公式法解方程：.
【方法总结】
解题技巧：（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac
当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反过来也成立
（2）一元二次方程的求根公式是
【随堂练习】
1．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
2．方程x2﹣x﹣1=0的根是（ ）
A．x1=，x2= B．x1=，x2=
C．x1=，x2= D．没有实数根
3．用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6=0．
【典例5】因式分解法
1.解方程（x-1）（x+2）=2（x+2）
2.解方程：.
【方法总结】
因式分解法的解题技巧是：
①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解
【随堂练习】
1．若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线长度为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
2．方程x（x﹣2）+x﹣2=0的两个根为（ ）
A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2
3．一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（ ）
A．x1=1，x2=6 B．x1=2，x2=3 C．x1=1，x2=﹣6 D．x1=﹣1，x2=6
知识点2：根与系数的关系
根与系数关系又称为韦达定理：
(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝
(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q
【典例】
1.已知关于x的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，
(1) 求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【方法总结】
解题技巧：
(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝
(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q
(3)当方程的两个根分别为x1、x2，满足条件的方程为（x-x1）（x-x2）=0
(4)常常配合平方差公式和完全平方公式完成解题
【随堂练习】
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
2．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若+=﹣1，求k的值．
3．（2018 黄石）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．
知识点3：一元二次方程的应用
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.审题一定要看清楚数值是总量还是经过2次变化后的量。
一件商品的利润=售价-进价。
总利润=一件商品的利润×卖出去的数量。
【典例1】增长率或降低率
1.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2023年市政府共投资亿元人民币建设了廉租房万平方米，预计到2025年底三年共累计投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2025年底共建设了多少万平方米廉租房．
【方法总结】
解这类题的方法是：
(1)增长率问题：平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)
(2)降低率问题：平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量)。
【随堂练习】
1．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
2．某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2025年在2023年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2023年到2025年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2025年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2025年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
【典例2】利润问题
1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？
【方法总结】
列一元二次方程解决销售利润方案问题时，要理清进价、原来的售价、上升价格或下调价格，以及销售数量与售价之间满足的函数关系.如果列出的方程是一元二次方程，在解方程时需要根据应用题的实际意义来决定方程根的取舍问题.
销售问题公式：
价格上升公式为 （原来的售价+上升的钱数—进价）× 销售数量 = 利润
价格下调公式为 （原来的售价—下降的钱数—进价）× 销售数量 = 利润
【随堂练习】
1．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
2．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为____件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【典例3】面积问题
1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长米，宽米的矩形场地上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为平方米．求人行道的宽。
2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为．则长度为多少
【方法总结】
两种不同的算法求图形的面积：
利用特殊图形（三角形，长方形，正方形等）的面积公式求；
三角形面积=底乘以高的一半；正方形面积=边长的平方；矩形的面积=长乘以宽；
②利用面积的加减列式求解
不规则图形面积要转化为规则的图形面积来求。
【随堂练习】
1．如图，某餐厅的餐桌桌面是一个面积为0.84m2的矩形，桌面装有两个表面为相同正方形的电磁炉，两个电磁炉之间及与四周的距离均为0.2m，求电磁炉表面的边长．
2．（2018 槐荫区一模）公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余空地面积为56m2，求原正方形空地的边长．
【典例4】动点问题
1.已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4平方厘米？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7平方厘米？说明理由．
2.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90度，BC=16，AD=21，DC=12，动点P从点D出发，沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．
①设△BPQ的面积为S，求S和t之间的函数关系式；
②当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三等形？（分类讨论）
【方法总结】
解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解。
首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探索运动中“动”的一般规律。
其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察各种可能的情况进行分类讨论，较为精确的把每种情况一一呈现出来。要学会运动问题静态化，在整个过程中要深刻理解分类讨论、数学结合等数学思想。
【随堂练习】
1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
综合运用：一元二次方程
1.解一元二次方程
2.用配方法解方程：.
3.用公式法解方程.
4.解方程（因式分解法）
5.果农李明种植的草莓计划以每千克元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售．
（1）求李明平均每次下调的百分率；
（2）小刘准备到李明处购买吨草莓，因为数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金元．
试问小刘选择哪种方案更优惠，优惠了多少？请说明理由．
6.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
7.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销售可增加千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利元，请回答：
（1）为尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
8.如图，在宽为，长为矩形地面上修筑宽度一样的道路（图中阴影部分），余下的种植草坪，要使其草坪面积为，则宽为多少
9.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动. （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
