江苏省常州市2024-2025学年八年级数学上学期期末试卷(含答案)

常州市2024~2025学年八年级数学上学期期末试卷
满分: 100分 考试时间：120分钟 姓名： 得分：
一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)
1.如图，BD，BE，BF分别是△ABC的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是 ( )
A. BD B. BE C. BF D. BA
2.在平面直角坐标系中，点(-3，a)位于第三象限，则a的值可能是 ( )
A.-2 B.0 C.1 D.3
3.下列各数中，无理数是 ( )
A. B. C.0 D.
4.如图，已知两个三角形全等，则∠α的大小为 ( )
A.52° B.58° C.60° D.70°
5.△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判定△ABC 是直角三角形的是 ( )
C.∠A-∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5
6.如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标.若目标A，B的位置分别记为(5，345°)，(4，60°)，则目标D 的位置记为 ( )
A.(3,210°) B.(3,225°)
7.如图，根据尺规作图痕迹，点M 在数轴上表示的数是 ( )
B. D.5
8.定义：P是平面内某一点，Q是图形 W上任意一点，将P，Q两点间距离的最小值称为点 P 与图形W的“点图距”.如图，在等边三角形ABC中，点A的坐标为(3，0)，点B，C在y轴上.记动点P(t，0)与等边三角形ABC的“点图距”为y，则y随t变化的图象是 ( )
二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)
9.36的算术平方根是 .
10. 的整数部分是 .
11. “2024 年潮州半程马拉松”赛道全长 21.097 5k m.将 21.097 5 精确到十分位的近似值是 .
12.若一次函数y= kx-3的图象经过点(1,3),则k= .
13.如图,AD是△ABC的角平分线.若∠B=90°,BD=2,AC=7,则△ADC 的面积是 .
14.当x分别取-1,0,1,2时,一次函数y= kx+b对应的函数值如下表,则关于x的不等式 kx+b>1的解集是 .
x -1 0 1 2
y -1 1 3 5
15.翻折常常能为问题解决提供思路和方法.如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC，垂足为D，则BD,CD,AC之间的等量关系是 .
16.“勾股容方”问题起源于《九章算术》，该问题可以描述为：如图①，已知“勾股形”的勾为a，股为b，求“容方”的边长(“勾股形”即直角三角形，“容方”指与此直角三角形有公共直角的内接正方形，即图①中阴影部分).魏晋时期数学家刘徽利用“出入相补”原理，将图②中的直角三角形及正方形进行重新组合，得到图③中的长方形，从而算出“容方”的边长为 (用含a，b的代数式表示).
三、解答题(本大题共9小题，共68分)
17.(5分)计算:
18.(5分)已知 求x的值.
19.(6分)已知:如图, ,垂足分别为S,N,Q,且.MS=PS..求证：
20.(8分)如图，B是射线AD上一点(不与端点A 重合)，OP 垂直平分线段AB，C是射线OP上一点(不与端点O重合),连接AC,BC, 的平分线与AC的延长线相交于点 E.
(1)若 求 的大小；
(2)若EC=EB,求 的大小.
21.(8分)《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何 译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索(绳索头与地面接触)退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少
22.(6分)如图, 的顶点A，B，C均在小正方形的顶点上，小正方形的边长为1.
(1)按要求画图：
①找一格点 P，使点 P到 某两个顶点的距离相等(画出符合条件的一个格点即可)；
②仅用无刻度直尺，找一点 Q，使点 Q 到 三个顶点的距离都相等.
(2)在(1)的条件下, 的面积是 .
23.(10分)甲、乙两家汽车出租公司收取的租车费y甲(元)、y (元)都是行车里程x(千米)的函数，它们的图象如图所示.
(1)根据图象回答：当 时，甲、乙两家公司的租车费相等.
(2)求yz与x之间的函数表达式.
(3)若丙汽车出租公司收取的租车费为每千米0.25元，另收取一次性管理费1200元，则在这三家公司中，你认为在哪家公司租车较好
24.(10分)如图，杆秤是我国传统的称重工具，它利用秤砣到秤纽的水平距离，得出秤钩上所挂物体的质量.
x 2 4 6 8 10
1 1.5 2 2.5 3
(1)当提小秤纽称重时，秤钩上所挂物体的质量： 是秤砣到小秤纽的水平距离x(cm)的一次函数，所记录的若干次称重数据如表所示：
①y 与x之间的函数表达式为 ；
②若秤砣到小秤纽的最大水平距离为30cm，求提小秤纽可称的最大物重.
(2)在(1)的条件下，若物重大于提小秤纽可称的最大物重，则提大秤纽称重，此时秤钩上所挂物体的质量 是秤砣到大秤纽的水平距离m(cm)的一次函数.已知大、小秤纽的水平距离为6cm，提大秤纽称9kg，14kg物重的秤砣位置分别与提小秤纽称2kg，3kg物重的秤砣位置重合，求提大秤纽可称的最大物重.
25.(10分)如图，已知点A的坐标为(24，0)，直线l经过原点O，与x轴正半轴的夹角为 B为直线l上一动点，C为平面内一点.若 为等边三角形(点A，B，C逆时针排列)，则称C 为点 B的“伴随点”.
(1)若 ，则点 B 的“伴随点”C的坐标为 ；
(2)若AB=13,，求点 B的“伴随点”C的坐标；
(3)连接OC,延长AC交y轴于点 D,若 为直角三角形，求线段AB的长.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B A D B B B
1. A 2. A 3. B 4. A 5. D 6. B
7. B【解析】如图，根据题意，可知AB=AC=1-(-3)=4,AO= ∴OM=OC= ，即点M在数轴上表示的数是 .故选 B.
8. B 【解析】∵点P(t,0),点B,C在y轴上,∴当t<0时,点P(t,0)与等边三角形ABC的“点图距”为 PO 的长度,∴y=-t.当t>0时,∵△ABC是等边三角形,OA⊥BC,点A 的坐标为(3,0),∴∠OAB=∠OAC=30°,OA=3,∴AB=2OB,AB -OB =
如图所示,过点P作PD⊥AB于点D,当PO=PD时,∵∠BAO=30°,∴AP=2PD=2PO.∵OA=PA+PO=3,∴OP=PD=1,AP=2,∴此时动点 P(t,0)与等边三角形ABC 的“点图距” y=1,∴当0≤PO≤1时,OP≤PD,∴动点 P(t,0)与等边三角形ABC 的“点图距”为OP 的长度,∴y=t(0≤t≤1);
当1PD,∴动点 P(t,0)与等边△ABC的“点图距”为PD的长度，∴
当t>3时,动点P(t,0)与等边三角形ABC的“点图距”为AP的长度,∴y=AP=OP-OA=t-3(t>3).
综上所述收选B.
9.6 10.3 11.21.1 12.6
13.7 【解析】如图,过点 D 作 DH⊥AC 于 H.∵ ∠B=90°.∴DB⊥AB.∵ AD是△ABC的角平分线,∴ DH=BD=2.∵AC=7,∴△ADC的面积
14. x>0 【解析】由表知y=kx+b中，y随x的增大而增大，当y=1时,x=0,∴关于x的不等式 kx+b>1的解集是x>0.
15. CD+AC=BD 【解析】如图,在BD上截取DE=CD,连接AE.∵AD⊥BC,.. ∠ADE=∠ADC=90°.∴ △ADE ≌△ADC(SAS), ∴ AE = AC,
∠AED=∠C.又∵∠C=2∠B,∴∠AEC=2∠B.∵ ∠AEC=∠B+∠BAE,∴∠B=∠BAE,∴BE=AE,∴BE=AC.∵ BD=BE+DE,∴CD+AC=BD.
【解析】将题图②和题图③对比得到如图所示的长度关系.∵题图②与题图③的面积相等，均为 ab，∴“容方”的边长为
18.由题知
19.∵MS⊥PS,MN⊥SN,PQ⊥SN,∴∠MSP=∠N=∠SQP=90°,∴∠M+∠MSN=∠MSN+∠PSQ,∴∠M=∠PSQ.在△MNS和△SQP中, ∴△MNS≌△SQP(AAS).
20.(1)∵ OP 垂直平分线段 AB,点 C 在 OP 上,∴ AC=BC,∴∠A=∠CBA=26°,∴ ∠CBD = 154°.∵ BE 平分∠CBD,
(2)设∠A=∠CBA =x°,∴ ∠ECB =(2x)°.∵ EC = EB,∴∠CBE=∠ECB=(2x)°,∴∠CBD=(4x)°,∴5x=180,∴x=36,∴∠A 的大小为36°.
21.设绳索长为x尺，根据题意得 解得 绳索长为 尺.
22.(1)①如图,点P 即为所求.(答案不唯一)
②如图，点Q 即为所求.
(2)7
23.(1)2000
(2)当x=2000时,y=2000,得2 ,∴yz与x之间的函数表达式为
(3)丙汽车出租公司收取的租车费y丙(元)与行车里程x(千米)之间的函数表达式为 其图象如图所示：
将点(2000,2000)的坐标代入 得 解得k =1，∴y甲与x之间的函数表达式为y甲=x.设甲、丙两函数图象的交点坐标为(a，b)，则 解得 .甲、丙两函数图象的交点坐标为(1 600,1 600).由图可知,当01600时，选择丙公司.
随x的增大而增大.∵0≤x≤30,∴当x=30时，y 的值最大，∴ 提小秤纽可称的最大物重为8kg.
(2)设 当 时,x=6,m=12,得12k+b=9.同理可得16k+b=14.解方程组 得 随m的增大而增大.∵6≤m≤36,∴当m=36时，y 的值最大，.∴ 提大秤纽可称的最大物重为39 kg.
25.(1)(12,0)
(2)由(1)可知，点C在x轴上方或下方.当点 C 在x轴上方时,如图②,过点A,C分别作 AP⊥OB,CH⊥OA,垂足分别为P,H.∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠BAC=∠1+∠2=60°,AC=AB.∵∠BOA=30°,AP⊥OB,∴ ∠PAO=∠2+∠3=60°.∴∠1=∠3.在△ABP 和△ACH中 △ACH(AAS).∴ BP=CH,AP=AH.∵ ∠BOA=30°,AP⊥OB,∴AP= OA=12.∵AB=13,AP⊥OB,∴BP=5,∴CH=BP=5,AH=AP=12,∴点 C 的坐标为(12,5).当点C 在x轴下方时,同理可得点C的坐标为(12,-5).∴点C的坐标为(12,5)或(12,-5).
(3)根据题意，得点C在x轴上方或下方.当点 C在x轴上方时,如图②,由(2)可知, 则CH垂直平分OA.∴CO=CA,∴∠COA=∠3.∵∠COA+∠COD=90°,∠3+∠CDO=90°,∴∠COD=∠CDO,∴CO=CD.∵△ODC 为直角三角形,∴∠CDO=∠COD=45°,∴∠3=45°,∴△ACH 是等腰直角三角形，∴ .当点C在x轴下方时，同理可得 AB的长为