江苏省南京市鼓楼区2024~2025学年八年级数学上学期期末试卷(含答案)

南京市鼓楼区2024~2025学年八年级数学上学期期末试卷
满分: 100分 考试时间：120分钟 姓名： 得分：
一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
1.在△ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是 ( )
2.下面的选项中三个数，可以作为直角三角形的三边长的是 ( )
A.1,2,3 B.1, , C.2,3,4 D. , ,2
3.如图,已知∠ABC=∠BAD,增加下列一个条件,仍不能判定△ABC≌△BAD 的是 ( )
A.∠C=∠D B. ∠CAB=∠DBA C. BC=AD D. AC=BD
4.如图，在平面直角坐标系中，五角星表示的点可能是 ( )
A.(1,2) B.(-1,2) C.(-1,-2) D.(1,-2)
5.若a是无理数，且 则a可能是 ( )
6.已知一次函数y= kx+4(k为常数,k≠0),当x<1时,y>0,则k的取值范围是 ( )
A. k<-4 B.k≤-4 C.-4二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
8.在实数 ,,π,- 中， 是无理数.
9.将正比例函数y=-2x的图象向上平移2个单位长度，平移后图象的函数表达式为 .
10.已知关于x，y的方程组 的解是 则函数y=-ax+1和 的图象的交点坐标为 .
11.如图,∠C=90°,AD平分∠BAC,已知BC=10,BD=6,则点D到AB 的距离为 .
12.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，5)，AB∥x轴，若线段AB=2,，则点B 的坐标为 .
13.如图,CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线,△BCD 与 关于直线 CD 对称.连接AE，若∠DEA=40°,则∠B= °..
14.在平面直角坐标系中，点A(2，3)与点B(-2，3)是一个轴对称图形上对称的两点，该图形只有一条对称轴，则图形中与点C(4，-1)成轴对称的点 D 的坐标是 .
15.已知两个一次函数y ，y 与自变量x的部分对应值分别如下表：
x -3 1 2
3 4
x 1 3
7 3
当x 时,
16.在 中,AC,BC的垂直平分线l ,l 相交于点 O,若 则 的度数为 .(用含m的代数式表示)
三、解答题(本大题共10 小题，共68分)
17.(4分)计算:
18.(6分)求下列各式中的x：
19.(6分)如图, 求证：AC=AE.
20.(6分)已知一次函数y=mx+m(m为常数，m≠0)的图象经过点((-2,3).
(1)求m的值;
(2)不等式组(021.(6分)如图, 垂足为D，(CD=1,AD=2,BD=4..求证： 是直角三角形.
22.(7分)如图,在 中，AB=AC,点P 是高 CE上一点,.
(1)求证:
(2)若EP=6,BP=10,,求AB 的长.
23.(7分)如图①,在长方形电子广告屏ABCD 中,AB=8m,BC=6m.画面设计如下：动点 P 从点 A出发沿长方形的边AB，BC以：2m/s的速度向点 C 运动，逐渐展开主体广告画面.
(1)写出 的面积 关于点 P 的运动时间t(s)的函数表达式；
(2)在图②中画出上述函数的图象.
24.(8分)用两种方法证明“垂线段最短”.如图，点P 在直线l外， ，垂足为A，Q为直线l上不同于点A 的任意一点.求证：PA(1)小明的操作是：如图①，延长PA 至点 B，使得.AB=PA,，连接BQ……请接着小明的操作完成证明；
(2)小芳发现还可以通过“勾股定理”来证明，请结合图②完成.
25.(8分)【新定义】
一次函数y=kx+b与一次函数y=-kx-b称为一对和谐函数(其中k，b为常数，k≠0).例如：y=2x+1与y=-2x-1就是一对和谐函数.
【特殊化】
请以y=2x+1与y=-2x-1这对和谐函数为例，完成以下两条结论：
(1)这对和谐函数图象的交点坐标是 .
(2)可以发现这对和谐函数的图象成轴对称，它们的对称轴是 .
【一般化】
(3)请尝试证明一般情况下一对和谐函数y=kx+b与y=-kx-b(其中k，b为常数，k≠0)的图象“成轴对称”的结论依然成立.
26. (10分)在 中， 点D 是边 BC 上一动点，过点 D 作 点E 与点 C关于直线l对称，连接DE，BE.
(1)如图①,连接CE,若
①求证： 是等边三角形；
②线段 BE 的最小值为 .
(2)如图②,取BE的中点 F,连接AF,DF.求证:
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C B D D C D
1. C 2. B 3. D 4. D 5. C
6. D 【解析】当k>0时,一次函数y= kx+4(k为常数,k≠0),y随x的增大而增大，不符合题意；当k<0时，一次函数y=kx+4(k为常数，k≠0)，y随x的增大而减小，符合题意.∵一次函数y= kx+4(k为常数,k≠0),当x<1时,y>0,∴k+4≥0,∴k≥-4,∴-4≤k<0.故选 D.
7.4 8. ,π 9. y=-2x+2 10.(1,4) 11.4
12.(-1,5)或(3,5)13.701 4.(-4,-1)
15.>1【解析】由表格知：当x=-3时， ,当x=1时,y =3,则一次函数y 随x的增大而增大;当x=-1时,y =7,当x=1时，y =3，则一次函数y 随x的增大而减小；则一次函数y ,y 的交点为(1,3),∴当x>1时,y >y .
16.2m°或(360°-2m)° 【解析】如图①,当∠ACB 为锐角时,∵l ,l 是AC,BC的垂直平分线,∴∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB.∵∠ACB=m°,∴ ∠OAC+∠OBC=∠OCA+∠OCB=∠ACB= m°,∴ ∠OAB+∠OBA = 180°-∠OAC-∠OBC-∠ACB= 180°-(∠OAC +∠OBC +∠ACB) = 180°-2m°,∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-(∠OAB+∠OBA)=2m°.
如图②,当∠ACB 为直角时,点 O 为 Rt△ABC 斜边的中点,∴∠AOB=180°=2m°.
如图③,当∠ACB是钝角时,∵l ,l 是 AC,BC 的垂直平分线,∴AO=CO,BO = CO,∴∠OAC=∠OCA,∠OCB=∠OBC,∠OCB+A4∠OCA= ∠BCA =m°,∴ ∠OBC+∠OAC = ∠OCB +∠OCA = m°.
∵∠OBC+ ∠BCA + ∠OAC +∠AOB=360°,
∴∠AOB=(360°.
综上,∠AOB 的度数为2m°或(360°-2m)°.
17.原式=2+4=6.
19.∵∠B=∠ADB,∴AB=AD.∵∠B=∠ADE,∠C=∠E,AB=AD,∴ △ABC≌△ADE(AAS).∴AC=AE.
20.(1)一次函数y= mx+m的图象经过点(-2,3),则3=-2m+m,解得m=-3.
(2)-221.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADB中,由勾股定理得 在 Rt△ADC中，由勾股定理得 ∴AB +AC =BC ,∴△ABC是直角三角形.
22.(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠EPB=2∠PBC=∠PBC+∠PCB,∴∠PBC=∠PCB.∵点P 是高CE上一点,∴CE⊥AB,∴∠PBC+∠ACB=∠PCB+∠ABC = 90°,∴ ∠BDC =90°,∴ BP⊥AC.
(2)设AB=AC=a,则AE=AB-BE=a-BE,∵CE⊥AB,EP=6, ∴ PC=PB=10,∴ CE=EP+CP=16.在 Rt△ACE 中, 解得a=20,∴AB=20.
23.(1)当点P 在边AB上运动时, 此时t的范围是0≤t≤4,则S= 当点 P 在边 BC上运动时，此时t的范围是 综上，
(2)函数图象如图所示.
24.(1)如题图①,延长 PA 至点 B,使得 AB =PA,连接BQ.∵ PA⊥l,∴AQ是PB的垂直平分线,∴PQ=BQ.在△PBQ 中,PQ+BQ>PB,即2PQ>2PA,∴PA(2)如题图②,∵PA⊥l,∴△APQ 为直角三角形.根据勾股定理,得.
25.(1)(- ,0)
(2)x轴 【解析】将x=0代入y=2x+1,得y=1,∴ 直线y=2x+1与y轴的交点为(0,1),将x=0代入y=-2x-1,得y=-1,∴直线y=-2x-1与y轴的交点为(0,-1).∵点(0,1)与点(0，-1)关于x轴对称，且这对和谐函数图象的交点坐标是 在x轴上，∴可以发现这对和谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是x轴.
(3)由 解得 和谐函数y= kx+b与y=-kx-b(其中k,b为常数,k≠0)的图象交于x轴上一点,将x=0代入y= kx+b,得y=b,∴直线y= kx+b与y轴的交点为(0,b),将x=0代入y=-kx-b,得y=-b,∴直线y=-kx-b与y轴的交点为(0,-b).∵点(0,b)与点(0,-b)关于x轴对称,且这对和谐函数图象的交点坐标是 在x轴上，∴一对和谐函数y= kx+b与y=-kx-b(其中k,b为常数,k≠0)的图象“成轴对称”.
26.(1)①设直线l与CE交于点 M,如图①,
∵l∥ AB,∠ABC=α=30°,∴∠CDM=∠ABC=30°.∵点E与点C关于直线l对称, ∴ CD=ED,∠CDM=∠EDM=30°,∴ ∠CDE=60°,∴ △CED 是等边三角形.
②2 【解析】∵△CED 是等边三角形,∴∠ECD=60°.当BE⊥CE 时,BE 最小,在 Rt△CEB中,BC=4,∠ECD=60°,
(2)如图②,延长DF至点 G,使得FG=DF,连接AD,AG,BG,∵F 是BE的中点,∴EF=BF且∠EFD=∠BFG.又∵FG=DF,∴△EDF≌△BGF(SAS),∴ED=BG,∠DEF=∠FBG,∴ED∥BG,∴∠CBG=∠CDE.∵l∥AB,∠ABC=α,点 E与点 C 关于直线l对称, ∴ ∠CBG=∠CDE=2α.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=α,∴∠ABG=∠ACB=α.又∵ CD=ED,∴CD=BG,∴△ADC≌△AGB(SAS),∴AD=AG.又∵ F是 DG 的中点,∴AF⊥DF.