专项提优卷(三)实数与勾股定理（含答案）2025-2026学年苏科版八年级数学上册

专项提优卷(三)实数与勾股定理
满分: 120分 考试时间：120分钟 姓名： 得分：
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1.(2024·绵阳中考)下列实数中满足不等式x>3 的是 ( )
B.π C. D.
2.若 则x与y的关系一定是 ( )
A. x-y=0 B. xy=0 C. x+y=0 D. xy=-1
3.在△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,下列不能判定△ABC为直角三角形的是 ( )
A.∠A+∠B=∠C
D. a:b:c=5:12:13
4.下列说法正确的是 ( )
一定是非负数 B.立方根等于它本身的数是-1和1
的平方根是±8 D.81的算术平方根是-9
5.若06.如图，在数轴上，点O对应数字0，点A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴，且AB=4，连接OB，绕点O顺时针旋转OB，使点B落在数轴上的点 C处，则点C所表示的数介于 ( )
A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间
7.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有勾三、股四、弦五的说法.如图所示，图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理，图②是由图①放入长方形内得到的,如果∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在长方形 KLMJ 的边上,则长方形 KLMJ 的面积为 ( )
A.90 B.100 C.110 D.121
8.如图所示,等腰Rt△ABC 与等腰 Rt△DAE 中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=2,AD=AE=1,则 ( )
A.9 B.11 C.10 D.12
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
9.北京大兴国际机场被誉为“新世界第七大奇迹”.其旅客航站楼及停车楼是目前国内单体面积最大的绿色建筑，每年可减少二氧化碳排放约2.2万吨，相当于种植119万棵树，其中2.2万精确到 位.
10.已知a是立方根等于本身的正数，b是 的平方根,则3a-b= .
11.根据表格中的数据回答下列问题：
x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.9
x 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 571.21
满足 的整数n有 个.
12.已知△ABC中,AB=13,AC=20,BC边上的高AD=12,则BC的长为 .
13.如图所示，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A 表示 ，设点B所表示的数为m，则| 的值是 .
14.如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是120 cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕三圈丝线到顶部B处做装饰，则按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是 cm.
15.《九章算术》提供了许多勾股数,如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17)等,并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1、加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”.若“由9生成的勾股数”的“弦数”记为A，“由20生成的勾股数”的“弦数”记为B，则A+B= .
16.(2024·淮安中考改编)如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长(实线部分)为l，则l最接近的整数是 .
17.(2025·西安模拟)定义：在△ABC中，我们把∠C 的对边与∠A的对边的比叫作∠C的邻弦，记作 thi C,即 如图，若. ,则 thi C的值为 .
18.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A 处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处,若∠AOC=90°,点A 与点B 的高度差AD=1米,水平距离BD=4米,则点 C 与点 B 的高度差 CE 为 米.
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)计算:
20.(6分)已知a,b满足 解关于x的方程
21.(6分)《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去间(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何 题目大意是：如图①，②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点 D 距离门槛AB 都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是多少
22.(8分)如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，. 正方形IECF 中,IE=EC=CF=FI=x.
小明发现了一种求正方形边长的方法：由题意可得BD=BE=a-x,AD=AF=b-x,
因为AB=BD+AD,所以a-x+b-x=c,解得
小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用 可以得到x与a,b,c的关系.
(1)请根据小亮的思路完成他的求解过程；
(2)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.
23.(8分)(2024·无锡期中)规定(a,b)表示一对数对,给出如下定义: (m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“对称数对”.例如:数对(4,1)的一对“对称数对”为 与
(1)数对(9,4)的一对“对称数对”是 ;
(2)若数对(x，3)的一个“对称数对”是( ,1),则x的值是 ;
(3)若数对(a，b)的一个“对称数对”是( ,求a,b的值.
24.(10分)【问题情境】在学习了勾股定理和实数后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动.
【操作发现】某小组的同学想到借助正方形网格解决问题.如图①是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.在图①中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形 BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点 C，A，他们借助此图求出了△ABC 的面积.
(1)在图①中，所画的△ABC 的三边长分别是 △ABC 的面积为 ;
(2)在图②所示的正方形网格中画出△DEF(顶点都在格点上)，使 ，并求出△DEF的面积.
25.(10分)如图,C 为线段 BD 上一动点,分别过点 B,D 作. ,连接AC,EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC+CE 的值.
(2)探究：当点 C 满足什么条件时，AC+CE的值最小 最小值是多少
(3)根据(2)中的结论，请构造图形求代数式 的最小值.
26.(12分)新题型新定义我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图①，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于 的值，可记为
(1)在图①中,若∠BAC=90°,AB=16,AC=12,AO 是BC 边上的中线,则AB◎AC= ,
(2)如图②,在△ABC中,AB=AC=8,∠BAC=120°,求AB◎AC,BA◎BC的值;
(3)如图③,在△ABC 中,AB=AC,AO 是BC边上的中线,点N在AO 上,且 已知AB◎AC=23,BN◎BA=13,求△ABC的面积.
专项提优卷03专项提优卷(三)实数与勾股定理
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A B B C C
1. B 【解析】A.(-2) =-8<3;B.π>3;C. <3;D. =3.故选B.
2. C 【解析】 即x+y=0.故选C.
3. C 【解析】由.∠A+∠B=∠C,可知∠C=90°,故选项 A 不符合题意；由( 整理得 ,则△ABC为直角三角形，故选项 B不符合题意； 则 故选项C符合题意;当a:b:c=5:12:13时,设a=5x,则b=12x,c=13x,则( 则△ABC为直角三角形，故选项D 不符合题意.故选 C.
4. A 【解析】对于A, 一分定是非负数，说法正确，符合题意；对于B，立方根等于它本身的数是-1，1和0，说法错误，不符合题意；对于C, 的平方根是± ，说法错误，不符合题意；对于D，81 的算术平方根是9，说法错误，不符合题意.故选 A.
5. B 【解析】∵06. B 【解析】∵ OA =2,AB =4,∴ OC=OB = √OA +AB = +4 = .∵ 16<20<25,∴ < < 即 4< 故选 B.
7. C 【解析】如图,延长AB 交 KL 于点 P,延长AC 交 LM 于点Q,则△ABC≌△PFB≌△QCG,∴PB=AC=4,CQ=AB=3.∵题图②是由题图①放入长方形内得到的,∴IP=4+3+4=11,DQ=3+4+3=10,∴长方形KLMJ的面积为11×10=110.故选 C.
8. C【解析】如图,连接CD,BE 交于点 O.∵ ∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠BAD=∠BAD+∠DAE,∴ ∠CAD=∠BAE.在
△CAD和△BAE中,(∠CAD=∠BAE,∴ △CAD≌△BAE(SAS),
∴CD=BE,∠ADC=∠AEB,∴∠EOD=∠EAD=90°,∴∠EOD= 故选 C.
9.千【解析】2.2万的最后一位2在千位上，因而精确到千位.
10.0或6 【解析】∵立方根等于它本身的数有0,±1,又∵a是正数，. 是 的平方根，. ∴3a-b=3×1-3=0或3a-b=3×1-(-3)=3+3=6.
11.5 【解析】由题中表格可得556.9612.11或21 【解析】在△ABC中,AB=13,AC=20,BC边上的高AD=12.如图①所示，当△ABC为锐角三角形时，由勾股定理得BD=5,CD=16,∴ BC的长为5+16=21;如图②所示,当△ABC为钝角三角形时,由勾股定理得BD=5,CD=16,∴BC的长为16-5=11.综上,BC 的长为11或21.
【解析】由题意知，点A 和点 B的距离为2，点A 表示 点 B 表示的数
14.150 【解析】要使得所用丝线最短，则展开如图所示，由题意，AC=30×3=90(cm),BC = 120 cm,∠ACB = 90°, 得AB=150 cm.
15.142 【解析】∵ 9 =81,81=40+41,∴“由9生成的勾股数”的“弦数”记为41,即 ∴“由20生成的勾股数”的“弦数”记为101,即 B=101,∴A+B=41+101=142.
16.13 【解析】第一个三角形的斜边长 第二个三角形的斜边长 ·第九个三角形的斜边长= 则这海螺图形的周长： 与 最接近的整数是3，∴与 最接近的整数是13.
17. / 【解析】如图,作BH⊥AC 于点 H,假设 BH=1.∵ ∠A=45°,∴△ABH 是等腰直角三角形,∴AB= .∵ ∠C=30°,∴BC=2BH=2,∴thi
18.4.5 【解析】如图,过点 A 作 AH⊥OB 于点 H,过点 C作CG⊥OB于点G,则四边形ADBH 和四边形CEBG都是长方形.由题意,得OA=OB=OC,由长方形的性质,得AH=BD=4米,BH=AD=1米,CE=BG.在 Rt△AHO 中, 即 则 解得 8.5.∵∠2+∠3=∠1+∠3=90°,∴∠2=∠1.又∵∠OGC=∠AHO=90°,OC=OA,∴△OGC≌△AHO(AAS),∴OG=AH=4米,∴BG=OB-OG=OA-OG=8.5-4=4.5(米),则CE=BG=4.5米.故答案为4.5.
且 ∴ a+8=0,|b- |=0,∴a=-4,b= ,∴方程为
21.如图,取AB的中点O,过D 作 DE⊥AB于点E,由题意得OA=OB=AD=BC.设OA=OB=AD=BC=r寸,则AB=2r寸,DE=10寸, 寸,∴AE=(r-1)寸.在 Rt△ADE中, 即 解得r=50.5,∴2r=101,∴AB=101寸.
(2)根据小明和小亮得到的结论： 即2ab=(a+b+c)(a+b-c),化简得
23.(1)( ,2)与(2, 【解析 数对(9，4)的一对“对称数对”是( ,2)与(2, ).
(2)1 【解析】∵数对(x,3)的一个“对称数对”是( ,1),
(3)∵数对(a,b)的一个“对称数对”是( , ),
j
24.(1)5
(2)△DEF 如图所示(答案不唯一).
△DEF的面积
25.(1)由勾股定理得
(2)当A,C,E三点共线,即点 C 在线段 BD与线段AE 的交点处时，AC+CE的值最小，此时.
(3)如图所示,作 BD = 12,过点 B作 AB ⊥BD,过点 D 作 DE ⊥BD,使AB=3,ED=2.连接AE 交 BD 于点C,AE 的 长 为 代 数 式 的最小值.过点A 作AF⊥ED 的延长线于点 F，则AB=DF=3,AF=BD=12,∴ AE= +(3+2) =13,即 的最小值为13.
26.(1)0 28 【解析】∵∠BAC=90°,AB=16,AC=12,∴BC= O是BC边上的中线，∴点O是BC的中点， .如图①,取AC的中点 D,则 OD⊥CD.在 Rt△OCD 中,
(2)如图②,取 BC的中点O,连接OA.∵ AB=AC,∴AO⊥BC.在△ABC 中, AB = AC, ∠BAC = 120°,∴ ∠ABC = 30°.在 Rt△AOB中,A 48=-32.取AC的中点 D,连接BD,∴ 过点B作BE⊥AC交CA 的延长线于点 E,在 Rt△ABE中,∠BAE=180°-∠BAC = 60°,∴ ∠ABE = 90°-∠BAE =30°,∴ AE = 在 Rt△BED中，由勾股定理得
(3)设ON=x,OB=OC=y,∴BC=2y,AN=2x. ①.如图③,取A N的中点F ,连接BF.则AF=FN= AN=x,∴OF=ON+FN=2x.在Rt△BOF中，由勾股定理得 ②.联立①②得 解得 或 (不合题意舍去)或 (不合题意舍去)或 不合题意舍去).