第1章 三角形单元测试卷 （含答案）2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第1章 三角形单元测试卷
满分: 120分 考试时间：120分钟 姓名： 得分：
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1.将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形.如图，如果第一次在4厘米处(剪刀处)截断，那么第二次截断的位置可以是 ( )
A.①或② B.①或③ C.②或③ D.③或④
2.(2024·宿迁校级期中)下列说法中，正确的是 ( )
A.周长相等的两个直角三角形全等 B.周长相等的两个钝角三角形全等
C.周长相等的两个等腰三角形全等 D.周长相等的两个等边三角形全等
3.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD 是高,BE 是中线,CF是角平分线,CF交AD 于点 G,交BE于点 H,现给出以下结论:①BF=AF;(;②S△ABE=S△BCE;③∠AFG=∠AGF; 其中结论正确的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB 于点D,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B= ( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
5.如图,在四边形ABCD中,点E在AD上,点 F在BC上,线段EF与AC交于点 O 且互相平分,若AD=BC=10,EF=CD=6,则四边形EFCD的周长是 ( )
A.16 B.26 C.20 D.22
6.如图,在△ABC中,AD⊥BC,∠B=62°,AB+BD=CD,则∠BAC的度数为 ( )
A.87° B.88° C.89° D.90°
7.(2024·扬州月考)如图所示,锐角三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,△ADC≌△ADC',△AEB≌△AEB',且C'D∥EB'∥BC,BE,CD 交于点 F.若∠BAC=40°,则∠BFC 的大小是 ( )
A.105° B.100° C.110° D.115°
8.如图,在△ABC中,D为BC的中点,点 E 为 BA 延长线上一点,DF⊥DE 交射线AC于点 F,连接EF,则BE+CF与 EF 的大小关系为 ( )
A. BE+CF>EF B. BE+CF=EF C. BE+CF二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
9. “三角形具有稳定性”这个事实说明了 .(从“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”中选填一个)
10.如图,AB=AE,∠1=∠2,要使△ABC≌△AED,还需添加的条件是 .(只需填一个)
11.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶3，则这个等腰三角形顶角的度数为 .
12.如图，小明为测量大树MN的高度，在点A 处测得∠MAN=30°，沿NA 的方向后退50m到达点B，测得∠MBN=15°，若小明的身高忽略不计，则大树的高为 m.
13.如图，两堵与地面垂直的木墙，其中AD=6cm，BE=14cm，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A 和点 B分别与木墙的顶端重合,则两堵木墙之间的距离DE 为 cm.
14.如图,已知AB=AD,BC=DE,AC=AE,且∠CAD=10°,∠EAB=120°,直线BC与AD,DE分别交于点F,G,则∠DGB 的度数为 .
15.如图,在△ABC中,AB=12,BC=15,AC=8,AD 平分∠BAC交BC于点D,在AB上截取AE=AC,则△BDE 的周长为 .
16.如图，△ABC是三边都不相等的三角形，点P 是三条内角平分线的交点，点O 是三边垂直平分线的交点,P,O 同时在△ABC的内部,若∠BPC=121°,则∠BOC= .
17.如图,在四边形ABCD中,AC=BC,∠ACB=∠AC==9°=00°,则△BCD 的面积为 .
18.如图,在 中,∠ ，点D 是BC边的中点，点 P 是AC边上一个动点，连接PD，以 PD为边在 PD 的下方作等边三角形 PDQ，连接CQ，则CQ 的最小值是 .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(兰州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是AC和AB的中点.求证:BD=CE.
20.(6分)实践小组动手制作了一个“筝形功能器”.如图,在筝形ABCD中,AB=AD,CB=CD.
【操作应用】(1)如图①，将“筝形功能器”上的点A 与∠PRQ 的顶点 R 重合，AB，AD 分别放置在角的两边 RP,RQ 上,并过点A,C画射线AE.
求证:AE 是. 的平分线；
【实践拓展】(2)实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平.如图②，在仪器上的点A 处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点 B，D紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点 C，即判断门框是水平的.实践小组的判断对吗 请说明理由.
21.(8分)(镇江中考)如图,在四边形ABCD 中, 点E,F分别在AD,BC上,AE=CF,过点A,C分别作 EF的垂线,垂足为 G,H.
(1)求证:
(2)连接AC交GH于点O,点O 是线段AC,GH的中点吗
22.(8分)如图，在 中， 点D 是AB的中点，AC(1)试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点 E，使得直线 ED 平分 的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若DE分] 的面积为1：2两部分，请探究AC与BC的数量关系.
23.(8分)如图, 中， 点P 从 A 点出发沿A→C→B 路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿 B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点P和Q 分别以每秒1和3 的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作. 于E、作 于F，当点 P 运动多少秒时，以P，E，C为顶点的三角形和以Q，F，C为顶点的三角形全等
24.(8分)已知 为等边三角形，点D 为AC上的一个动点，点E 为 BC 延长线上一点，且BD=DE.
(1)如图①，若点D 在边AC上，猜想线段AD与CE 之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若点D在AC的延长线上，猜想(1)中的结论是否成立，并说明理由.
25.(10分)(2024·苏州校级月考)如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫作等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线.如图①，当 和 为等腰三角形时，AD为 的等腰分割线.
(1)如图②,在 中， 线段AC 的垂直平分线 ED 交AC 于点D,交 BC 于点 E.求证:AE是 的一条等腰分割线.
(2)在 中,AD为 的等腰分割线， ，请你画出所有可能的图形并求出 的度数.
26.(12分)(1)模型:如图①,在 中，AD平分 于 E, 于 F,求证:
(2)模型应用:如图②,AD平分. 交BC的延长线于点 D，求证：AB:AC=BD:CD.
(3)类比应用：如图③，AB平分 求证：BE:CD=AB:AC.
1. C 【解析】∵4+4+6=14,4+4>6,∴可以围成4厘米、4厘米、6厘米的三角形;∵4+5+5=16,4+5>5,∴可以围成4厘米、5厘米、5厘米的三角形，∴可以在②或③处截断.故选 C.
2. D【解析】周长相等的两个等边三角形，三边对应相等，根据SSS 可证这两个等边三角形全等，故D 选项符合题意，故选 D.
3. B 【解析】∵ BE 是△ABC 的中线,. 故②正确,符合题意;∵CF是角平分线,∴∠ACF=∠BCF.∵ AD⊥BC,
∴∠BCF+∠CGD=90°.∵∠BAC=90°,∴ ∠ACF+∠AFG=90°,∴∠CGD=∠AFG.∵∠CGD=∠AGF,∴∠AGF=∠AFG,故③正确,符合题意;∵△BCF中BF边上的高与△ACF中AF 边上的高相同，∴ 故④正确，符合题意；根据已知条件无法证明BF=AF，故①错误，不符合题意.综上，符合题意的有3个，故选 B.
4. B 【解析】∵ DE是AC 的垂直平分线,∴AD=CD,∠ACD=∠A=50°.∵CD平分∠ACB,∴∠ACB=2∠ACD=100°,∴∠B= .故选B.
5. D 【解析】∵ 线段 EF与AC 交于点 O 且互相平分,∴OE=OF,OA =OC.∵ ∠EOA =∠FOC,∴ △EOA≌△FOC(SAS),∴AE=CF.∵ C四边形EFCD =EF+CD+CF+DE,∴ C四边形EFCD =EF+CD+AE+DE=EF+CD+AD=6+6+10=22.故选 D.
6. A
7. B 【解析】如图,延长C'D交AB'于点 H.∵ △AEB≌△AEB',∴∠ABE=∠AB'E.∵ C'H∥EB',∴ ∠AHC'=∠AB'E,∴ ∠ABE=∠AHC'.∵ △ADC≌△ADC',∴∠C'=∠ACD.∵ ∠BFC=∠DBF+∠BDF,∠BDF=∠CAD+∠ACD,∴ ∠BFC=∠AHC'+∠C'+∠DAC.∵ ∠DAC = ∠DAC' = ∠CAB'= 40°, ∴∠C'AH=120°,∴∠C'+∠AHC'=60°,∴∠BFC=60°+40°=100°.故选 B.
8. A 【解析】如图,延长ED 到 T,使得 DT=DE,连接CT,TF.∵DE=DT,DF⊥ET,易得△EDF≌△TDF,∴EF=TF.又∵在△EDB 和 △TDC 中,(1860BC∠ZTDC,∴ △EDB≌△TDC(SAS),∴BE=CT.∵ CT+CF>FT,∴BE+CF>EF.故选 A.
9. SSS 【解析】只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理.
10. AC=AD(答案不唯一) 【解析】在△ABC 和△AED 中,∵AB=AE,∠1=∠2,∴∠BAC=∠EAD,∴ 根据SAS可以添加条件AC=AD,根据AAS可以添加条件∠C=∠D,根据ASA可以添加条件∠B=∠E,故答案可以为AC=AD或∠C=∠D 或∠B=∠E.
或108° 【解析】设两内角的度数为x，3x，当等腰三角形的顶角为x时,x+3x+3x=180°,角解得 当等腰三角形的顶角为3x时,3x+x+x=180°,解得x=36°,则3x=108°.综上所述，等腰三角形的顶角度数为 或108°.
12.25 【解析】由题意可知∠MAN=30°,∠MBN=15°,AB=50m,∠MNA=90°,∴∠AMB=15°,∴AB=AM.∵AB=50m,∴AM=50m.∵∠MAN=30°,∠MNA=90°,∴MN= AM=25m.
13.20 【解析】∵ AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,..∠ADC= ∠CEB= 90°,∴ ∠ACD+∠BCE = 90°,∠ACD+∠DAC = 90°,∴ ∠BCE = ∠DAC. 在 △ADC 和 △CEB 中,
DC=BE=14cm,∴DE=DC+CE=14+6=20(cm).
14.65°【解析】∵ AB=AD,BC=DE,AC=AE,∴△ABC≌△ADE,∴ ∠BAC =∠DAE,∠B =∠D.∵ ∠EAB = 120°, ∴∠DAE+∠CAD+∠BAC=120°.∵∠CAD=10°,∴∠BAC= ×(120°-10°)= 55°,∴ ∠BAF =∠BAC+∠CAD = 65°. ∵∠B=∠D,∠DFG=∠BFA,∴∠DGB=∠BAF=65°.
15.19 【解析】∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠EAD=∠CAD.在△ADE 和 △ADC 中,(18600,∠CAD,∴△ADE ≌ △ADC(SAS),∴ ED = CD,AE = AC.∵ AB = 12,BC = 15,AC =8,∴△BDE的周长=BE+BD+ED=AB-AE+BD+DC=AB-AC+BC=12-8+15=19.
16. 124° 【解析】如图,连接AO 并延长交 PC 于 点 D, ∵∠BPC= 121°,∴ ∠PBC+∠PCB= 180°-121°= 59°.∵点 P是三条内角平分线的交点，∴ ∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB,∴ ∠ABC+∠ACB = 2×59°= 118°,∴ ∠BAC=180°-118°=62°.∵ 点 O 是三边垂直平分线的交点,∴OA=OB,OA=OC,∴ ∠OBA =∠OAB,∠OCA = ∠OAC,∴ ∠DOB = 2∠OAB, ∠DOC =2∠OAC,∴ ∠BOC=∠DOB+∠DOC= 2(∠OAB+∠OAC)=2∠BAC=2×62°=124°.
17.50 【解析】如图,过点 B 作 BE⊥DC交DC 的 延 长线 于 点 E,∵ BE ⊥ CE,∴ ∠BEC= ∠CDA = 90°, ∴ ∠CBE +∠BCE=90°.又∵ ∠ACB=90°,∴ ∠BCE+∠ACD=90°,∴∠CBE=∠ACD.在△CBE 和△ACD 中, ∴△CBE ≌△ACD(AAS),∴ BE=CD=10,∴ △BCD 的面积 故答案为50.
18.1 【解析】以 CD 为边在 CD 的下方作等边三角形 CDE，连接 EQ，如图所示.∵△PDQ是等边三角形,∴ ∠CED =∠PDQ=∠CDE=60°,PD=QD,CD=ED.∵∠CDQ 是公共角,∴∠PDC=∠QDE,∵ △PCD≌△QED (SAS).∵ ∠ACB =90°,AC=BC=4,点 D 是 BC 边的中点,∴ ∠PCD=∠QED=90°,CD=DE=CE= ∴ 点 Q 在 QE 所在直线上运动,∴当 CQ ⊥QE 时, CQ 取得最小值. ∵ ∠QEC = 90°-
19.略
20. (1) 在 △ABC 和 △ADC 中,(4025DCC,∴ △ABC≌△ADC(SSS),∴∠BAC=∠DAC,∴AE是∠PRQ 的平分线.
(2)实践小组的判断对，理由如下：∵△ABD 是等腰三角形,AB=AD,由(1)知:AC平分∠BAD,∴AC⊥BD.∵AC 是铅锤线，∴BD 是水平的，∴门框是水平的，∴实践小组的判断对.
21.(1)∵ AG⊥EF,CH⊥EF,∴ ∠G=∠H=90°.∵ AD∥BC,∴∠DEF= ∠BFE.· · ∠AEG = ∠DEF, ∠CFH = ∠BFE,∴ ∠AEG=∠CFH.在△AGE 和△CHF 中, ∴△AGE≌△CHF(AAS).
(2)点 O 是线段 AC,GH 的中点.理由:由(1)得△AGE≌△CHF,∴ AG=CH.在△OGA 和△OHC 中, ∴△OGA≌△OHC(AAS),∴ OG=OH,OA=OC,即 O 是线段AC,GH的中点.
(2)如图②,连接 DC.∵ 点 D 是 AB 的中点, 设S△ADC=S△BCD =x,S△DEC =y.∵ S△BDE : S四边形CADE = 1 : 2,∴ 即x=3y,∴点E为BC的三等分点, 即BC=3EC,∴EC=EF=BF=AC,∴BC=3AC.
23.①如图①,P 在 AC 上,Q 在 BC 上,则PC=6-t,QC=8-3t,∵ PE⊥l,QF⊥l,∴ ∠PEC =∠QFC= 90°.∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠EPC+∠PCE = 90°,∠PCE +∠QCF = 90°,∴ ∠EPC =∠QCF.∵△PCE≌△CQF,∴PC=CQ,6-t=8-3t,t=1;
②如图②,P在BC上,Q在AC上,则PC=t-6,QC=3t-8,由①知,PC=CQ,t-6=3t-8,t=1,当t=1时,t-6<0,不符合题意；
③如图③,当P,Q都在AC上时,
④当Q到A点停止,P在BC上时,AC=PC,即t-6=6,t=12;
综上，当点P 运动1秒或 秒或12秒时，以P，E，C为顶点的三角形和以 Q，F，C为顶点的三角形全等.
24.(1)AD=CE.理由如下:如图①,过点D作DP∥BC,交AB 于点P.∵ △ABC 是等边三角形,DP∥BC,∴ ∠APD =∠ABC =∠ACB=∠ADP=60°,∴∠BPD=∠DCE=120°,△APD 是等边三角形,∴PD=AD.∵DB=DE,∴ ∠DBC=∠DEC.∵ DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∴∠PDB=∠DEC.在△BPD 和△DCE 中,
.△BPD≌△DCE(AAS),∴ PD = CE,
∴AD=CE.
(2)成立.理由如下:如图②,过点 D作DP∥BC,交AB的延长线于点 P.∵△ABC是等边三角形,DP∥BC,∴∠A=∠APD=∠ABC=∠ADP=∠ACB=∠DCE=60°,∴ △APD 是等边三角形,∴ PD = AD.∵ DB = DE,∴ ∠DBC = ∠E.∵ DP∥BC,∴ ∠PDB=∠DBC,∴ ∠PDB =∠E.在△BPD 和△DCE 中,
(4022-2023),∴△BPD ≌△DCE(AAS),∴ PD = CE,
∴AD=CE.
25.(1)∵DE是线段AC 的垂直平分线,∴EA=EC,即△EAC是等腰三角形,∴ ∠EAC=∠C,∴ ∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C.∵∠B=2∠C,∴∠AEB=∠B,即△EAB 是等腰三角形,∴AE是△ABC 是一条等腰分割线.
(2)∵线段AD为等腰分割线,∴△ABD 和△ACD 都是等腰三角形，
①如图①,AD=CD=BD,∴∠C=∠CAD=30°,∴∠ADB=∠C+∠CAD=30°+30°=60°.∵AD=BD,∴∠B=∠BAD=60°.
②如图②,AD=BD=AC.∵ AD=AC,∴ ∠ADC=∠C=30°.∵AD=BD,∴ ∠B=∠DAB.∵ ∠ADC =∠B+∠BAD =30°,∴ ∠B=15°.
③如图③,AD=BD,AC=CD,∴∠CAD=∠ADC=180°-230°=75°,∠B=∠BAD.∵∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠B=37.5°.综上所述,∠B 的度数为60°或15°或37.5°.
26.(1)∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.∵ S△ADB= AB:AC.
(2)如图①,在射线BA上取点E,使得AE=AC,连接DE.∵ AD平分∠CAE,∴ ∠CAD = ∠DAE.∴△ACD ≌ △AED (SAS),∴ CD = ED,
(3)如图②,延长BE 至 M,使 EM =DC,连接AM,∵ ∠D+∠AEB=180°,∠AEB+∠AEM=180°,∴∠D=∠AEM.在△ADC和 △AEM 中, ∴ △ADC ≌ △AEM (SAS),
∴ ∠DAC=∠EAM=∠BAE,AC=AM,∴AE 为∠BAM 的平分线,∴S△ABE:S△AEM=AB: AM=BE : EM.∵AC=AM,DC=EM,故 ∴ BE:CD=AB:AC.