第1章 三角形单元 提优卷 （含答案）2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第1章 三角形单元提优卷
满分: 120分 考试时间：120分钟 姓名： 得分：
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1.(2024·石家庄模拟)如图,数轴上点A,B,C,D对应的数分别是-1,1,x,7,点 C 在线段 BD 上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x可能是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2024·南通校级月考)下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是 ( )
A.斜边和一直角边对应相等 B.两个锐角对应相等
C.一锐角和斜边对应相等 D.两条直角边对应相等
3.用直尺和圆规作一个角的平分线，其正确的依据是 ( )
A. AAS B. SSS C. SAS D. ASA
4.新情境(2024·贵阳模拟)中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形.如图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为30°，腰为10m，则底边上的高是 ( )
A.5m B.10m C.6m D.8m
5.如图,AC与BD 相交于点O,有以下四个条件:①OD=OC;②∠C=∠D;③AD=BC;④OA=OB.从这四个条件中任选两个，不能使△DAO≌△CBO 的选法是 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①④
6.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,在直线BC或AC上取一点 P,使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有 ( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
7.如图,已知∠MON=30°,点A ,A ,A …在射线ON上,点B ,B ,B …在射线OM上,△A B A ,△A B A ,△A B A ……均为等边三角形,若 则△A B A 的边长为 ( )
A.16 B.32 C.64 D.128
8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,CD 是△ABC 的角平分线,AE⊥CD 于点E,连接BE,AB=6,AC=8,BC=10,则△ABE的面积是( )
A. B.2 C.
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
9.如果a，b，c为一个三角形的三边，且 那么这是一个 三角形.
10.已知等腰三角形的一个外角为108°，则其底角的度数为 .
11.数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的直径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD的中点O 固定，测得CD=8cm，就可知道内径AB 的长度是 .
12.如图,在△ABC 中,DE,FG分别是边 AB,AC 的垂直平分线,分别交 BC 于E,G两点,连接AE,AG,若BC=8,则△AEG的周长为 .
13.如图,已知△ABC≌△EDF,点F,A,D 在同一条直线上,AD 是∠BAC 的平分线,∠EDA=20°,∠F=60°,则∠DAC 的度数是 .
14.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 在BC上,E是AB 的中点,AD,CE 相交于F,且AD=DB.若∠B=20°,则∠DFE 等于 .
15.如图,已知BD是△ABC的中线,CF是△BCD 的中线,AE∥CF交BD 的延长线于点E.若△ADE的面积为3，则△ABC 的面积是 .
16.(2024·无锡期中)如图,CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为点 B,E,AE,BC相交于点 F,若AB=BC=16，CF=8，连接DF，则图中阴影部分的面积为 .
17.已知△ABC,∠BAC=30°,AB=6,要使满足条件的△ABC唯一确定,那么BC边长度x的取值范围为 .
18.如图,在△ABC中,D为AB 中点,DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=180°,EF⊥BC交BC于F,AC=8,BC=12,则BF的长为 .
三、解答题(本大题共9小题，共66分)
19.(6分)如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
【问题解决】如图②.小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点 E 处，点F 到地面的高度(CF=1.5m,，点A、点C 到平面镜 B 点的距离相等.图中点A，B，C，D在同一条直线上.求灯泡到地面的高度AG.
20.(6分)(2024·无锡校级月考)如图, 中，AB=AC,,点 P,Q,R分别在AB,BC,AC上,且PB=QC,QB=RC..求证：点Q 在 PR 的垂直平分线上.
21.(6分)如图，在正方形网格中，点A，B，C在格点上.
(1)直接写出. 的度数；
(2)在图①中画出. 的平分线AE；
(3)在图②中取一个格点D，使 ，并且两个三角形的一个钝角均为 画出这两个三角形.
22.(6分)新趋势过程性学习已知:如图,△ABC中,AB>AC.
求证:∠C>∠B.
(1)尺规作图:在图①中,作∠A的平分线AD,交BC 于点 D,在AB上截取AE=AC,连接DE.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)证明:∵AD平分线∠BAC,∴ .
在△EAD 和△CAD中,
∵∠AED> ,∴∠C>∠B.
通过探究可以得出结论：在同一个三角形中， .
(3)如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,CD>BC.请猜想∠ABC和∠ADC的大小关系,并证明你的结论.
23.(6分)(2025·扬州模拟)如图,在四边形ABCD 中, ,在 BD上取两点E,F,使DF=BE,连接AE,CF.
(1)若 试说明
(2)在(1)的条件下，连接AF，CE，试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由.
24.(8分)如图,在 中,AD 是 的高，AE是 的角平分线，F为AE 上一点，连接BF,
(1)求证:BF平分:
(2)连接CF交AD 于点 G,若 求 的度数.
25.(8分)(2024·扬州校级月考)我们把能够完全重合(即四个内角、四条边分别对应相等)的四边形叫作全等四边形.请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题.如图，已知四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中， ，现在只需补充一个条件，就可得四边形 四边形A'B'C'D'..下列四个条件:①∠A=∠A';②∠D=∠D';③AD=A'D';④CD=C'D'.
(1)其中，符合要求的条件是 ；(直接写出编号)
(2)选择(1)中的一个条件，证明四边形. 四边形A'B'C'D'.
26.(10分)如图, 和 都是等边三角形，点E，F同时分别从点 B，A出发，以相同的速度各自沿BA,AD的方向运动到点A,D停止,连接EC,FC.
(1)在点 E，F运动的过程中， 的度数是否随之变化 请说明理由.
(2)在点E，F运动的过程中，以A，E，C，F为顶点的四边形的面积变化了吗 请说明理由.
(3)连接EF，在图中找出所有始终与∠ACE相等的角，并说明理由.
27.(10分)如图①所示，已知A，B为直线a上两点，点 C为直线a上方一动点，连接AC，BC，分别以AC,BC为边向. 外作 和 且 ,过点 D作 直线a于点. ,过点 E 作. 直线a于点
(1)(问题探究)小华同学想探究图①中线段， AB 之间的数量关系.他的方法是作直线 于点 H，可以先证明 和 ，于是可得 和 ，所以得到线段 ，AB 之间的数量关系是 ；
(2)(方法应用)在图②中，当D，E两点分别在直线a的上方和下方时，试探究三条线段 ，AB之间的数量关系，并说明理由；
(3)(拓展延伸)在图②中，当D，E两点分别在直线a的上方和下方时，小华同学测得线段 则用含有m，n的代数式表示 ABC 的面积为 .
1. C【解析】由点在数轴上的位置，得AB=1-(-1)=2,BC=x-1,CD=7-x.由三角形三边关系,得不等式①恒成立；由不等式②，得x>3；由不等式③，得x<5，∴不等式组的解集是32. B【解析】A.符合判定 HL；B.全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误；C.符合判定AAS；D.符合判定SAS.故选 B.
3. B 【解析】以∠AOB为例，①以O为圆心，任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;②分别以C,D为圆心,大于 CD长为半径作弧，两弧交于点 E，连接EC，ED.射线 OE 即为所求.理由:在△EOC 和△EOD 中, ∴ △EOC≌△EOD(SSS).故选 B.
4. A 【解析】如图,AD⊥BC,∠C=∠B= 即底边上的高是5m.故选A.
5. C 【解析】由题意知∠DOA=∠COB,选①②,可用ASA判定△DAO≌△CBO,故选项A不符合题意;选②③,可用AAS 判定△DAO≌△CBO,故选项 B不符合题意;选①③,不可以判定△DAO≌△CBO,故选项 C符合题意;选①④,可用SAS判定△DAO≌△CBO,故选项 D不符合题意.故选 C.
6. B 【解析】如图,①作AB的垂直平分线交直线AC 于点 P ,交直线 BC 于点 P (此时PA=PB);②以A为圆心,AB长为半径画圆,交直线 AC 于点 P ,P ,交直线 BC 于点 P (此时AB=AP);③以B为圆心,BA长为半径画圆,交直线 BC 于点P ,P ,交直线AC 于点 P (此时 BP=BA),符合条件的点有6个.故选 B.
7. D 【解析】如图,∵ △A B A 是等边三角形,. A B =A A ,∠3=∠4=∠12=60°,∴ ∠2=120°.∵ ∠MON=30°,∴∠1=180°-120°-30°=30°.又∵∠3=60°,∴∠5=180°-60°-30°=90°.∵∠MON=∠1=30°,∴OA =A B =4,∴A B =4.∵△A B A ,△A B A 均为等边三角形,∴∠11=∠10=60°,∠13=60°.∵ ∠4=∠12=60°,∴A B ∥A B ∥A B ,B A ∥ 以此类推： .故选 D.
8. C 【解析】如图,过点 A 作 AH⊥BC于H,延长 AE 交 BC 于 F,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,BC=10, CD是△ABC的角平分线,∴∠ACE=∠FCE.∵AE⊥CD,∴∠AEC=∠FEC=90°.在△ACE和△FCE中,(AgoKBrecons∴△ACE≌△FCE(ASA),∴ AC = CF = 8,AE = FE,∴ BF = BC-CF = 2,∴ S△ABF = 故选C.
9.等边 【解析】∵(a-b) +(a-c) +|b-c|=0,∴a-b=0,a-c=0,b-c=0,∴a=b,a=c,b=c,∴a=b=c,∴这个三角形是等边三角形.
10.54°或72°【解析】∵等腰三角形的一个外角为108°,∴与这个外角相邻的内角是 180°-108°=72°.①72°角是顶角时,
底角为 ②72°角是底角时,底角为 72°,综上所述，其底角的度数为54°或72°.
11.8 cm 【解析】在△COD 和△AOB 中, ∴ △COD≌△AOB(SAS),∴AB=CD=8cm .
12.8 【解析】∵ DE,FG 分别是边 AB,AC 的垂直平分线,∴AE=BE,AG=CG,∴ BC=BE+EG+CG=AE+EG+AG,∴ △AEG的周长=AE+EG+AG=BC=8.
13.50° 【解析】∵ △ABC≌△EDF,∴∠B=∠EDF,∠C=∠F.∵∠EDA=20°,∠F=60°,∴∠B=20°,∠C=60°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°.∵ AD 是∠BAC 的平分线,∴ ∠DAC=
14. 60° 【解析】∵在△ABC 中,∠ACB=90°,E 是AB 的中点,∴ BE= CE.∵ ∠B=20°,∴ ∠ECB =∠B =20°.∵ AD =BD,∠B=20°,∴ ∠DAB =∠B=20°,∴ ∠ADC =∠B+∠DAB=20°+20°=40°,∴∠DFE=∠ADC+∠ECB=40°+20°=60°.
15.12 【解析】∵ BD 是△ABC的中线,∴ CD=AD.∵AE∥CF,△ADE的面积为3,∴ ∠DFC=∠E.在△CDF 和△ADE 中,
,∴S△ABD=S△CBD=2S△CDF=6,∴S△ABC=2S△ABD=12.
16.32 【解析】∵ CB⊥AD,AE⊥CD,..∠ABF=∠CBD=90°,∠FEC=90°.∵ ∠AFB = ∠EFC,∴ ∠A =∠C.在△ABF 和△CBD 中, ∴△ABF ≌ △CBD (ASA),∴BF=BD.∵ BF=BC-CF=16-8=8,∴BD=8,∴图中阴影部分面积
17. x=3或x≥6 【解析】如图,过B 点作 BD⊥AC 于点 D,则△ABD 是含 30°角的直角三角形.再延长 AD 到 E 点,使DE=AD. ①当C 点和 D 点重合时,△ABC 是含 30°角的直角三角形， 这个三角形是唯一的；②当 C 点和 E点重合时，△ABC是等腰三角形，BC=AB=6，这个三角形也是唯一的；③当C 点在线段AE 的延长线上时，即x大于 BE，也就是x>6，这时，三角形ABC也是唯一的.综上所述，∠BAC=30°,AB=6,要使△ABC 唯一确定,那么 BC 的长度x满足的条件是x=3或x≥6.
18.10 【解析】连接AE,过点 E 作 EG⊥AC 交 AC 的延长线于点G,∵D为AB中点,DE⊥AB,∴EA=EB.∵ ∠ACE+∠BCE=180°,∠ACE+∠ECG=180°,∴ ∠ECG=∠BCE.∵ EF⊥BC,EG⊥AC,∴ EG=EF.在 Rt△EFC 和 Rt△EGC 中,(EE=EC,∴ Rt△EFC≌Rt△EGC(HL),∴ CF=CG.同理可得 BF=AG,∴12-CF=8+CF,解得CF=2,∴BF=12-2=10.
19.根 据 题 意 得,法 线 垂 直 于 平 面 镜,且 ∠i =∠r,∴∠ABG=∠FBC.
在△FCB 和△GAB 中, △FCB≌△GAB(ASA),∴AG=CF=1.5m .
20. 连接 PQ,∵ AB=AC,∴ ∠B =∠C.在△BQP 和△CRQ 中,
HABCCCC,∴△ROP≌∠BECEC(SS)∴OP=OR,∴△ROP≌∠CBCEQC
PR的垂直平分线上.
21. (1)∠BAC= 90° 【解析】如图①,易得△ADB≌△CEA(SAS),∴∠BAD=∠ACE,∴∠BAD+∠CAE=∠ACE+∠CAE=90°,∴∠BAC=90°.
(3)如图③所示,点 D 及△ADB,△ADC 即为所求.
22. (1)如图①所示.
(2)∠EAD=∠CAD AD=AD ∠AED ∠B 大边对大角
(3)∠ABC>∠ADC,证明:如图②,连接 BD,∵ AB =AD,∴∠ABD=∠ADB.∵在△BCD 中,CD>BC,∴∠CBD>∠CDB,..∠CBD+∠ABD>∠CDB+∠ADB,∴∠ABC>∠ADC.
23. (1)∵ AB∥CD,∴ ∠ABD =∠CDF.
∵ AE ∥ CF, ∴∠AEB= ∠CFD. 在
△ABE 和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA).
(2)AF=CE.理由如下:如图,∵ △ABE≌△CDF,∴AB=CD.∵DF= BE, ∴ DE = BF. 在 △ABF 和 △CDE 中,
24.(1)∵ AE 是 △ABD 的角平分线,∴ ∠BAD = 2∠BAF.∵∠BFE=45°,∴∠FBA+∠BAF=45°,∴2∠FBA+2∠BAF=90°.∵ AD 是△ABC 的高,∴∠ADB=90°,∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°,∴∠EBF=∠FBA,∴BF平分∠ABE.
(2)如图,过点 F 作 FM⊥BC 于点 M,FN⊥AB 于点 N.∵ BF 平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB,∴ FM=FN,∠FBA=∠FBC.∵S△ABF=S△CBF,∴AB=CB.
∴ △ABF ≌△CFB(SAS),∴∠AFB=∠CFB.∵ ∠BFE=45°,∴∠CFB=∠AFB=135°,∴∠AFC=360°-∠AFB-∠CFB=90°,即∠AFC=90°.
25.(1)①②④ 【解析】若补充条件①或②，可根据已知条件及四边形内角和定理，确定两个四边形四个内角分别相等，再连接AC 和A'C'，利用全等三角形的判定，得两个四边形四条边也分别相等即可；若补充条件③，将四边形分割成2个三角形后，无法用现有条件证明2个三角形分别对应全等；若补充条件④，连接AC和A'C'，可以利用两次“SAS”证明三角形全等，从而证明四边形全等.
(2)答案不唯一,示例:选④,证明:连接AC,A'C',在△ABC与△A'B'C' 中, ∴ △ABC ≌ △A'B'C' (SAS),
∴AC=A'C',∠ACB=∠A'C'B',∠BAC=∠B'A'C'.∵ ∠BCD=∠B'C'D',∴∠BCD-∠ACB=∠B'C'D'-∠A'C'B',∴∠ACD=∠A'C' D'. 在 △ACD 和 △A' C' D' 中, ∴△ACD≌△A'C'D'(SAS),∴∠D=∠D',∠DAC=∠D'A'C',DA=D'A',∴∠BAC+∠DAC=∠B'A'C'+∠D'A'C',即∠BAD=∠B'A'D',∴ 四边形 ABCD 和四边形A'B'C'D'中,AB=A'B',BC=B'C',AD=A'D',DC=D'C',∠B=∠B',∠BCD=∠B'C'D',∠D=∠D',∠BAD=∠B'A'D',∴ 四边形 ABCD≌四边形A'B'C'D'.
26.(1)没有变化.理由：∵点 E，F的速度相同，且同时运动，∴BE=AF.∵ △ABC 和△ADC 都是等边三角形,∴ BC=AC,∠B = ∠ACB = ∠CAF = 60°.
∴ ∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°.
(2)没有变化.理由:由(1)知,△BCE 与△ACF 的面积相等, =定值，∴四边形AECF 的面积没有变化.
(3)∠AFE=∠DCF=∠ACE.理由:∵△ABC 和△ADC都是等边三角形,∴ ∠EAC = ∠FDC = 60°,AB = AC = DC = AD.∵BE=AF,∴ AB-BE =AD-AF,即 AE = DF,∴ △ACE≌△DCF(SAS),∴∠ACE=∠DCF,EC=FC.又∵∠ECF=60°,∴△ECF是等边三角形,∴ ∠EFC=60°,∴∠AFE+∠DFC=120°.∵∠D = 60°,∴ ∠DCF +∠DFC = 120°,∴ ∠AFE =∠DCF=∠ACE.
27.(1)△CBHDD =AHEE =BHAB=DD +EE
理由：如图，过∵DD ⊥直线 a,CG⊥直线 a,EE ⊥ 直线 a, ∴∠DD A=∠AGC=90°,∠CGB=∠BE E=e ∠CBG+∠BCG= 90°.∵ ∠DAC = ∠CBE = 90°, ∴∠DAD +∠CAG=90°,∠CBG+∠E BE = 90°, ∴ ∠ADD =∠CAG,∠BCG=∠EBE .在△ADD 和△CAG中,
△BCG≌△EBE ,∴ BG=EE .由图可得,AB=AG-BG,∴AB=
【解析】如图，∵CG=BE ,CG=D A,∴CG= BC的面积= 故答案为