1.4~1.5同步提优卷 （含答案）2025-2026学年苏科版八年级数学上册

1.4~1.5同步提优卷
满分: 100分 考试时间：60分钟 姓名： 得分：
一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
1.如图,在△ABC中,点D 在边BC上,AB=AD=CD,∠BAD=20°,则∠C的度数是 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.(2024·江阴期中)如图,P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC 于点E,且PE=3,AE=5.有一点F 在边AB上运动，当运动到某一位置时△FAP 的面积恰好是△EAP 面积的2倍，则此时AF的长是 ( )
A.10 B.8 C.6 D.4
3.下面给出几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形.其中是等边三角形的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.(2025·南昌模拟)如图，△ABC是等边三角形，分别以点A 和点 C为圆心，一定的长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接MN，交AC于点D，又以 C为圆心，以CD 的长度为半径画弧交BC的延长线于点E，连接ED 并延长交AB 于点 F，经过此操作后，下列结论错误的是 ( )
A. BD 平分∠ABC B.∠BEF=30°
C. CD=DF D. BE=2BF
5.在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ( )
A.7 B.7或11 C.11 D.7或10
6.如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，点D 在边 BC上运动(不与B，C两点重合),点E 在边AB的延长线上,点 F 在边AC 的延长线上,AD=DE=DF.点 D 在BC边上从B 至C的运动过程中，△BED周长的变化规律为
A.不变 B.一直变小
C.先变大后变小 D.先变小后变大
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
7. 点O是△ABC内一点,且点O 到三边的距离相等,∠A=50°,则∠BOC= .
8.如图,在△ABC中,AB=8,AC=5,直线m是△ABC中BC边的垂直平分线,P 是直线m上的一动点，则△APC 的周长最小值是 .
9.如图,在五边形ABCDE中,△ACD 为等边三角形.若AB=DE,BC=AE,∠E=125°,则∠BAE的度数为 .
10.如图,已知线段AB和直线m,点A在直线m上,且∠BAC≠60°,以AB为一边作等腰△ABC,且使点 C 在直线 m上，这样的等腰三角形的个数为 .
11.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,O 为AB 的中点,点E在BC上,且CE=AC,∠BAE=15°,则∠COE= °.
12.(2024·苏州期中)如图,AC,BD在AB的同侧,点M为线段AB的中点,AC=2,BD=8,AB=8,若∠CMD=120°,则 CD 的最大值为 .
三、解答题(本大题共4 小题，共52分)
13.(10分)现计划在A，B两村之间新建一所学校P，A，B两村坐落在两条相交公路CD，CE旁(如图所示).学校 P 必须满足下列条件：①到两条公路CD，CE 的距离相等；②到A，B两村的距离也相等.请确定该学校P 的位置.(要求尺规作图并保留作图痕迹，不要求写出画法)
14.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,D 是BC的中点,过A点的直线EF∥BC,且AE=AF,求证:DE=DF.
15.(14分)如图，在△ABC 中，AB>AC，∠B=45°，点 D 是 BC 边上一点，且 AD=AC，过点 C 作CF⊥AD 于点 E，与AB 交于点 F。
(1)若∠CAD=α，求∠BCF 的度数(用含α的式子表示)；
(2)求证：CA=CF。
16.(16分)问题背景：
(1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°。探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系。
小王同学探究此问题的方法：延长FD到点 G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 。
(2)如图②，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点 E是线段BC 上的动点，以 AE 为直角边在直线 BC 的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90°，EF，AF 与 CD 的交点分别为 P，Q，连接 EQ。
①求证：QE=BE+DQ；
②过P作PH⊥EQ,垂足为H，求证：PC=PH。
1. B 【解析】∵ ∠BAD=20°,AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=80°.又∵ 故选 B.
2. A 【解析】如图,过点 P 作 PM⊥AB于点 M,∵ 点 P 是∠BAC 的平分线 AD上一点,PE⊥AC 于点 E,且 PE = 3,∴PM=PE=3.∵AE=5,△FAP 的面积恰好是△EAP 的面积的2倍， ∴AF=10. i故选A.
3. B【解析】有两个角为60°的三角形是等边三角形，故①正确；三角形的三个外角都相等，即三个内角也都相等，是等边三角形，故②正确；一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，故③错误；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故④正确.故选 B.
4. C 【解析】根据作图可得,MN垂直平分线段AC,点 D 是AC中点,∵△ABC是等边三角形,∴ BD 平分∠ABC,故 A 选项正确;由条件可知∠CDE+∠CED=∠ACB = 60°,∵ CD = CE,∴∠CDE=∠CED,∴∠CED=30°,即∠BEF=30°,故 B 选项正确;∵ 点 D 是 AC 的中点,.. CD=AD.∵ ∠A =60°,∠ADF=∠CDE=30°,∴∠AFD=180°-∠A-∠ADF=180°-60°-30°=90°.在Rt△ADF中,AD 是斜边,DF 是直角边,∴AD>DF,∴CD>DF,故C 选项错误;∵∠AFD=90°,∴∠BFE=90°,且∠BEF=30°,∴在 Rt△BEF中,BE=2BF,故 D 选项正确.故选 C.
5. B【解析】设这个等腰三角形的腰长为a，底边长为b.∵点D为 AC 的中点,. 根据题意得 或 解得 或 又∵三边长为10，10，7和8，8，11均可以构成三角形，∴这个等腰三角形的底边长为7 或11.故选 B.
6. D 【解析】∵ AD =DE= DF,∴ ∠DAE=∠DEA,∠DAF=∠DFA.∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°,∴ ∠DEA+∠DFA=60°.∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°,∴∠EDB=∠DFA.∵ ∠ACB=∠CFD+∠CDF=60°,∴ ∠CDF =∠BED,且∠EDB=∠DFC,DE=DF,∴ △BDE≌△CFD(ASA),∴ BD = CF,BE = CD,.. △BED的周长=BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD.∵ 点 D在 BC 边上从 B 至 C 的运动过程中，AD 的长先变小后变大，∴ △BED的周长先变小后变大.故选 D.
7. 115° 【解析】如图,∵ ∠A=50°,∴ ∠ABC+ ∵ 点 O 到△ABC 三边的距离相等，∴点 O 是△ABC 内角平分线的交点,∴ 在△OBC 中,∠BOC = 180°-(∠OBC+∠OCB)= 180°-65°=115°.
8. 13 【解析】△APC 的周长 = AP +PC+AC,AC=5,要使△APC 的周长最小,也就是使 AP+PC 最小.如图,连接 BP.∵ 直线m 是△ABC 中 BC 边的垂直平分线,∴BP=CP,∴AP+PC=AP+BP,∴当点P 在AB上时,AP+BP 最小,此时AP+BP=AB=8.△APC的周长最小值是8+5=13.
9.115°【解析】∵ △ACD 是等边三角形,∴ AC=CD =AD,∠CAD=60°.在△ABC 和△DEA 中,AB=DE,BC=EA,AC=DA,∴ △ABC≌△DEA(SSS),∴ ∠BAC = ∠EDA. ∵ ∠E= 125°,∴ ∠EAD+∠EDA = ∠EAD + ∠BAC = 180° - 125°= 55°,∴ ∠BAE=∠CAD+∠EAD+∠BAC=60°+55°=115°.
10.4 【解析】①作AB 的垂直平分线，交直线m 于点 C，符合要求的点有一个.②以A 为圆心，AB 为半径画弧，交直线m于两点，所以符合要求的点有两个.③以 B 为圆心，AB 为半径画弧，交直线m于点 C，符合要求的点有一个.所以符合要求的点共有4个.
11.75 【解析】∵∠ACB=90°,CE=AC,∠BAE=15°,∴∠CAE=45°,∴∠CAO=45°+15°=60°.∵ △ACB 是直角三角形且 OC为斜边上的中线,∴ AO = CO,∴ △CAO 为等边三角形,∴CE=AC=AO=CO,∠ACO=60°,∴ ∠OCE=90°-60°=30°,
12.14 【解析】如图,作点A 关于直线 CM 的对称点A',点 B 关于直线 DM 的对称点 B',连接 CA',MA',MB',A'B',B'D,∵∠CMD= 120°, ∴ ∠AMC + ∠DMB = 60°, ∴ ∠CMA′+ ∴△A'MB'为等边三角形.∵ BD=2+4+8=14,∴ CD的最大值为14.
13.如图所示，点 P 即为所求.【解析】①到两公路CD，CE的距离相等，即作∠DCE的平分线；②到A，B两村的距离相等，即作AB 的垂直平分线.满足①②条件，即∠DCE 的平分线与AB 的垂直平分线的交点 P 即为所求.
14.连接AD.∵ △ABC 中,AB=AC,D 是BC的中点,∴AD⊥BC.∵EF∥BC,∴ AD⊥EF.又 AE =AF,∴ AD 垂直平分 EF,∴ DE=DF.
15. (1)过点 A 作 AG⊥BC 于点 G,如图,∵AD=AC,AG⊥BC,∴ ∠CAG=∠DAG= ∠ADG = 90°. ∵ AG ⊥ BC, ∴∠DAG+∠ADG=90°,∴∠BCF=∠DAG= α.
(2)∵∠B=45°,AG⊥BC,∴∠BAG=45°.∵ ∠BAC =45°+∠CAG,∠AFC=45°+∠BCF,∠BCF=∠DAG,∠DAG=∠CAG,∴∠BAC=∠AFC,∴CA=CF.
16. (1) EF = BE +FD
(2)①延长 QD 至点 G,使得 DG=BE,连接AG,如图①,∵AB=AD,∠B=∠ADG=90°,BE=DG,∴ △ABE≌△ADG(SAS),∴∠BAE=∠GAD,AE=AG.∵△AEF是等腰直角三角形,∠AEF =90°,∴ ∠EAQ =45°,∴ ∠BAE+∠DAQ =45°,∴∠GAQ=∠EAQ=45°,∴△AEQ≌△AGQ(SAS),∴EQ=QG,∴ QE=QG=DG+DQ=BE+DQ.
②过P作 PH⊥EQ,垂足为 H,如图②,∵△ABE≌△ADG,∴∠AEB=∠G.∵△AEQ≌△AGQ,∴∠AEQ=∠G,∴∠AEB=∠AEQ.∵ ∠AEB+∠PEC=∠AEQ+∠QEP=90°,∴∠PEC=∠QEP.∵ PH⊥EQ,PC⊥EC,∴PC=PH.