期中提优卷(A) （含答案）2025-2026学年苏科版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 期中提优卷(A) （含答案）2025-2026学年苏科版八年级数学上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 347.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-26 00:00:00 | ||
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文档简介
期中提优卷(A)
满分: 120分 考试时间：120分钟 姓名： 得分：
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1.(2024·攀枝花中考)2的算术平方根是 ( )
A.2 B.±2 C.
2.(2024·石家庄模拟)如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是 ( )
A. mn D. m，n的大小无法确定
3.如图，已知△ABC≌△EFD，则下列结论不正确的是 ( )
A. FC=BD B. EF=CB C. EF∥AB D.∠A=∠E
4.如图,在△ABC中,AB=AC=12,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长是 ( )
A.20 B.12 C.16 D.13
5.(2025·乌鲁木齐模拟)下列实数中，介于 与 之间的是 ( )
A. B. C. D.π
6.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若 则 ( )
A.76 B.54 C.62 D.81
7.如图,在△ABC中,BC=AC,∠B=35°,∠ECM=15°,AF⊥CM于点F,若AF=2.5,则AB的长为( )
A.5 B.5.5 C.7 D.6
8.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内，若求五边形 DECHF的周长，则只需知道 （ ）
A. △ABC的周长 B. △AFH 的周长
C.△BDE或△FGH 的周长 D.四边形ADEC 的周长
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
9.如图，将两个完全相同的含有30°角的三角尺拼接在一起，则拼接后的△ABD 的形状是 .
10.如图,AB=AE,BC=DE,要使△ABC≌△AED,还需添加的条件是 .(只需填一个)
11.在△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,当a,b,c满足 时,∠B=90°.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直线a∥b,点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC于点E,如果∠1=145°,那么∠2的度数是 .
13.小成编写了一个程序：输入 +立方根→倒数→算术平方根→ ,则x为 .
14.如图,在△ABC 中,∠C=90°,E是AC 上一点,且∠1=∠2,DE 垂直平分AB,垂足是 D,则
15.(2025·贵港模拟)如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100m，以点O 为原点，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二份.一艘海洋科考船在点O 处用雷达发现A，B两处鱼群，那么A，B两处鱼群的距离是 .
16.如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则∠HBC 的度数为 .
17.(2025·盘锦模拟)定义：连接平面内的一点 P与△ABC 的边上的各点的所有线段中，最短的线段的长度为点 P 到△ABC 的距离,记为D(P,△ABC),当点 P 在△ABC 边上时,规定D(P,△ABC)=0.若△ABC是边长为2的等边三角形,则满足D(P,△ABC)≤1的所有点 P覆盖的图形的面积是 .
18. 如图,在 中,AC-AB=4,AD是∠BAC 的平分线,CD⊥AD,若△BCD 面积的最大值为20,此时BC= .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为2m-6，它的平方根为±(m-2)，求这个数.小张的解法如下：
由题意可知，2m-6是m-2或者是-(m-2)两数中的一个，
当2m-6=m-2时,解得m=4.2m-6=2×4-6=2.这个数为4.
当2m-6=-(m-2)时，解得 这个数为
综上可得，这个数为4或
王老师看后说，小张的解法是错误的.你知道小张错在哪里吗 为什么 请你改正.
20.(6分)你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直.当一方着地时，另一方上升到最高点.问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA',BB'有何数量关系 为什么
21.(8分)正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上.
(1)在图①中画一个直角三角形，使它的两边长是无理数，另一边长是有理数；
(2)在图②中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数；
(3)在图③中画一个三角形，使它的三边长分别是
22.(8分)如图,在△ABC中,∠ABC=∠C,∠EBC=∠BED=60°,AD平分. 求证：
23.(8分)《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何.大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其底面的边长AB=1丈(1丈等于10尺)，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分(CD=1尺.将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC=OE.
(1)求水池的深度OD；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长，AB=2a,，芦苇高出水面的部分(CD=n(n24.(8分)如图,在 中， 于点D,( 于点E,点M,N分别是BC,DE的中点.
(1)求证:
(2)若 ,求MN的长.
25.(10分)如图①,已知长方形ABCD, Al °,E为CD边的中点，P为长方形ABCD 边上的动点，动点 P 从点A 出发，沿着A→B→C→E 运动到点 E停止，设点 P 经过的路程为x， 的面积为y.
(1)当x=1时， 当x=5.5时，
(2)如图②，当点 P 在边 BC上时，用含x的代数式表示y.
(3)当P在线段BC上运动时，是否存在点 P，使得 的周长最小 若存在，求出此时 的度数；若不存在，请说明理由.
26.(12分)(1)阅读理解:
如图①,在△ABC中,若AB=8,AC=12,求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE=AD，再连接BE(或将 绕着点D逆时针旋转 得到△EBD),把AB,AC,2AD 集中在△ABE中,体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断.
中线AD 的取值范围是 .
(2)问题解决：
如图②，在 中,D是BC边上的中点,DM⊥DN于点D,DM 交AB 于点M,DN交AC于点N,连接MN,求证:BM+CN>MN.
(3)问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中， ，以C为顶点作一个 角，角的两边分别交AB，AD于M，N两点，连接MN，探索线段BM，DN，MN之间的数量关系，并加以证明.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B C A C A A
1. C 【解析】2 的算术平方根是 .故选 C.
2. A 【解析】如图,EC+DC>DE,∵m=AE+ED+DB+AB,n=AE+EC+CD+DB+AB,∴m3. B 【解析】根据全等关系可得 A,C,BD 正确,EF 和 CB 并非对应边,故 B 错误.故选 B.
4. C【解析】根据等腰三角形“三线合一”的性质得AD⊥BC， 又∵ DE是AC边上的中线,. ∴ △CDE的周长为 DE+EC+CD=6+6+4=16.故选 C.
5. A 【解析 介于 与 之间，符合题意；B. ≈1.732,不符合题意; 不符合题意;D.π>3,不符合题意.故选 A.
6. C【解析】由题意可知 如图,连接BD,在 Rt△ABD 和 Rt△BCD 中, BC ,即 则 故选 C.
7. A 【解析】如图,作CN⊥AB于点 N.在△ABC中,∵AC=BC,∴∠BAC=∠B=35°,∠ACE=2×35°=70°,∴ ∠ACM=70°-15°=55°.又∵CN⊥AB,∴ ∠ACN=180°-35°-90°=55°,∴CA是∠NCM的平分线,∴AN=AF=2.5.再根据等腰三角形“三线合一”的性质得N为AB的中点,∴AB=2AN=5.故选 A.
8. A 【解析】∵∠FHG=60°,∴ ∠AHF+∠CHG=120°,同理∠AHF+∠AFH=120°,∴∠CHG=∠AFH.由题中条件得 FH=GH,∠A=∠C,∴ △CGH≌△AHF(AAS),∴ CH=AF,∴DF+CH+EC=DF+AF+EC=DA+EC.又∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形,∴FH=DE=BD=BE,∴ FH+DE=BD+BE,∴五边形 DECHF 的周长=(DF+CH+EC)+(FH+DE)= DA+EC+BD+BE=AB+BC.又∵△ABC为等边三角形,∴五边形DECHF的周长=2AB, 的周长，故我们只需要知道△ABC的周长即可.故选 A.
9.等边三角形 【解析】∵∠BAD=∠B=∠D=60°,∴△ABD是等边三角形.
10.答案不唯一,如:∠B=∠E 【解析】添加∠B=∠E,可根据SAS判定△ABC≌△AED.
【解析】 时,△ABC 是以AC为斜边的直角三角形，∴当a，b，c满足 时,∠B=90°.
12. 40° 【解析】∵ AB=AC,且∠A=30°,∴ ∠ACB=75°.在△ADE中,∵∠1=∠A+∠AED=145°,∴ ∠AED=145°-30°=115°.∵a∥b,∴∠AED=∠2+∠ACB,∴∠2=115°-75°=40°.
13.±8 【解析】根据题意,得则 x=±8.
14.1:3 【解析】∵ DE 垂直平分 AB,∴ AD=BD,∴ S△ADE=S△BDE.∵ ∠1=∠2,∠C=∠BDE=90°,BE=BE,∴ △BDE≌△BCE(AAS),∴S△BDE=S△BCE,∴S△AED:S△ABC=1:3.
15.500 m 【解析】连接AB，由题意得，同心圆平均分成十二份,则每三等份即为360°÷12×3=90°,∴∠AOB=90°,又1个单位长度代表100m,∴OA=300 m,OB=400 m,∴根据勾股定理可得,在 Rt△AOB中,
16.15° 【解析】∵ MN垂直平分AD,∴DH=AH.由翻折的性质可知AH=AB.∵ 四边形ABCD 是正方形,AB=AD,∴AH=AD=DH,∴△ADH是等边三角形,∴ ∠DAH=60°,∴ ∠HAB=30°.
【解析】当D(P,△ABC)≤1时,图形如图，.
18.20 【解析】如图,延长AB,CD交于点 E.∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠CAD= ∠EAD.∵ CD ⊥ AD,∴ ∠ADC=∠ADE= 90°.在△ADE和 △ADC 中, ∴ △ADE≌△ADC (ASA),∴AC=AE,DE=CD.∵AC-AB=4,∴ AE-AB=4,即 BE=4. ∴当 BE⊥BC 时,S△BDC最大,即S△BDC的最大值为
19.小张错在没有考虑算术平方根的非负性.∵2m-6是某数的算术平方根,∴2m-6≥0,解得m≥3,∴m-2≥1,-(m-2)≤-1,∴2m-6=m-2,解得m=4.2m-6=2,这个数为4.
20. AA'=BB'.理由:∵O是AB',A'B 的中点,∴OA=OB',OA'=OB.在△A'OA 与△BOB'中 ∴ △A'OA≌△BOB'(SAS),∴AA'=BB'.
21. (1)如图①,△ABC 即为所求(答案不唯一).
(2)如图②,△ABC 即为所求(答案不唯一).
(3)如图③,△ABC 即为所求(答案不唯一).
22.如图,延长ED,AD分别交 BC于点 G,F,
∵ ∠ABC=∠C,∴ △ABC为等腰三角形.
∵AD平分∠BAC,
∴AF⊥BC,即∠DFG=90°.
∵ ∠EBC=∠BED=60°,∴ ∠DGF=60°,
∴∠EDA=∠GDF=30°.
23.(1)设芦苇的长度为x尺，则图中OC=OE=x,则OD=(x-1)尺,DE=5 尺.在 Rt△ODE中,∠ODE=90°,由勾股定理得 解得x=13,∴ OD=13-1=12(尺).
答：水池的深度 OD 为12尺.
(2)图中OD=b,CD=n,AB=2a,则OC=OE=b+n,DE=a.在Rt△ODE中,∠ODE=90°,由勾股定理得 解得
24.(1)如图,连接 EM,DM,∵ BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BDC=∠BEC=90°.∵ 在 Rt△DBC和 Rt△EBC中,M 是斜边 BC的中点， ·N是 DE 的中点,∴MN⊥DE.
(2)∵ DM= BC=BM,∴ ∠DBM=∠BDM,同理∠MEC=∠MCE.∵ ∠ECB + ∠DBC = 45°, ∴ ∠EMB + ∠DMC =2(∠ECB+∠DBC)= 90°,∴ ∠EMD=90°.∵ N 是 DE 的中点,
25.(1)1.5 0.75 【解析】当x=1 时,点 P 在AB上,AP= 当x=5.5 时,点 P 在 CE 上,EP=2+3+1-5.5=0.5,AD=3,∴y= ×0.5×3=0.75.
(2)当点 P 在 BC 边上时,BP=x-2,CP=5-x,∴y=2×3-
(3)存在.如图，作点 E 关于 BC 所在直线的对称点 E'，连接AE',交 BC于点 P,此时△APE的周长最小.∵ EC=CE',且PC⊥EE',∴ PE=PE',∴AP+PE=AE'.∵ AE 为定值,∴此时△APE的周长最小.在 Rt△ADE'中,∵AD=DE'=3,∠D=90°,∴ △ADE'是等腰直角三角形,∴∠PAD=45°.
26.(1)2(2)延长ND 至点 F,使 FD=ND,连接BF,MF,如图①所示.同(1),得△BFD≌△CND(SAS),∴ BF =CN.∵ DM ⊥DN,FD=ND,∴MF=MN.在△BFM 中,由三角形的三边关系,得BM+BF>MF,∴BM+CN>MN.
(3)BM+DN=MN.证明如下:
延长AB 至点 E,使BE=DN,连接CE,如图②所示.
∵∠ABC+∠D=180°,∠EBC+∠ABC=180°,∴ ∠EBC=∠D.在△EBC 和△NDC 中,(∠EBCN=∠D,∴ △EBC≌△NDC(SAS),∴DN=BE,CE=CN,∠ECB=∠NCD.∵ ∠BCD=110°,∠MCN= 55°,∴ ∠BCM +∠NCD = 55°,∴ ∠ECM = 55°=∠MCN.在△NCM 和△ECM 中, △ECM(SAS),∴MN=ME.∵ BM+BE=ME,∴BM+DN=MN.
满分: 120分 考试时间：120分钟 姓名： 得分：
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1.(2024·攀枝花中考)2的算术平方根是 ( )
A.2 B.±2 C.
2.(2024·石家庄模拟)如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是 ( )
A. m
3.如图，已知△ABC≌△EFD，则下列结论不正确的是 ( )
A. FC=BD B. EF=CB C. EF∥AB D.∠A=∠E
4.如图,在△ABC中,AB=AC=12,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长是 ( )
A.20 B.12 C.16 D.13
5.(2025·乌鲁木齐模拟)下列实数中，介于 与 之间的是 ( )
A. B. C. D.π
6.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若 则 ( )
A.76 B.54 C.62 D.81
7.如图,在△ABC中,BC=AC,∠B=35°,∠ECM=15°,AF⊥CM于点F,若AF=2.5,则AB的长为( )
A.5 B.5.5 C.7 D.6
8.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内，若求五边形 DECHF的周长，则只需知道 （ ）
A. △ABC的周长 B. △AFH 的周长
C.△BDE或△FGH 的周长 D.四边形ADEC 的周长
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
9.如图，将两个完全相同的含有30°角的三角尺拼接在一起，则拼接后的△ABD 的形状是 .
10.如图,AB=AE,BC=DE,要使△ABC≌△AED,还需添加的条件是 .(只需填一个)
11.在△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,当a,b,c满足 时,∠B=90°.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直线a∥b,点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC于点E,如果∠1=145°,那么∠2的度数是 .
13.小成编写了一个程序：输入 +立方根→倒数→算术平方根→ ,则x为 .
14.如图,在△ABC 中,∠C=90°,E是AC 上一点,且∠1=∠2,DE 垂直平分AB,垂足是 D,则
15.(2025·贵港模拟)如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100m，以点O 为原点，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二份.一艘海洋科考船在点O 处用雷达发现A，B两处鱼群，那么A，B两处鱼群的距离是 .
16.如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则∠HBC 的度数为 .
17.(2025·盘锦模拟)定义：连接平面内的一点 P与△ABC 的边上的各点的所有线段中，最短的线段的长度为点 P 到△ABC 的距离,记为D(P,△ABC),当点 P 在△ABC 边上时,规定D(P,△ABC)=0.若△ABC是边长为2的等边三角形,则满足D(P,△ABC)≤1的所有点 P覆盖的图形的面积是 .
18. 如图,在 中,AC-AB=4,AD是∠BAC 的平分线,CD⊥AD,若△BCD 面积的最大值为20,此时BC= .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为2m-6，它的平方根为±(m-2)，求这个数.小张的解法如下：
由题意可知，2m-6是m-2或者是-(m-2)两数中的一个，
当2m-6=m-2时,解得m=4.2m-6=2×4-6=2.这个数为4.
当2m-6=-(m-2)时，解得 这个数为
综上可得，这个数为4或
王老师看后说，小张的解法是错误的.你知道小张错在哪里吗 为什么 请你改正.
20.(6分)你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直.当一方着地时，另一方上升到最高点.问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA',BB'有何数量关系 为什么
21.(8分)正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上.
(1)在图①中画一个直角三角形，使它的两边长是无理数，另一边长是有理数；
(2)在图②中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数；
(3)在图③中画一个三角形，使它的三边长分别是
22.(8分)如图,在△ABC中,∠ABC=∠C,∠EBC=∠BED=60°,AD平分. 求证：
23.(8分)《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何.大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其底面的边长AB=1丈(1丈等于10尺)，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分(CD=1尺.将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC=OE.
(1)求水池的深度OD；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长，AB=2a,，芦苇高出水面的部分(CD=n(n
(1)求证:
(2)若 ,求MN的长.
25.(10分)如图①,已知长方形ABCD, Al °,E为CD边的中点，P为长方形ABCD 边上的动点，动点 P 从点A 出发，沿着A→B→C→E 运动到点 E停止，设点 P 经过的路程为x， 的面积为y.
(1)当x=1时， 当x=5.5时，
(2)如图②，当点 P 在边 BC上时，用含x的代数式表示y.
(3)当P在线段BC上运动时，是否存在点 P，使得 的周长最小 若存在，求出此时 的度数；若不存在，请说明理由.
26.(12分)(1)阅读理解:
如图①,在△ABC中,若AB=8,AC=12,求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE=AD，再连接BE(或将 绕着点D逆时针旋转 得到△EBD),把AB,AC,2AD 集中在△ABE中,体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断.
中线AD 的取值范围是 .
(2)问题解决：
如图②，在 中,D是BC边上的中点,DM⊥DN于点D,DM 交AB 于点M,DN交AC于点N,连接MN,求证:BM+CN>MN.
(3)问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中， ，以C为顶点作一个 角，角的两边分别交AB，AD于M，N两点，连接MN，探索线段BM，DN，MN之间的数量关系，并加以证明.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B C A C A A
1. C 【解析】2 的算术平方根是 .故选 C.
2. A 【解析】如图,EC+DC>DE,∵m=AE+ED+DB+AB,n=AE+EC+CD+DB+AB,∴m
4. C【解析】根据等腰三角形“三线合一”的性质得AD⊥BC， 又∵ DE是AC边上的中线,. ∴ △CDE的周长为 DE+EC+CD=6+6+4=16.故选 C.
5. A 【解析 介于 与 之间，符合题意；B. ≈1.732,不符合题意; 不符合题意;D.π>3,不符合题意.故选 A.
6. C【解析】由题意可知 如图,连接BD,在 Rt△ABD 和 Rt△BCD 中, BC ,即 则 故选 C.
7. A 【解析】如图,作CN⊥AB于点 N.在△ABC中,∵AC=BC,∴∠BAC=∠B=35°,∠ACE=2×35°=70°,∴ ∠ACM=70°-15°=55°.又∵CN⊥AB,∴ ∠ACN=180°-35°-90°=55°,∴CA是∠NCM的平分线,∴AN=AF=2.5.再根据等腰三角形“三线合一”的性质得N为AB的中点,∴AB=2AN=5.故选 A.
8. A 【解析】∵∠FHG=60°,∴ ∠AHF+∠CHG=120°,同理∠AHF+∠AFH=120°,∴∠CHG=∠AFH.由题中条件得 FH=GH,∠A=∠C,∴ △CGH≌△AHF(AAS),∴ CH=AF,∴DF+CH+EC=DF+AF+EC=DA+EC.又∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形,∴FH=DE=BD=BE,∴ FH+DE=BD+BE,∴五边形 DECHF 的周长=(DF+CH+EC)+(FH+DE)= DA+EC+BD+BE=AB+BC.又∵△ABC为等边三角形,∴五边形DECHF的周长=2AB, 的周长，故我们只需要知道△ABC的周长即可.故选 A.
9.等边三角形 【解析】∵∠BAD=∠B=∠D=60°,∴△ABD是等边三角形.
10.答案不唯一,如:∠B=∠E 【解析】添加∠B=∠E,可根据SAS判定△ABC≌△AED.
【解析】 时,△ABC 是以AC为斜边的直角三角形，∴当a，b，c满足 时,∠B=90°.
12. 40° 【解析】∵ AB=AC,且∠A=30°,∴ ∠ACB=75°.在△ADE中,∵∠1=∠A+∠AED=145°,∴ ∠AED=145°-30°=115°.∵a∥b,∴∠AED=∠2+∠ACB,∴∠2=115°-75°=40°.
13.±8 【解析】根据题意,得则 x=±8.
14.1:3 【解析】∵ DE 垂直平分 AB,∴ AD=BD,∴ S△ADE=S△BDE.∵ ∠1=∠2,∠C=∠BDE=90°,BE=BE,∴ △BDE≌△BCE(AAS),∴S△BDE=S△BCE,∴S△AED:S△ABC=1:3.
15.500 m 【解析】连接AB，由题意得，同心圆平均分成十二份,则每三等份即为360°÷12×3=90°,∴∠AOB=90°,又1个单位长度代表100m,∴OA=300 m,OB=400 m,∴根据勾股定理可得,在 Rt△AOB中,
16.15° 【解析】∵ MN垂直平分AD,∴DH=AH.由翻折的性质可知AH=AB.∵ 四边形ABCD 是正方形,AB=AD,∴AH=AD=DH,∴△ADH是等边三角形,∴ ∠DAH=60°,∴ ∠HAB=30°.
【解析】当D(P,△ABC)≤1时,图形如图，.
18.20 【解析】如图,延长AB,CD交于点 E.∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠CAD= ∠EAD.∵ CD ⊥ AD,∴ ∠ADC=∠ADE= 90°.在△ADE和 △ADC 中, ∴ △ADE≌△ADC (ASA),∴AC=AE,DE=CD.∵AC-AB=4,∴ AE-AB=4,即 BE=4. ∴当 BE⊥BC 时,S△BDC最大,即S△BDC的最大值为
19.小张错在没有考虑算术平方根的非负性.∵2m-6是某数的算术平方根,∴2m-6≥0,解得m≥3,∴m-2≥1,-(m-2)≤-1,∴2m-6=m-2,解得m=4.2m-6=2,这个数为4.
20. AA'=BB'.理由:∵O是AB',A'B 的中点,∴OA=OB',OA'=OB.在△A'OA 与△BOB'中 ∴ △A'OA≌△BOB'(SAS),∴AA'=BB'.
21. (1)如图①,△ABC 即为所求(答案不唯一).
(2)如图②,△ABC 即为所求(答案不唯一).
(3)如图③,△ABC 即为所求(答案不唯一).
22.如图,延长ED,AD分别交 BC于点 G,F,
∵ ∠ABC=∠C,∴ △ABC为等腰三角形.
∵AD平分∠BAC,
∴AF⊥BC,即∠DFG=90°.
∵ ∠EBC=∠BED=60°,∴ ∠DGF=60°,
∴∠EDA=∠GDF=30°.
23.(1)设芦苇的长度为x尺，则图中OC=OE=x,则OD=(x-1)尺,DE=5 尺.在 Rt△ODE中,∠ODE=90°,由勾股定理得 解得x=13,∴ OD=13-1=12(尺).
答：水池的深度 OD 为12尺.
(2)图中OD=b,CD=n,AB=2a,则OC=OE=b+n,DE=a.在Rt△ODE中,∠ODE=90°,由勾股定理得 解得
24.(1)如图,连接 EM,DM,∵ BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BDC=∠BEC=90°.∵ 在 Rt△DBC和 Rt△EBC中,M 是斜边 BC的中点， ·N是 DE 的中点,∴MN⊥DE.
(2)∵ DM= BC=BM,∴ ∠DBM=∠BDM,同理∠MEC=∠MCE.∵ ∠ECB + ∠DBC = 45°, ∴ ∠EMB + ∠DMC =2(∠ECB+∠DBC)= 90°,∴ ∠EMD=90°.∵ N 是 DE 的中点,
25.(1)1.5 0.75 【解析】当x=1 时,点 P 在AB上,AP= 当x=5.5 时,点 P 在 CE 上,EP=2+3+1-5.5=0.5,AD=3,∴y= ×0.5×3=0.75.
(2)当点 P 在 BC 边上时,BP=x-2,CP=5-x,∴y=2×3-
(3)存在.如图，作点 E 关于 BC 所在直线的对称点 E'，连接AE',交 BC于点 P,此时△APE的周长最小.∵ EC=CE',且PC⊥EE',∴ PE=PE',∴AP+PE=AE'.∵ AE 为定值,∴此时△APE的周长最小.在 Rt△ADE'中,∵AD=DE'=3,∠D=90°,∴ △ADE'是等腰直角三角形,∴∠PAD=45°.
26.(1)2
(3)BM+DN=MN.证明如下:
延长AB 至点 E,使BE=DN,连接CE,如图②所示.
∵∠ABC+∠D=180°,∠EBC+∠ABC=180°,∴ ∠EBC=∠D.在△EBC 和△NDC 中,(∠EBCN=∠D,∴ △EBC≌△NDC(SAS),∴DN=BE,CE=CN,∠ECB=∠NCD.∵ ∠BCD=110°,∠MCN= 55°,∴ ∠BCM +∠NCD = 55°,∴ ∠ECM = 55°=∠MCN.在△NCM 和△ECM 中, △ECM(SAS),∴MN=ME.∵ BM+BE=ME,∴BM+DN=MN.
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