第3章 勾股定理单元提优卷 (B) （含答案）2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第3章 勾股定理单元提优卷 (B)
满分: 120分 考试时间：120分钟 姓名： 得分：
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( )
A. ,, B.9,12,15
C. , , D.3a,4a,5a(a>0)
2. 在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,则点C 到直线AB 的距离是 ( )
B.3 C. D.2
3.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,下列说法错误的是 ( )
A.若∠C-∠B=∠A,则△ABC 是直角三角形
B.若 则△ABC 是直角三角形
C.若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC是直角三角形
D.若 则△ABC不是直角三角形
4.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是 ( )
A. AB,CD,EF B. AB,CD,GH C. AB,EF,GH D. CD,EF,GH
5.如图，王大伯家屋后有一块长12m、宽8m的长方形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用 ()
A.3m B.5m C.7m D.9m
6.如图所示的圆柱形容器，高为1.2m，底面周长为1m ，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为(容器厚度忽略不计) ( )
A.1.8m B.1.5m C.1.2m D.1.3m
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,将边BC沿CN折叠,使点B落在AB上的点 B'处，再将边AC沿 CM 折叠，使点A 落在 CB'的延长线上的点A'处，两条折痕与斜边 AB分别交于点N，M，则线段A'M的长为 ( )
A. B. C.
8. 如图,在 Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点 D,E分别在边 BC 及其延长线上, F 为△ABC外一点,且 FB⊥BC,FA⊥AE,给出下列结论:①FA=AE; 其中正确的是（ ）
A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
9.观察下面几组勾股数,并寻找规律:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;请你写出以上规律的第④组勾股数： .
10.已知直角三角形的两边长分别为4和5，则第三边的平方为 .
11.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足( 则△ABC 是 三角形.
12.如图,AC⊥CE,AD=BE=13,BC=5,DE=7,则AC= .
13.如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边向外侧作正方形，面积分别记为 若 则图中阴影部分的面积为 .
14.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5cm，高是12cm，上底面中心有一个小圆孔，一条长为18cm的直吸管一端到达底部，则该吸管留在罐外的最短长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)为 cm.
15.某航空公司经营中有A，B，C，D这四个城市之间的客运业务，已知各城市之间的直线距离：A-B为2 000 km;A-C为1600 km;A-D为2500 km;B-C为1200 km;C-D 为900km,飞机在两城市之间的航线均视为直线，则B和D 两个城市之间的直线距离为 .
16.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD平分∠BAC交BC于点D,分别以点A 和点C为圆心,大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和点 N，作直线 MN，交AD 于点 E，则DE 的长为 .
17.(2023·南京中考)我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何 ”问题大意：在△ABC中,AB=13里,BC=14里,AC=15里,则△ABC的面积是 平方里.
18.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为BC边上一动点,过线段AP上的点M作DE⊥AP,交边AB 于点D,交边AC于点E,N为DE的中点.若四边形ADPE 的面积为18，则AN的最大值为 .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)如图，要在一个高为3米、长为5米的楼梯表面铺地毯，若楼梯宽为1.5米，地毯的价格为20元/平方米，请你为该楼梯铺地毯做出预算.
20.(6分)在 中，AB=10,AC=17,,BC边上的高AD=8,求BC的长.
21.(6分)(1)如图①,分别以 三边为边向外作三个半圆，其面积分别用， 表示，请你确定 之间的关系并加以证明；
(2)如图②，分别以 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 表示，请你确定 之间的关系并加以证明.(已知等边三角形的面积等于 边长 )
22.(8分)某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地.如图，已知AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m,，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，便快速确定了.
(1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定 的依据；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元.
23.(8分)我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1)写出一个你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称： .
(2)如图①，请你在图中画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形OAMB.
(3)如图②,以. 的边AB为边作正三角形ABD， 且BE=BC,连接DE,DC, 求证： 即四边形ABCD 是勾股四边形.
24.(10分)在 中，BC=a,AC=b,AB=c,若 ，如图①，则有 若 为锐角三角形，小明猜想： 理由：如图②，过点 A 作 于点 D，设CD=x.在 中， 在 中， 整理得 ∴当 为锐角三角形时， ∴小明的猜想是正确的.
(1)请你猜想，当 为钝角三角形且 为钝角时， (填“>”“<”或“=”);
(2)根据图③证明你猜想的结论是否正确.
25.(10分)(1)问题背景:在△ABC中,AB,BC,AC三边的长分别为 此三角形的面积为 .小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示.这样不需求△ABC的高而借用网格就能计算出它的面积，请你将△ABC的面积直接填写在上面的横线上.
(2)思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫作方格构图法.如果△ABC 三边的长分别为 请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积.
(3)探索创新：在图③的长方形网格中(每个小长方形的长为m、宽为n)，若△ABC三边的长分别为 且m≠n)，试运用构图法画出相应的△ABC 的示意图，并求出这个三角形的面积.
26.(12分)如图①,在长方形ABCD中,AB=5,AD=12,E为AD 边上一点,DE=4,动点P从点B出发，沿B→C→D以2个单位长度/秒的速度做匀速运动，设运动时间为t秒.
(1)当t为 秒时,△ABP 与△CDE全等;
(2)如图②,EF为 的高，当点P在BC边上运动时，EF 的最小值是 ；
(3)当点 P 在 EC的垂直平分线上时，求出t的值.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D A A D B A
1. A 【解析 所以 , , 不能作为直角三角形的三边，符合题意； 所以9，12，15能作为直角三角形的三边，不符合题意；( ，所以 , , 能作为直角三角形的三边，不符合题意；I 所以3a,4a,5a能作为直角三角形的三边，不符合题意.故选 A.
2. C 【解析】过点C作CD⊥AB于点D,∵∠ACB=90°,AC=3, 解得CD= .故选C.
3. D 【解析】A.∠C-∠B=∠A,即∠A+∠B=∠C,又∵∠A+∠B+∠C=180°,则∠C=90°,那么△ABC 是直角三角形,说法正确； 即 ，那么△ABC是直角三角形且∠A =90°,说法正确;C. ∠A : ∠B : ∠C=1:2:3,又∵∠A+∠B+∠C=180°,则∠C=90°,则△ABC 是直角三角形,说法正确；D. 但是 则△ABC 可能是直角三角形，故原说法错误.故选 D.
4. A【解析】设小正方形的边长为1，则 ∴能构成一个直角三角形三边的线段是AB，CD，EF.故选 A.
5. A 【解析】如图,连接OA,交⊙O 于点 E,在 Rt△OAB 中, 又OE=OB=6m,∴AE=OA-OE=4m.而3<4.故选 A.
6. D【解析】如图，将容器侧面展开，作点A 关于 EF的对称点A',连接A'B,则A'B 即为最短距离.由题意得A'D=0.5m , 1.3m .故选 D.
7. B 【解析】∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,∴AB =AC +BC =100,∴ AB=10.由折叠可得, 由折叠得,AM=A'M,∠BCN=∠B'CN,∠ACM=∠A'CM.∵ ∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°,∴∠B'CN+∠A'CM=45°,即∠MCN=45°,∴∠NMC=∠MCN= 故选 B.
8. A 【解析】∵AB=AC,∠BAC=90°,∴ ∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ACE=180°-∠ACB= 135°.∵ FB ⊥BC,∴ ∠FBE = B 90°,∴∠ABF=∠ABC+∠FBE = 135°,∴ ∠ABF=∠ACE.∵ FA⊥AE,∴∠FAE=90°=∠BAC,∴∠FAE-∠FAC=∠BAC-∠FAC,即∠CAE=∠BAF.在△ACE 和△ABF中,
∴△ACE≌△ABF(ASA),∴ FA=EA,故①正确;连接DF,如图,∵ △ACE≌△ABF,∴ BF=CE,在 Rt△BDF中 ∴DE=DF.∵ AE =AF,AD=AD,∴ △ADE≌△ADF(SSS),∴∠DAE=∠DAF,∴∠DAE= ∠EAF=45°,故②正确；延长AD交EF于点H,如图,∵AE=AF,∠EAD=∠FAD,∴AH⊥ 故③正确;在 Rt△EBF 中, BF,∴BE +CE =EF .∵ AE=AF,∠FAE=90°,∴ EF =AE + 故④正确.综上所述，正确的有①②③④.故选 A.
9.9,40,41 【解析】∵
10.9或41 【解析】①当长为5的边为直角边时，第三边长的平方为 ；②当长为5的边为斜边时，第三边长的平方为
11.等腰直角 【解析】· 且 是等腰直角三角形.
12.12 【解析】由勾股定理得EC=12,故CD=12-DE=12-7= .
13. 【解析】在 Rt△ABC中，由勾股定理得 即 由题图可知，阴影部分 的面积 阴影部分的面积为
14.5【解析】如图所示，O为底面圆的圆心，∴OB=12 cm,AO=5cm,∠AOB=90°.当吸管底部在点 A 时，吸管在罐内的长度最长，即留在外面的长度最短，由勾股定理得， 169,∴AB=13 cm,∴ 留在外面的长度最短为18-13=5(cm).
15. 1500k m 【解析】∵1600=4×400,1200=3×400,2000=5×400,得 、90°.又∵2500=1600+900,即AD=AC+CD,∴A,C,D在一条直线上，可画出具体图形，得. ,得BD=1500.
16. 【解析】如图所示，连接CE，由题意得MN是AC 的垂直平分线,∴ AE=CE.∵ AB =AC=5,BC=6,AD 平分∠BAC,∴BD=CD= BC=3,AD⊥BC,∴AD =AB -BD =16,∴AD=4.设 DE=x,则CE=AE=AD-DE=4-x,在Rt△DEC中,( 解得
17.84 【解析】如图,过点A作AD⊥BC于点D,设BD=x里,则CD=(14-x)里.在 Rt△ABD 中, 在 Rt△ADC中， 解得x=5,∴在 Rt△ABD 中,由勾股定理得AD=12里,∴ △ABC 的面积 (平方里).
18. 【解析】 ·DE=36.在△ABC中,满足AB +AC =BC ,∴∠BAC=90°.∵ N为 DE的中点,.. AN= ∴ DE 最大时,AN 最大.又∵ AP·DE=36,∴ AP 最小时,DE最大,而 AP⊥BC 时,AP 最小,此时
19.如图所示，在 Rt△ABC中，由勾股定理可知,BC=4米.地毯的总长=BC+AC=4+3=7(米),地毯的面积=7×1.5=10.5(平方米),地毯的总价=20×10.5=210(元).
20.如图①,当点 D 在线段 BC 上时,∵在Rt△ACD中, ∴ CD=15.∵ 在 Rt△ABD 中, AB = 10,AD = 8,∴ BD =AB -AD =36=6 ,∴BD=6.∴BC=BD+CD=21.如图②,当点D在线段CB的延长线上时,同理可得CD=15,BD=6,∴BC=CD-BD=9.综上所述,BC的长为21 或9.
证明如下:在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,设 BC=a,AC=b,AB=c,则
证明如下:在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,设 BC=a,AC=b,AB=c,则
22.(1)测量的是点A，C之间的距离，依据是勾股定理的逆定理.
(2)如图,连接 AC.∵ ∠ABC = 90°,AB = 由勾股定理，得 得AC= 15 m.又∵ AD=8 m,CD= 17m,∴AC +AD =CD ,∴ △ACD 是直角三角形且∠DAC=90°, ..绿化这片空地的费用为114×150=17 100(元).
23.(1)正方形(答案不唯一)
(2)如图所示.
(3)连接CE.∵ BC=BE,∠CBE=60°,∴△BCE 是等边三角形.∵∠ABD=∠CBE=60°,∴∠ABD+∠CBD=∠CBE+∠CBD,即∠ABC = ∠DBE.在 △ABC 和 △DBE 中, ∴ △ABC≌△DBE(SAS),∴AC=DE.∵ △BCE 是等边三角形,∴BC=CE,∠BCE=60°.∵ ∠DCB=30°,∴ ∠DCE=90°,∴在Rt△DCE 中, 即四边形ABCD 是勾股四边形.
24.(1)<
(2)如图所示,过点 A 作 BC 的垂线交 BC 的 A延长线于点 D，
设CD=x,∵在 Rt△ACD 中, ∵在Rt△ABD 中, 猜想正确.
25.(1) 【解析】根据题意，得
(2)根据题意，得 画图如图①.(画图合理即可)
根据题意，
(3)根据题意， 画图如图②.(画图合理即可)
根据题意， 3m×2n=5mn.
26.(1)2 【解析】当△ABP 与△CDE全等时,∵AB=CD,∠B=∠D=90°,∴BP=DE=4,∴t=BP/ = =2(秒).
【解析】 F,∴AP 最大时,EF最小,即当点 P 运动到点C时，EF 最小，如图①所示，此时由勾股定理得， 得AP=AC=13.由 解得
(3)∵点P在EC的垂直平分线上,∴PC=PE.如图②,当点 P在 BC上时,过点P作PG⊥AD 于点G,则PG=5,AG=BP=2t,PC=12-2t,EG=8-2t,在 Rt△PGE中, 解得 当点P在 CD上时，记为P',P'E=P'C=2t-12,P'D=17-2t.在Rt△EDP'中, 解得 综上所述，当点 P在EC的垂直平分线上时，t 的值为