第3章 勾股定理单元提优卷 (A) （含答案）2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第3章 勾股定理单元提优卷 (A)
满分: 120分 考试时间：120分钟 姓名： 得分：
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1.下列各组数中，是勾股数的一组为 ( )
A.2,2, B.1, ,2 C.4,5,6 D.6,8,10
2.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD 使其不变形.若AF=1米，AE=2米，则木条EF= ( )
A. B. C. D.
3.如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的周长为 ( )
A.24厘米 B.12厘米
C.9厘米 D.6厘米
4.在△ABC中, 则两直角边a，b的关系是 ( )
A. ab
C. a=b D.以上三种情况都有可能
5.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ( )
6.如图,已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°,且AB=CD=3,BC=4,DE=EF=2,则A,F两点间的距离是 ( )
A.14 B.9 C.13 D.10
7.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长满满三，点，B，C 都在格点上，AD⊥BC 于点 D，则AD的长为 ( )
A.1 B.2 C. D.
8. a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高，给出下列说法：①三个内角的度数之比为3：4：5时，能组成一个直角三角形；②a ，b ，c 能组成一个三角形；( 能组成直角三角形；④c+h，a+b，h能组成直角三角形.其中正确结论的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
9.甲、乙两人同时从同一个地点出发，甲往北偏东30°方向走了3.6km，乙往北偏西60°方向走了4.8km,这时甲、乙两人相距 km.
10.如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为S ，S 的两个正方形所拼成的.若直角三角形的斜边长为2，则 的值为 .
11.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在勾股章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何 ”翻译成数学问题是：如图所示，在 中，∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.若设AC=x,则可列方程为 .
12.如图,∠MCF=∠FCD,∠MCE=∠ECB,EF=7,则
13.已知三角形的三边长为 ，4，5，则此三角形的面积为 .
14.定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,CD 与CE 分别为斜边AB 上的高线与中线,则△ABC中AB边的“中偏度值”为 .
15. 如图,AB,BC,CD,DE是四根长度均为5cm 的火柴棒,点A,C,E 共线.若 则
16.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AB=5,满满=,则BD 的长是______ .
17.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=3,CB=4,点 D 在边 BC上.将△ACD沿AD 折叠,使点 C落在点 C'处,连接BC',则 BC'的最小值为 .
18.如图，已知Rt△ABC，斜边为AB，以Rt△ABC 的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN,正方形 BCPQ,正方形 ACEF,且边 EF 恰好经过点 N,若 则
三、解答题(本大题共9小题，共66分)
19.(6分)新情境唐代诗人王之涣说“欲穷千里目，更上一层楼”，下面我们利用数学知识计算，到底要登上多少层楼才能“穷千里目”.如图，圆弧代表地球剖面的一部分，圆心为O，AB为直立于地面的某高层建筑，AC 为站在楼顶处的视线，与地球半径OB，OC 构成了 Rt△AOC.设AC=500km(即1000里),取地球半径为6400 km,楼AB 每层高约3.2m.求楼AB 至少要多少层才能“穷千里目”.(参考数据：
20.(6分)如图,已知在 中,AD⊥BC于 D,若 求证： 是直角三角形.
21.(6分)如图,在 中， C是 BD上一点，已知BC=9,AB=17,AC=10,,求AD的长.
22.(6分(1)在如图①的数轴上作出表示 的点.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)正方形网格中的每个小正方形边长都是1，在图②中以AB 为一边，画一个边长均为无理数的直角三角形.(说明：直角三角形的顶点均为小正方形的顶点)
23.(6分)(2024·扬州月考)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
①如果 k是大于1的奇数，那么k， 是一组勾股数；
②如果k是大于2的偶数，那么k， 是一组勾股数.
请你任选其中一个法则证明它的正确性.
24.(8分)如图,在 中，AB=3,BC=4,动点 P 从点A 出发沿AC 向终点 C 运动，同时动点 Q从点B 出发沿 BA向点A 运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AB返回.点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q 也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t(t>0)秒.
(1)设 的面积为 S，请用含有t的代数式来表示S；
(2)线段 PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点 C时，求AQ 的长.
25.(8分)如图,正方形ABCD 的边长为6,E,F分别是AB,BC边上的点,且 将 绕点 D 逆时针旋转 得到
(1)求证:EF=FM;
(2)当.AE=2时，求EF的长.
26.(10分)我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图①的“弦图”(史称“赵爽弦图”).
(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
(2)如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓(粗线)的周长为24，OC=3，求该“勾股风车”图案的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形(外围四个和内部四个)紧密地拼接，记图中正方形ABCD,正方形 EFGH,正方形 MNKT 的面积分别为 若 则
27.(10分)(1)如图①所示,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,将△BAP绕B点顺时针旋转 得 连接PQ.若 证明:∠PQC=90°.
(2)如图②所示，P是等腰直角三角形 )内的一点,连接PA,PB,PC,将△BAP绕 B 点顺时针旋转 得 ,连接PQ.当PA,PB,PC满足什么条件时,∠PQC=90° 请说明理由.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B C D D B B
1. D 【解析】 且6,8,10:均为正整数，所以6，8，10是一组勾股数.故选 D.
2. B【解析】 (米),故选B.
3. B 【解析】如图,由题意得,AB=3厘米,AC=5厘米,∴ 厘米，∴直角三角形的周长为3+4+5=12(厘米).故选 B.
4. C 【解析】∵在△ABC 中, ∴a =b .∵a>0,b>0,∴a=b.故选 C.
5. D【解析】A.∵两个以a和b为直角边的三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形的面积的和等于上底为a、下底为b、高为(a+b)的梯形的面积， b)(a+b),整理得 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B.∵以a与b为两直角边的四个全等三角形的面积与边长为c的小正方形的面积的和等于以(a+b)为边的正方形的面积，∴ 整理得 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C.∵以a与b为两直角边的四个全等三角形的面积与边长为(b-a)的小正方形的面积的和等于以c为边的正方形的面积， 整理得 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D.∵四个小图形的面积和等于大正方形面积，∴ 根据图形能证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意.故选 D.
6. D 解析】如图,过点 F作 FG⊥AB交AB 的延长线于点 G,则AG=AB+ A7. B【解析】由勾股定理和题图得 得 ∴BC = AC +AB , ∴∠BAC= 90°.∵ AB · AC = 100, 同时有 解得AD=2.故选 B.
8. B 【解析 最大角并不是90°，故①错误； 两边之和等于第三边，∴a ，b ，c 不能组成一个三角形，故②错误；由题意得 由勾股定理逆定理得能组成直角
故④正确.故选 B.
9.6【解析】根据勾股定理，可得甲、乙相距
10.4【解析】∵直角三角形的斜边长为2,.
【解析】由题意得AB=10-x,在 Rt△ABC中，由勾股定理得；
12.49 【解析】∵ ∠BCD=180°,∠MCF =∠FCD,∠MCE=
13.10 【解析】∵ 此三角形的.形状为直角三角形，∴这个三角形的面积
14. 【解析】∵ ∠ACB = 90°, AC = 4, BC = 3,∴ AB = 解得 ∵CE为 Rt△ACB 斜边 AB 上的中线,AB=5,∴BE= 即点 E 到 CD 的距离为 ∴ △ABC中 AB 边的“中偏度值”为
15.12 【解析】如图,作BG⊥AC,DH⊥CE,垂足分别为 G,H,∴∠BGC=∠DHC=90°,∴∠BCG+∠CBG=90°.∵ CD ⊥ BC, ∴ ∠BCD = 90°,∴∠BCG+∠DCH=90°,∴∠CBG=∠DCH.在△BCG 和△CDH中，CG=DH.∵ AB=BC,BG⊥AC,AC=6cm,∴CG= AC=3cm,∴CG=DH=3c m.在 Rt△BCG 中,由勾股定理得. ∴BG=4 cm,∴ CH=4 cm.∵ CD=DE,DH⊥CE,∴CH=EH,∴CE=CH+EH=8cm,∴S△CDE= CE·DH=
16.2.5 【解析】如图,过点 D 作 DE⊥AB 于 AE.在△ABC 中,∠C= 90°,AB=5,AC=3, ∵ AD 平分∠BAC,∴DE=DC.∵ AC · 即 CD,解得CD=1.5,∴BD=4-CD=4-1.5=2.5.
17.2 【解析】∵∠C=90°,CA=3,CB=4,∴AB=5,由折叠的性质可知AC'=AC=3.∵ BC'≥AB-AC',∴当A,C',B三点依次在同一条直线上时，BC'取最小值，最小值即为BC'=AB-AC'=5-3=2.
18.6 【解析】如图,∵△ABC 是直角三角形,且∠ACB=90°,四边形 ACEF 和四边形 ABMN 都是正方形,∴ ∠ACB =∠F=90°,AC=AF,AB=AN,∴ Rt△ABC≌Rt△ANF(HL),∴S =S = 正方形ABMN=S正方形ACEF+S正方形BCPQ,即 即
19. 在 Rt△AOC中,AC=500 km,OC=6400 km,
∵OB=6400 km,∴AB=20 km=20 000 m,
∴ 楼AB 的层数为20 000÷3.2=6 250.
答：至少要6250层才能“穷千里目”.
20.∵在Rt△ABD中,∠ADB=90°,
，同理可得.
又
∴ △ABC是直角三角形.
21.设CD=x,则BD=BC+CD=9+x.在△ACD 中,∵ ∠D=90°, 在△ABD 中,∵ ∠D=90°,∴ AD =AB - 即 解得x= .故AD的长为8.
22. (1)如图①,点A 表示的数为
(2)如图②,△ABC 即为所求作(答案不唯一).
23.选择法则①，证明过程如下：
k是大于1 的奇数，∴法则①成立.
选择法则②，证明过程如下：
k 是大于2的偶数，∴法则②成立.
24.(1)如图,连接CQ,∵在Rt△ABC中,∠B= A90°,AB = 3,BC = 4,∴ AC = AB +BC ,∴AC=5.当0(2)如图，∵QP 的垂直平分线过点C,∴CP=CQ,当025.(1)在正方形ABCD中,∠A=∠DCB=90°=∠ADC=∠B,AB=BC=6.根据旋转的性质,可知:△DAE≌△DCM,∴∠A=∠DCM=90°,DE=DM,∠ADE=∠CDM,∴∠DCB=∠DCM=90°,∴ 点 F,C,M 三点共线.∵ ∠EDF =45°,∴ ∠ADE+∠FDC=45°.∵∠ADE=∠CDM,∴∠FDC+∠CDM=∠FDM=45°,∴∠EDF= ∠FDM = 45°. 又∵ DE = DM,DF = DF,∴ △EDF≌△MDF(SAS),∴EF=FM.
(2)设EF=MF=x,∵AB=BC=6,AE=2,∴BE=AB-AE=6-2=4,AE=CM=2,∴ FC=FM-CM=x-2,∴ BF=BC-FC=6-(x-2)=8-x.∵∠B=90°,∴在 Rt△BEF 中, 解得x=5,即EF=5.
26. (1) 由题图①可知 S大正方形 = 4S△ABC+S小正方形, ∵S大正方形= 即
(2)已知四个全等的直角三角形，外围轮廓(粗线)的周长为24,OC=3,设AC=x,∴4AB+4AC=24,即4AB+4x=24,∴AB=6-x.在 Rt△OAB 中,AB =OB +OA ,OB=OC=3,OA= 解得x=1,即/AC=1, “勾股风车”图案的面积是6×4=24.
(3)5【解析】根据题意设AE=m,AH=n,∴ S =4×
27. (1) 由旋转得 △BAP ≌△BCQ,∴ PA = CQ, PB = BQ.又∵∠PBQ=60°,∴ △PBQ 为等边三角形,∴ PB = PQ.又∵ 且 为直角三角形,∴∠PQC=90°.
(2)当 PA,PB,PC满足 时,∠PQC=90°,理由:由旋转得△BAP≌△BCQ,∴ PA = QC,PB = BQ.又∵∠PBQ=90°,∴△PBQ 为等腰直角三角形,∴ ,要使得∠PQC=90°,则( 即 故当PA,PB,PC满足 时,∠PQC=90°.