3.3 幂函数 教学设计

3.3 幂函数
教材分析：
幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质.
教学目标与核心素养：
课程目标
1
1、理解幂函数的概念，会画幂函数 y=x，y=x2 ，y=x3 ，y=x－1 ，y=x2 的图象；
2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；
3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．
数学学科素养
1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；
2.逻辑推理：常见幂函数的性质；
3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；
4.数据分析： 比较幂函数大小；
5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。教学重难点：
重点：常见幂函数的概念、图象和性质；
难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．
课前准备：
教学方法： 以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：
一、 情景导入
学生阅读课本89 页五个实例，求解析式？观察五个解析式有什么共同特征？
问题 1：如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 w千克，那么她需要付的钱数 p=w元，这里 p 是 w 的函数.
问题 2：如果正方形的边长为 a，那么正方形的面积 S=a2 ，这里 S是 a 的函数.
问题 3：如果正方体的边长为 a，那么正方体的体积 V=a3 ，这里 V是 a 的函数.
问题4：如果正方形场地的面积为 S，那么正方形的边长 a=S ，这里 a是 S 的函数.
问题 5：如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么他骑车的平均速度 v=t－1 km/s，这里 v是 t 的函数.
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、 预习课本，引入新课
阅读课本89-90 页，思考并完成以下问题
1. 幂函数是如何定义的？
2. 幂函数的解析式具有什么特点？
3. 常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、 新知探究
1．幂函数
一般地,函数 y=xα叫做幂函数,其中 x 是自变量, α是常数.
2、幂函数的性质
幂函数 y=x y =x2 y =x3 y y =x-1
定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0) ∪ (0,+∞)
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0) ∪ (0,+∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数
单调性 在 R 上 是增函数 在 [0,+∞) 上 是增 函数 , 在(-∞,0] 上 是减函数 在 R 上 是增函数 在 [0,+∞) 上 是增函数 在(0,+∞)上是减函数 , 在(-∞,0)上是减函数
公共点 (1, 1)
四、典例分析、举一反三
题型一 幂函数的概念
例 1 函数 f(x)=(m2-m-5)xm-1 是幂函数,且当 x ∈ (0,+ ∞)时,f(x)是增函数,试确定 m 的值.
【答案】m=3
【解析】根据幂函数的定义,得 m2-m-5=1,解得 m=3 或 m=-2.
当 m=3 时,f(x)=x2 在(0,+ ∞)上是增函数 ;
当 m=-2 时,f(x)=x-3 在(0,+ ∞)上是减函数,不符合要求.故 m=3.
解题技巧：（判断一个函数是否为幂函数）
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y=xα (α为常数)的形 式,即: (1)系数为 1 ; (2)指数为常数 ; (3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂 函数,则该函数必具有这种形式.
跟踪训练一
1.如果幂函数 y=(m2-3m+3)xm2 m 2 的图象不过原点,求实数 m 的取值.
【答案】m=1 或 m=2.
【解析】 由幂函数的定义得 m2-3m+3=1,解得 m=1 或 m=2 ;
当 m=1 时,m2-m-2=-2,函数为 y=x-2,其图象不过原点,满足条件 ;
当 m=2 时,m2-m-2=0,函数为 y=x0,其图象不过原点,满足条件.
综上所述,m=1 或 m=2.
题型二 幂函数的图象与性质
例 2 已知函数 y=xa,y=xb,y=xc 的图象如图所示,
则 a,b,c 的大小关系为 ( )
A.cC.b【答案】A
【解析】 由幂函数的图象特征,知 c<0,a>1,0解题技巧： (幂函数图像与性质)
1.本题也可采用特殊值法,如取 x=2,结合图象可知 2a>2b>2c,又函数 y=2x 在 R 上是增函数,于是 a>b>c.
2.对于函数 y=xα (α为常数)而言,其图象有以下特点 :
(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.
(2)当x ∈ (0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低 ”) ;当 x ∈ (1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离 x 轴(简记为“指大图高 ”).
(3)由幂函数的图象确定幂指数α与 0,1 的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于 y=x-1 或 y= y=xy=x3)来判断.
(4)当α>0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是增函数 ;当α<0 时,幂函数的图象在区间(0,+ ∞)上都是减函数.
跟踪训练二
1.如图所示,曲线 C1 与 C2 分别是函数 y=xm 和 y=xn 在第一象限内的图象,则下列结论正确的是( )
A.nB.mC.n>m>0
D.m>n>0
【答案】 A
【解析】画出直线 y=x0 的图象,作出直线 x=2,与三个函数图象交于点(2,20), (2,2m), (2,2n).由三个点的位置关系可知,n题型三 利用幂函数的单调性比较大小例 3 比较下列各组中两个数的大小 :
1 1
(
5
3
)(1)2 2 与 1) 2 ;
(
-
1
-
1
) (
3
5
)(2) - 2 与 - 3 ;
3 1
(
2
4
)(3)14 与 3) 2 .
【答案】见解析
1
【解析】 (1)∵幂函数 y=x2 在[0,+ ∞)上是增函数,
1 1
(
5
3
5
3
)又2 > 1, ∴ 22 > (1 2 .
(2)∵幂函数 y=x-1在(-∞,0)上是减函数,
(
-
1
-
1
) (
3
5
3 5
)又-2<-3, ∴ - 2 > - 3 .
1 3
(3)∵函数 y1=()x在定义域内为减函数,且 > , ∴ > )4 .又函数 y2=x,+∞)上是增函数,且 > ,
1 1 1 3
(
4
2
4
2
)∴ 3) 2 > 1 2 . ∴(3 2 > 1)4 .
解题技巧：（比较幂函数大小）
1.比较幂大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.跟踪训练三
4 2 1
1. 已知 a=23 ,b=45 ,c=253 ,则( )
A.bC.b【答案】A
4 1 2 1 1
(
【解析】
∵a=
2
3
=1
6
3
,b=
4
5
=1
6
5
,c=2
5
3
,
∴a>
)b,a五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
3.3 幂函数 1. 幂函数概念 例 1 例 2 例 3 2. 幂函数的图像性质
七、作业
课本 91 页习题 3.3