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专题强化（1） 平抛运动的临界问题、类平抛运动
1、掌握平抛运动的临界问题
2、掌握类平抛运动的规律
知识点一 平抛运动的临界问题
1．与平抛运动相关的临界情况
(1)有些题目中“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在临界点．
(2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点．
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点．
2．分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹．当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受下落高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解．
3．生活中平抛运动的临界问题
一、平抛运动中的临界速度问题 从网上擦过的临界速度 出界的临界速度
二、既擦网又压线的双临界问题 根据，可得比值：
知识点二 类平抛运动
1．受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度方向垂直．
2．研究方法：运动的分解
将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿合外力方向的初速度为零的匀变速直线运动．
3．运动规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t.
合外力方向上：a＝=gsinθ，vy＝at，y＝at2.
如图所示，光滑的斜面abcd是边长为L的正方形，其倾角θ为未知量，在a点给小球（可视为质点）一个由a指向b的初速度v0，小球沿斜面运动到c点，重力加速度为g，空气阻力不计。下列说法正确的是（ ）
A．小球从a到c的运动时间为
B．小球从a到c的平均速度大小为2v0
C．斜面倾角θ的正弦值为
D．小球在c点速度方向与cd边间夹角的正切值为
【解答】解：A、由类平抛运动的规律，可知在水平方向上，小球从a到c的运动为匀速运动，即时间，故A错误；
B、由几何关系，可知小球从a到c的位移为，则平均速度为，解得：，故B错误；
C、由类平抛运动的规律，在沿斜面方向：，a＝gsinθ，结合A选项分析，可知时间t，联立解得：，故C正确；
D、设小球在c点速度与dc的夹角为β，在沿斜面方向：vy＝at，tanβ，解得：tanβ＝2，故D错误。
故选：C。
如图所示，M、N是两块挡板，挡板M高h'＝10m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面上。从高h＝15m的A点以初速度v0水平抛出一小球，A点与两挡板的水平距离分别为d1＝10m，d2＝20m。v0要使小球直接进入挡板N的右边区域，v0可能等于（ ）
A．v0＝21m/s B．v0＝19m/s C．v0＝9m/s D．v0＝5m/s
【解答】解：根据题意要求，小球直接进入挡板N的右边区域，根据，可得，又有v0t1＞d2，解得 ，小球不能打在挡板N上，则有，又有 v0t2＜d2，解得，则有 11.5m/s＜v0＜20m/s，故B正确，ACD错误；
故选：B。
如图，甲、乙两小球从A、B两点分别以速度v1、v2对着挡板上的O点水平抛出，两小球均刚好不与倾斜直挡板碰撞。已知AB＝BO，不计空气阻力，则（ ）
A．v1：v2＝1：1 B．v1：v2：1
C．v1：v2：1 D．v1：v2＝2：1
【解答】解：小球抛出后做平抛运动，小球刚好不与倾斜直挡板碰撞时，小球的速度方向与倾斜直挡板平行，设挡板与水平方向的夹角为θ，由速度关系可得：tanθ
又x＝v0t
解得小球的初速度大小v0
设甲、乙两小球的竖直位移分别为h1、h2，水平位移分别为x1、x2。由平抛运动规律的推论可得：
由几何关系可得：x1＝AO，x2＝BO
联立可得：x1＝2AO，x2＝2BO
甲、乙两小球的水平位移之比x1：x2＝AO：BO＝（AB+BO）：BO＝2：1
甲、乙两球抛出的初速度之比v1：v2：：1
故B正确，ACD错误；
故选：B。
（多选）如图所示，直杆AB斜靠在墙角，∠ABO＝53°，∠AOB＝90°，AO＝5m。现从距A点正下方1.8m的C点以初速度v0水平抛出一小球（可视为质点）。已知重力加速度g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，空气阻力不计。若使小球不能碰到杆AB，则v0的值可能为（ ）
A．4m/s B．4.4m/s C．5m/s D．6m/s
【解答】解：若小球刚与杆接触时的末速度与水平方向夹角为53°，即小球运动轨迹与杆相切，设此时小球竖直方向下落高度为h，水平位移为x，则根据平抛运动相关推论有，由几何关系可得，联立解得h＝1.8m，x＝2.7m，则由，，联立解得，故CD错误，AB正确。
故选：AB。
为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，学校准备举办足球比赛，某同学利用课余时间练习射门，如图所示，在一面厚度不计的竖直墙上有高Δh＝1.05m的窗口，该同学以不同的力度踢球使球通过窗口飞向墙的另一侧地面，球被踢出瞬间速度均沿水平方向，已知墙两边的地面在同一水平内，踢球时球到地面的高度H＝1.8m，到窗口的水平距离L＝4m，窗台到地面的高度h＝0.55m，重力加速度g取10m/s2，不计球的大小及球在空中运动时受到的阻力，求：
（1）球打到窗口上下沿的时间差；
（2）若要球能通过窗口，足球被踢出瞬间速度v0的取值范围；
（3）球在窗口另一侧地面落点的范围长度s。
【解答】解：（1）足球打到墙上窗口上端时，根据平抛运动的规律
代入数据解得t1＝0.2s
足球打到墙上窗口下端时，根据平抛运动的规律
代入数据解得t2＝0.5s
足球打到窗口上下沿的时间差Δt＝t2﹣t1＝0.5s﹣0.2s＝0.3s
（2）足球沿窗口上边缘通过，球被踢出瞬间的速度最大，最大速度
足球沿窗口下边缘通过，球被踢出瞬间的速度最小，最小速度
若要球能通过窗口，则球被踢出瞬间的速度取值范围为8m/s＜v0＜20m/s
（3）球能通过窗口落在另一侧地面时
解得t＝0.6s
球沿窗口上边缘通过时，水平位移最大x1＝v1t＝20×0.6m＝12m
球沿窗口下边缘通过时，水平位移最小x2＝v2t＝8×0.6m＝4.8m
球在窗口另一侧地面落点的范围长度为s＝x1﹣x2＝12m﹣4.8m＝7.2m。
答：（1）球打到窗口上下沿的时间差为0.3s；
（2）要球能通过窗口，足球被踢出瞬间速度v0的取值范围为8m/s＜t0＜20m/s；
（3）球在窗口另一侧地面落点的范围长度为7.2m。
如图，在某闯关娱乐节目中，小红从轨道abc上的不同位置由静止自由滑下，从c处水平飞出，都能落到直径为l的圆形浮板上，轨道、直径在同一竖直面内。c点离水面的高度为h，浮板左端离c点的水平距离为l。运动过程中，小红视为质点并忽略空气阻力，重力加速度为g，则小红离开c时速度v的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：小红从c处水平飞出后做平抛运动，根据得平抛运动时间为
当落到浮板左端时，速度为
当落到浮板右端时，速度为
v22l
所以小红离开c时速度v的范围为，故ACD错误，B正确。
故选：B。
如图所示的光滑固定斜面ABCD，其倾角可调节。当倾角为θ1时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点A以初速度v0水平射入，恰好沿底端D点离开斜面；改变倾角为θ2时，同样将该物块沿斜面左上方顶点A以初速度v0水平射入，发现物块沿CD边中点离开斜面，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．物块离开斜面时，前后两次下落的时间之比为2：1
B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为4：1
C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为1：1
D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：2
【解答】解：AB．物块在斜面上做类平抛运动，沿水平方向做匀速运动，物块离开斜面的水平位移相同，抛出的初速度相同，由：x＝v0t，可知物块离开斜面时，前后两次下落的时间相等。
沿斜面的方向做匀加速运动，根据牛顿第二定律有
mgsinθ＝ma
联立解得：
根据题意可知：
物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为
故A错误，B正确；
C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为
故C错误；
D．速度变化量的大小为
Δv＝gsinθ t
物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为
故D错误。
故选：B。
如图所示，网球比赛中，运动员甲某次在B点直线救球倒地后，运动员乙将球从距水平地面上D点高度为h的A点水平击出，落点为C。乙击球瞬间，甲同时起身沿直线BC奔跑，恰好在球落地时赶到C点。已知BC⊥BD，BD＝d，BC＝l，网球和运动员甲均可视为质点，忽略空气阻力，则甲此次奔跑的平均加速度大小与当地重力加速度大小之比为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：假设甲奔跑的平均加速度大小为a，当地重力加速度大小为g，对甲而言，根据位移—时间公式有，对网球有，联立解得，故A正确，BCD错误。
故选：A。
如图所示，光滑斜面ABCD为边长a＝2.5m的正方形，斜面与水平面的倾角为30°。现将一小球从B处水平向左射出，小球沿斜面恰好到达底端D点。重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．小球在斜面上运动的时间为0.5s
B．小球在B点的速度大小为2.5m/s
C．小球在D点的速度大小为5m/s
D．小球的速度变化量大小为10m/s
【解答】解：AB.对小球受力分析，受到重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律，可得mgsin30°＝ma′
解得a′＝5m/s2
方向沿斜面向下；
小球从B到D做类平抛运动，水平方向有a＝v0t
沿斜面向下方向有aa′t2
联立方程解得t＝1s，v0＝2.5m/s
故A错误，B正确；
C.沿斜面向下方向有vy＝a′t＝5×1m/s＝5m/s
在D点的速度为vD
故C错误；
D.速度的变化量为Δv＝vy＝5m/s
故D错误。
故选：B。
如图，窗子上、下沿间的高度H＝1.05m，墙的厚度d＝0.30m，某人在离墙壁距离L＝1.20m、距窗子上沿h＝0.20m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件能够直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10m/s2。则以下v的取值范围满足条件的是（ ）
A．v＞7m/s B．3m/s＜v＜5m/s
C．v＜3m/s D．3m/s＜v＜7m/s
【解答】解：由题意可知小物体做平抛运动，当恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，设为vmax，则由平抛运动规律可得：
L＝vmaxt
联立代入数据解得：可得：vmax＝6m/s
恰好擦着窗口下沿左侧时速度v最小，设为vmin，则由平抛运动规律可得：L+d＝vmint′
联立代入数据解得：vmin＝3m/s
故v的取值范围是3m/s＜v＜6m/s，故B正确，ACD错误。
故选：B。
在真空环境内探测微粒在重力作用下运动的简化装置如图所示。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为h＝0.8m的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L＝4.0m，上端A与P点的高度差也为h，（g取10m/s2）。则能被屏探测到的微粒的最大初速度是（ ）
A．6m/s B．8m/s C．10m/s D．12m/s
【解答】解：分析可知，打在A点的微粒速度最大距离
解得
最大初速度
故ABD错误，C正确。
故选：C。
（多选）如图所示，水平面上放置一个直径d＝1m，高h＝1m的无盖薄油桶，沿油桶底面直径AB距左桶壁s＝2m处的正上方有一点P，P点的高度H＝3m，从P点沿直径AB方向水平抛出一小球，不考虑小球的反弹，下列说法正确的是（取g＝10m/s2，CD为桶顶平行AB的直径）（ ）
A．小球的速度范围为时，小球击中油桶的内壁
B．小球的速度范围为时，小球击中油桶的下底
C．小球的速度范围为时，小球击中油桶外壁
D．若P点的高度变为1.8m，则小球无论初速度多大，均不能直接落在桶底（桶边沿除外）
【解答】解：当小球落在A点时，根据平抛运动的规律，有：Hgt2，s＝v1t
解得：v1＝s
代入数据解得：v1m/s；
同理可知，当小球落在D点时，速度为：v2＝s
代入数据解得：v2m/s
当小球落在B点时，速度为：v3＝（s+d）
代入数据解得：v3m/s
当小球落在C点时，速度为：v4＝（s+d）
代入数据解得：v4m/s。
A、根据上述分析可知，小球的速度范围为时，小球击中油桶的内壁，故A正确；
B、根据上述分析可知，小球的速度范围为时，小球击中油桶的下底，故B错误；
C、根据上述分析可知，小球的速度范围为时，小球击中油桶外壁，故C正确；
D、若P点的高度变为H0轨迹同时过D点和B点，则此时初速度为：v′＝s（s+d）
解得：H0＝1.8m
在此高度上，小球无论初速度多大，都不能直接落在桶底（桶边沿除外），故D正确。
故选：ACD。
（多选）如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面（重力加速度为g），下列说法中正确的是（ ）
A．物块运动的加速度a＝g
B．物块由P运动到Q所用的时间
C．物块由P点水平射入时的初速度v0＝b
D．物块离开Q点时的速度大小v
【解答】解：A：根据牛顿第二定律：ma＝mgsinθ，解得物体的加速度的为：a＝gsinθ，故A错误；
B：根据位移—时间公式
lat2
解得：t，故B正确；
C：入射的初速度为v0b，故C正确；
D：物块离开Q点沿斜面向下的分速度大小为vy＝at，物块离开Q点速度大小v，故D正确。
故选：BCD。
（多选）如图所示，在一次乒乓球对决赛中，我国选手以一记漂亮的扣杀，使乒乓球擦网而过，拿下关键的一分。假设该次扣杀中，乒乓球做平抛运动，且扣杀位置距台面的高度与球网高度的比值为4：3，则从扣杀到乒乓球落至球台的过程中，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．乒乓球的加速度逐渐增大
B．擦网前乒乓球的速度变化量等于擦网至落在球台过程中乒乓球的速度变化量
C．扣杀位置到球网的水平距离与乒乓球落点到球网的水平距离之比为1：1
D．擦网时乒乓球的速度大小与落到球台时乒乓球的速度大小之比为1：2
【解答】解：A．乒乓球做平抛运动，加速度等于重力加速度，保持不变，故A错误；
B．设乒乓球扣杀位置到球网上端的高度为h1，球网的高度为h2，由题意可知h1：h2＝1：3，故由竖直方向上，知，代入数据得，，解得t1：t2＝1：1，乒乓球由扣杀位置运动到球网上端所用时间等于其由球网上端运动到球台所用的时间，则由Δv＝gt知，擦网前乒乓球的速度变化量等于擦网至落在球台过程中乒乓球的速度变化量，故B正确；
C．由水平位移x＝v0t知，扣杀位置到球网的水平距离等于乒乓球落点到球网的水平距离，故C正确；
D．由vy＝gt可知，擦网时乒乓球在竖直方向的速度与落到球台时在竖直方向的速度大小之比为1：2，则由可知，擦网时乒乓球的速度大小与落到球台时乒乓球的速度大小之比不为1：2，故D错误。
故选：BC。
（多选）某次排球训练中，运动员在左侧底线处将球沿水平方向击出，球的初速度与左侧底线垂直，球刚好扫过球网上边缘，又恰好落在右侧底线上。若忽略排球大小且不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，下列选项正确的是（ ）
A．球被击出时初速度的大小v0＝20m/s
B．球被击出时离地面的高度h＝3.2m
C．球被击出时离球网上边缘的高度h′＝0.6m
D．球在空中运动的时间t＝0.8s
【解答】解：B、平抛运动在水平方向上做匀速直线运动t，则排球从初位置运动网的位置与排球从网位置到落地的时间之比为
通过竖直方向上做自由落体运动，由
设球网高h，球被击出时离地面的高度为H，得下落的高度之比为1：3，即
3.2m
故B正确；
C、球被击出时离球网上边缘的高度h′＝H﹣h＝3.2m﹣2.4m＝0.8m
故C错误；
D、由
得球在空中运动时间t＝0.8s
故D正确；
A、球被击出时初速度的大小v0
故A错误。
故选：BD。
（多选）如图所示，水平地面上放置一个直径d＝1.2m、高h＝0.25m的无盖薄油桶，沿油桶底面直径距左桶壁s＝1.8m处的正上方有一P点，P点的高度H＝0.45m，从P点沿直径方向水平抛出一小球，不考虑小球的反弹，下列说法正确的是（取g＝10m/s2不计空气阻力，小球可视为质点）（ ）
A．小球的速度范围为10m/s＜v＜15m/s时，小球击中油桶的内壁
B．小球的速度范围为6m/s＜v＜10m/s时，小球击中油桶的下底
C．小球的速度范围为6m/s＜v＜9m/s时，小球击中油桶外壁
D．小球的高度低于m，无论怎么样也击不中下底
【解答】解：ABC.当小球落在A点时，有 ，s＝v1t，联立解得v1＝s，代入数据可得v1＝6m/s
同理可知，当小球落在D点时 ，代入数据可得v2＝9m/s
当小球落在B点时 ，代入数据可得v3＝10m/s
当小球落在C点时 ，代入数据可得v4＝15m/s，故AC正确，B错误；
D.若P点的高度变为H0，轨迹同时过D点和B点，则此时初速度 ，解得，即小球在 高度间，小球也能直接落在桶底（桶边沿除外），选项D正确。
故选：ACD。
足球比赛时，在罚球区的本方队员故意犯规，判由对方队员罚点球。如图为某运动员罚点球。已知球门框ABCD，球门AB宽l＝5m，AD高h＝2m，点球点距球门线中点垂直距离为8m，一球员将足球以斜向上的初速度从O点踢出，到达球门横梁E点反弹，且速度方向恰好在水平面内，DE＝2m，反弹后落到地面上的F点，AF恰好垂直于球门线AB，AF＝4m，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2（计算结果可带根号）。求：
（1）足球从E点反弹至第一次落地的时间t；
（2）足球第一次落地时速度v的大小。
【解答】解：（1）足球反弹后做平抛运动，在竖直方向有，解得；
（2）设E点垂足为G，可得足球水平位移为，
设足球反弹后速度为v0，落地时竖直方向的速度为vy，可得vy＝gt，
，
则落地速度为。
答：（1）足球从E点反弹至第一次落地的时间为得；
（2）足球第一次落地时速度v的大小为。
捶丸起源于唐代的步打球，是一种以杖击球的体育活动，类似今天的高尔夫。如图所示，某次捶丸游戏中游戏者将可视为质点的小球从斜面顶端A点以水平初速度v0＝5m/s击出，小球落到斜面上某点。已知斜面AB的长度，L＝20m，倾角θ＝30°，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2。
（1）求小球在空中运动的时间t；
（2）求小球落到斜面前瞬间的速度大小v1；
（3）若仅将小球的初速度大小变为v2＝10/s，请计算说明小球是落到斜面上还是落到水平地面上，并求出小球落到斜面上或水平地面上时的速度大小v3。
【解答】解：（1）设小球的位移大小为x1，竖直方向上有
水平方向上有x1cosθ＝v0t
可得
解得。
（2）小球落到斜面上时竖直方向的分速度大小vy1＝gt＝10×1m/s＝10m/s
小球落到斜面上时的速度大小m/s。
（3）设小球的初速度大小为v'0时小球恰好落到斜面底端B点
应有，Lcosθ＝v'0t'
解得
由v2＞v'0，可知小球落在水平地面上，且小球在空中运动的时间仍为t'
小球落到水平地面上时的速度大小
其中vy2＝gt'＝10m/s
解得v3＝20m/s。
答：（1）小球在空中运动的时间为1s；
（2）小球落到斜面前瞬间的速度大小为；
（3）小球落到水平地面上，小球落到水平地面上时的速度大小为20m/s。
如图（a）为排球比赛场地示意图，其长度为2s＝18m，宽度为s＝9m，球网高度为H＝2.24m，运动员某次跳发球中，在距离底线中心点正后方地面某处，弹跳后将球从比网高出h＝0.96m处水平拍出（发球点图中未画出），将排球扣到对方场地上，排球的速度方向与水平方向夹角的正切值tanθ与排球运动时间t的关系如图（b）所示，排球可看成质点，忽略空气阻力，重力加速度为g＝10m/s2。（参考使用：、、、）求：
（1）排球初速度v0的大小为多少；
（2）要使排球打在对方场地，发球点与底线中心点的最小水平距离xm。（保留两位有效数字）
【解答】解：（1）排球拍出后，做平抛运动，由平抛运动规律可得：vy＝gt，所以有：
结合图像图像的斜率可得：，解得：v0＝25m/s；
（2）球不出界时，球最远可扣到对方场地底线与边线交点处，设发球点与底线中心点的最小水平距离xm，排球做平抛运动
竖直方向有：
水平位移为：x＝v0t
由几何关系可知
联立代入数据解得：xm＝1.5m。
论证：画出其平面图如图所示：
由三角形相似有，代入数据解得：s1＝2.42m
由于，代入数据解得：x1＝10.77m
则球达网正上方所用时间
由运动学公式可得：，解得：t0＝0.438s
因t1＜t0，故排球不会触网，由此可知，最小距离为1.5m。
答：（1）排球初速度v0的大小为25m/s；
（2）要使排球打在对方场地，发球点与底线中心点的最小水平距离为1.5m。
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专题强化（1） 平抛运动的临界问题、类平抛运动
1、掌握平抛运动的临界问题
2、掌握类平抛运动的规律
知识点一 平抛运动的临界问题
1．与平抛运动相关的临界情况
(1)有些题目中“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在临界点．
(2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点．
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点．
2．分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹．当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受下落高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解．
3．生活中平抛运动的临界问题
一、平抛运动中的临界速度问题 从网上擦过的临界速度 出界的临界速度
二、既擦网又压线的双临界问题 根据，可得比值：
知识点二 类平抛运动
1．受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度方向垂直．
2．研究方法：运动的分解
将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿合外力方向的初速度为零的匀变速直线运动．
3．运动规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t.
合外力方向上：a＝=gsinθ，vy＝at，y＝at2.
如图所示，光滑的斜面abcd是边长为L的正方形，其倾角θ为未知量，在a点给小球（可视为质点）一个由a指向b的初速度v0，小球沿斜面运动到c点，重力加速度为g，空气阻力不计。下列说法正确的是（ ）
A．小球从a到c的运动时间为
B．小球从a到c的平均速度大小为2v0
C．斜面倾角θ的正弦值为
D．小球在c点速度方向与cd边间夹角的正切值为
【解答】解：A、由类平抛运动的规律，可知在水平方向上，小球从a到c的运动为匀速运动，即时间，故A错误；
B、由几何关系，可知小球从a到c的位移为，则平均速度为，解得：，故B错误；
C、由类平抛运动的规律，在沿斜面方向：，a＝gsinθ，结合A选项分析，可知时间t，联立解得：，故C正确；
D、设小球在c点速度与dc的夹角为β，在沿斜面方向：vy＝at，tanβ，解得：tanβ＝2，故D错误。
故选：C。
如图所示，M、N是两块挡板，挡板M高h'＝10m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面上。从高h＝15m的A点以初速度v0水平抛出一小球，A点与两挡板的水平距离分别为d1＝10m，d2＝20m。v0要使小球直接进入挡板N的右边区域，v0可能等于（ ）
A．v0＝21m/s B．v0＝19m/s C．v0＝9m/s D．v0＝5m/s
【解答】解：根据题意要求，小球直接进入挡板N的右边区域，根据，可得，又有v0t1＞d2，解得 ，小球不能打在挡板N上，则有，又有 v0t2＜d2，解得，则有 11.5m/s＜v0＜20m/s，故B正确，ACD错误；
故选：B。
如图，甲、乙两小球从A、B两点分别以速度v1、v2对着挡板上的O点水平抛出，两小球均刚好不与倾斜直挡板碰撞。已知AB＝BO，不计空气阻力，则（ ）
A．v1：v2＝1：1 B．v1：v2：1
C．v1：v2：1 D．v1：v2＝2：1
【解答】解：小球抛出后做平抛运动，小球刚好不与倾斜直挡板碰撞时，小球的速度方向与倾斜直挡板平行，设挡板与水平方向的夹角为θ，由速度关系可得：tanθ
又x＝v0t
解得小球的初速度大小v0
设甲、乙两小球的竖直位移分别为h1、h2，水平位移分别为x1、x2。由平抛运动规律的推论可得：
由几何关系可得：x1＝AO，x2＝BO
联立可得：x1＝2AO，x2＝2BO
甲、乙两小球的水平位移之比x1：x2＝AO：BO＝（AB+BO）：BO＝2：1
甲、乙两球抛出的初速度之比v1：v2：：1
故B正确，ACD错误；
故选：B。
（多选）如图所示，直杆AB斜靠在墙角，∠ABO＝53°，∠AOB＝90°，AO＝5m。现从距A点正下方1.8m的C点以初速度v0水平抛出一小球（可视为质点）。已知重力加速度g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，空气阻力不计。若使小球不能碰到杆AB，则v0的值可能为（ ）
A．4m/s B．4.4m/s C．5m/s D．6m/s
【解答】解：若小球刚与杆接触时的末速度与水平方向夹角为53°，即小球运动轨迹与杆相切，设此时小球竖直方向下落高度为h，水平位移为x，则根据平抛运动相关推论有，由几何关系可得，联立解得h＝1.8m，x＝2.7m，则由，，联立解得，故CD错误，AB正确。
故选：AB。
为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，学校准备举办足球比赛，某同学利用课余时间练习射门，如图所示，在一面厚度不计的竖直墙上有高Δh＝1.05m的窗口，该同学以不同的力度踢球使球通过窗口飞向墙的另一侧地面，球被踢出瞬间速度均沿水平方向，已知墙两边的地面在同一水平内，踢球时球到地面的高度H＝1.8m，到窗口的水平距离L＝4m，窗台到地面的高度h＝0.55m，重力加速度g取10m/s2，不计球的大小及球在空中运动时受到的阻力，求：
（1）球打到窗口上下沿的时间差；
（2）若要球能通过窗口，足球被踢出瞬间速度v0的取值范围；
（3）球在窗口另一侧地面落点的范围长度s。
【解答】解：（1）足球打到墙上窗口上端时，根据平抛运动的规律
代入数据解得t1＝0.2s
足球打到墙上窗口下端时，根据平抛运动的规律
代入数据解得t2＝0.5s
足球打到窗口上下沿的时间差Δt＝t2﹣t1＝0.5s﹣0.2s＝0.3s
（2）足球沿窗口上边缘通过，球被踢出瞬间的速度最大，最大速度
足球沿窗口下边缘通过，球被踢出瞬间的速度最小，最小速度
若要球能通过窗口，则球被踢出瞬间的速度取值范围为8m/s＜v0＜20m/s
（3）球能通过窗口落在另一侧地面时
解得t＝0.6s
球沿窗口上边缘通过时，水平位移最大x1＝v1t＝20×0.6m＝12m
球沿窗口下边缘通过时，水平位移最小x2＝v2t＝8×0.6m＝4.8m
球在窗口另一侧地面落点的范围长度为s＝x1﹣x2＝12m﹣4.8m＝7.2m。
答：（1）球打到窗口上下沿的时间差为0.3s；
（2）要球能通过窗口，足球被踢出瞬间速度v0的取值范围为8m/s＜t0＜20m/s；
（3）球在窗口另一侧地面落点的范围长度为7.2m。
如图，在某闯关娱乐节目中，小红从轨道abc上的不同位置由静止自由滑下，从c处水平飞出，都能落到直径为l的圆形浮板上，轨道、直径在同一竖直面内。c点离水面的高度为h，浮板左端离c点的水平距离为l。运动过程中，小红视为质点并忽略空气阻力，重力加速度为g，则小红离开c时速度v的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：小红从c处水平飞出后做平抛运动，根据得平抛运动时间为
当落到浮板左端时，速度为
当落到浮板右端时，速度为
v22l
所以小红离开c时速度v的范围为，故ACD错误，B正确。
故选：B。
如图所示的光滑固定斜面ABCD，其倾角可调节。当倾角为θ1时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点A以初速度v0水平射入，恰好沿底端D点离开斜面；改变倾角为θ2时，同样将该物块沿斜面左上方顶点A以初速度v0水平射入，发现物块沿CD边中点离开斜面，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．物块离开斜面时，前后两次下落的时间之比为2：1
B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为4：1
C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为1：1
D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：2
【解答】解：AB．物块在斜面上做类平抛运动，沿水平方向做匀速运动，物块离开斜面的水平位移相同，抛出的初速度相同，由：x＝v0t，可知物块离开斜面时，前后两次下落的时间相等。
沿斜面的方向做匀加速运动，根据牛顿第二定律有
mgsinθ＝ma
联立解得：
根据题意可知：
物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为
故A错误，B正确；
C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为
故C错误；
D．速度变化量的大小为
Δv＝gsinθ t
物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为
故D错误。
故选：B。
如图所示，网球比赛中，运动员甲某次在B点直线救球倒地后，运动员乙将球从距水平地面上D点高度为h的A点水平击出，落点为C。乙击球瞬间，甲同时起身沿直线BC奔跑，恰好在球落地时赶到C点。已知BC⊥BD，BD＝d，BC＝l，网球和运动员甲均可视为质点，忽略空气阻力，则甲此次奔跑的平均加速度大小与当地重力加速度大小之比为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：假设甲奔跑的平均加速度大小为a，当地重力加速度大小为g，对甲而言，根据位移—时间公式有，对网球有，联立解得，故A正确，BCD错误。
故选：A。
如图所示，光滑斜面ABCD为边长a＝2.5m的正方形，斜面与水平面的倾角为30°。现将一小球从B处水平向左射出，小球沿斜面恰好到达底端D点。重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．小球在斜面上运动的时间为0.5s
B．小球在B点的速度大小为2.5m/s
C．小球在D点的速度大小为5m/s
D．小球的速度变化量大小为10m/s
【解答】解：AB.对小球受力分析，受到重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律，可得mgsin30°＝ma′
解得a′＝5m/s2
方向沿斜面向下；
小球从B到D做类平抛运动，水平方向有a＝v0t
沿斜面向下方向有aa′t2
联立方程解得t＝1s，v0＝2.5m/s
故A错误，B正确；
C.沿斜面向下方向有vy＝a′t＝5×1m/s＝5m/s
在D点的速度为vD
故C错误；
D.速度的变化量为Δv＝vy＝5m/s
故D错误。
故选：B。
如图，窗子上、下沿间的高度H＝1.05m，墙的厚度d＝0.30m，某人在离墙壁距离L＝1.20m、距窗子上沿h＝0.20m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件能够直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10m/s2。则以下v的取值范围满足条件的是（ ）
A．v＞7m/s B．3m/s＜v＜5m/s
C．v＜3m/s D．3m/s＜v＜7m/s
【解答】解：由题意可知小物体做平抛运动，当恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，设为vmax，则由平抛运动规律可得：
L＝vmaxt
联立代入数据解得：可得：vmax＝6m/s
恰好擦着窗口下沿左侧时速度v最小，设为vmin，则由平抛运动规律可得：L+d＝vmint′
联立代入数据解得：vmin＝3m/s
故v的取值范围是3m/s＜v＜6m/s，故B正确，ACD错误。
故选：B。
在真空环境内探测微粒在重力作用下运动的简化装置如图所示。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为h＝0.8m的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L＝4.0m，上端A与P点的高度差也为h，（g取10m/s2）。则能被屏探测到的微粒的最大初速度是（ ）
A．6m/s B．8m/s C．10m/s D．12m/s
【解答】解：分析可知，打在A点的微粒速度最大距离
解得
最大初速度
故ABD错误，C正确。
故选：C。
（多选）如图所示，水平面上放置一个直径d＝1m，高h＝1m的无盖薄油桶，沿油桶底面直径AB距左桶壁s＝2m处的正上方有一点P，P点的高度H＝3m，从P点沿直径AB方向水平抛出一小球，不考虑小球的反弹，下列说法正确的是（取g＝10m/s2，CD为桶顶平行AB的直径）（ ）
A．小球的速度范围为时，小球击中油桶的内壁
B．小球的速度范围为时，小球击中油桶的下底
C．小球的速度范围为时，小球击中油桶外壁
D．若P点的高度变为1.8m，则小球无论初速度多大，均不能直接落在桶底（桶边沿除外）
【解答】解：当小球落在A点时，根据平抛运动的规律，有：Hgt2，s＝v1t
解得：v1＝s
代入数据解得：v1m/s；
同理可知，当小球落在D点时，速度为：v2＝s
代入数据解得：v2m/s
当小球落在B点时，速度为：v3＝（s+d）
代入数据解得：v3m/s
当小球落在C点时，速度为：v4＝（s+d）
代入数据解得：v4m/s。
A、根据上述分析可知，小球的速度范围为时，小球击中油桶的内壁，故A正确；
B、根据上述分析可知，小球的速度范围为时，小球击中油桶的下底，故B错误；
C、根据上述分析可知，小球的速度范围为时，小球击中油桶外壁，故C正确；
D、若P点的高度变为H0轨迹同时过D点和B点，则此时初速度为：v′＝s（s+d）
解得：H0＝1.8m
在此高度上，小球无论初速度多大，都不能直接落在桶底（桶边沿除外），故D正确。
故选：ACD。
（多选）如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面（重力加速度为g），下列说法中正确的是（ ）
A．物块运动的加速度a＝g
B．物块由P运动到Q所用的时间
C．物块由P点水平射入时的初速度v0＝b
D．物块离开Q点时的速度大小v
【解答】解：A：根据牛顿第二定律：ma＝mgsinθ，解得物体的加速度的为：a＝gsinθ，故A错误；
B：根据位移—时间公式
lat2
解得：t，故B正确；
C：入射的初速度为v0b，故C正确；
D：物块离开Q点沿斜面向下的分速度大小为vy＝at，物块离开Q点速度大小v，故D正确。
故选：BCD。
（多选）如图所示，在一次乒乓球对决赛中，我国选手以一记漂亮的扣杀，使乒乓球擦网而过，拿下关键的一分。假设该次扣杀中，乒乓球做平抛运动，且扣杀位置距台面的高度与球网高度的比值为4：3，则从扣杀到乒乓球落至球台的过程中，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．乒乓球的加速度逐渐增大
B．擦网前乒乓球的速度变化量等于擦网至落在球台过程中乒乓球的速度变化量
C．扣杀位置到球网的水平距离与乒乓球落点到球网的水平距离之比为1：1
D．擦网时乒乓球的速度大小与落到球台时乒乓球的速度大小之比为1：2
【解答】解：A．乒乓球做平抛运动，加速度等于重力加速度，保持不变，故A错误；
B．设乒乓球扣杀位置到球网上端的高度为h1，球网的高度为h2，由题意可知h1：h2＝1：3，故由竖直方向上，知，代入数据得，，解得t1：t2＝1：1，乒乓球由扣杀位置运动到球网上端所用时间等于其由球网上端运动到球台所用的时间，则由Δv＝gt知，擦网前乒乓球的速度变化量等于擦网至落在球台过程中乒乓球的速度变化量，故B正确；
C．由水平位移x＝v0t知，扣杀位置到球网的水平距离等于乒乓球落点到球网的水平距离，故C正确；
D．由vy＝gt可知，擦网时乒乓球在竖直方向的速度与落到球台时在竖直方向的速度大小之比为1：2，则由可知，擦网时乒乓球的速度大小与落到球台时乒乓球的速度大小之比不为1：2，故D错误。
故选：BC。
（多选）某次排球训练中，运动员在左侧底线处将球沿水平方向击出，球的初速度与左侧底线垂直，球刚好扫过球网上边缘，又恰好落在右侧底线上。若忽略排球大小且不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，下列选项正确的是（ ）
A．球被击出时初速度的大小v0＝20m/s
B．球被击出时离地面的高度h＝3.2m
C．球被击出时离球网上边缘的高度h′＝0.6m
D．球在空中运动的时间t＝0.8s
【解答】解：B、平抛运动在水平方向上做匀速直线运动t，则排球从初位置运动网的位置与排球从网位置到落地的时间之比为
通过竖直方向上做自由落体运动，由
设球网高h，球被击出时离地面的高度为H，得下落的高度之比为1：3，即
3.2m
故B正确；
C、球被击出时离球网上边缘的高度h′＝H﹣h＝3.2m﹣2.4m＝0.8m
故C错误；
D、由
得球在空中运动时间t＝0.8s
故D正确；
A、球被击出时初速度的大小v0
故A错误。
故选：BD。
（多选）如图所示，水平地面上放置一个直径d＝1.2m、高h＝0.25m的无盖薄油桶，沿油桶底面直径距左桶壁s＝1.8m处的正上方有一P点，P点的高度H＝0.45m，从P点沿直径方向水平抛出一小球，不考虑小球的反弹，下列说法正确的是（取g＝10m/s2不计空气阻力，小球可视为质点）（ ）
A．小球的速度范围为10m/s＜v＜15m/s时，小球击中油桶的内壁
B．小球的速度范围为6m/s＜v＜10m/s时，小球击中油桶的下底
C．小球的速度范围为6m/s＜v＜9m/s时，小球击中油桶外壁
D．小球的高度低于m，无论怎么样也击不中下底
【解答】解：ABC.当小球落在A点时，有 ，s＝v1t，联立解得v1＝s，代入数据可得v1＝6m/s
同理可知，当小球落在D点时 ，代入数据可得v2＝9m/s
当小球落在B点时 ，代入数据可得v3＝10m/s
当小球落在C点时 ，代入数据可得v4＝15m/s，故AC正确，B错误；
D.若P点的高度变为H0，轨迹同时过D点和B点，则此时初速度 ，解得，即小球在 高度间，小球也能直接落在桶底（桶边沿除外），选项D正确。
故选：ACD。
足球比赛时，在罚球区的本方队员故意犯规，判由对方队员罚点球。如图为某运动员罚点球。已知球门框ABCD，球门AB宽l＝5m，AD高h＝2m，点球点距球门线中点垂直距离为8m，一球员将足球以斜向上的初速度从O点踢出，到达球门横梁E点反弹，且速度方向恰好在水平面内，DE＝2m，反弹后落到地面上的F点，AF恰好垂直于球门线AB，AF＝4m，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2（计算结果可带根号）。求：
（1）足球从E点反弹至第一次落地的时间t；
（2）足球第一次落地时速度v的大小。
【解答】解：（1）足球反弹后做平抛运动，在竖直方向有，解得；
（2）设E点垂足为G，可得足球水平位移为，
设足球反弹后速度为v0，落地时竖直方向的速度为vy，可得vy＝gt，
，
则落地速度为。
答：（1）足球从E点反弹至第一次落地的时间为得；
（2）足球第一次落地时速度v的大小为。
捶丸起源于唐代的步打球，是一种以杖击球的体育活动，类似今天的高尔夫。如图所示，某次捶丸游戏中游戏者将可视为质点的小球从斜面顶端A点以水平初速度v0＝5m/s击出，小球落到斜面上某点。已知斜面AB的长度，L＝20m，倾角θ＝30°，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2。
（1）求小球在空中运动的时间t；
（2）求小球落到斜面前瞬间的速度大小v1；
（3）若仅将小球的初速度大小变为v2＝10/s，请计算说明小球是落到斜面上还是落到水平地面上，并求出小球落到斜面上或水平地面上时的速度大小v3。
【解答】解：（1）设小球的位移大小为x1，竖直方向上有
水平方向上有x1cosθ＝v0t
可得
解得。
（2）小球落到斜面上时竖直方向的分速度大小vy1＝gt＝10×1m/s＝10m/s
小球落到斜面上时的速度大小m/s。
（3）设小球的初速度大小为v'0时小球恰好落到斜面底端B点
应有，Lcosθ＝v'0t'
解得
由v2＞v'0，可知小球落在水平地面上，且小球在空中运动的时间仍为t'
小球落到水平地面上时的速度大小
其中vy2＝gt'＝10m/s
解得v3＝20m/s。
答：（1）小球在空中运动的时间为1s；
（2）小球落到斜面前瞬间的速度大小为；
（3）小球落到水平地面上，小球落到水平地面上时的速度大小为20m/s。
如图（a）为排球比赛场地示意图，其长度为2s＝18m，宽度为s＝9m，球网高度为H＝2.24m，运动员某次跳发球中，在距离底线中心点正后方地面某处，弹跳后将球从比网高出h＝0.96m处水平拍出（发球点图中未画出），将排球扣到对方场地上，排球的速度方向与水平方向夹角的正切值tanθ与排球运动时间t的关系如图（b）所示，排球可看成质点，忽略空气阻力，重力加速度为g＝10m/s2。（参考使用：、、、）求：
（1）排球初速度v0的大小为多少；
（2）要使排球打在对方场地，发球点与底线中心点的最小水平距离xm。（保留两位有效数字）
【解答】解：（1）排球拍出后，做平抛运动，由平抛运动规律可得：vy＝gt，所以有：
结合图像图像的斜率可得：，解得：v0＝25m/s；
（2）球不出界时，球最远可扣到对方场地底线与边线交点处，设发球点与底线中心点的最小水平距离xm，排球做平抛运动
竖直方向有：
水平位移为：x＝v0t
由几何关系可知
联立代入数据解得：xm＝1.5m。
论证：画出其平面图如图所示：
由三角形相似有，代入数据解得：s1＝2.42m
由于，代入数据解得：x1＝10.77m
则球达网正上方所用时间
由运动学公式可得：，解得：t0＝0.438s
因t1＜t0，故排球不会触网，由此可知，最小距离为1.5m。
答：（1）排球初速度v0的大小为25m/s；
（2）要使排球打在对方场地，发球点与底线中心点的最小水平距离为1.5m。
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