四川省内江市第一中学2026届高三上学期第一次月考数学试卷（图片版，含答案）

四川省内江市第一中学 2026届高三上学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.设集合 = {1,2,3,4,5}， = {1,3,6}，则 ∩ =( )
A. {1,3} B. {3,6} C. {1,6} D. {1,2,3,4,5,6}
2.函数 = lg[( 1)( 2)]的定义域为( )
A. ( ∞, 1) ∪ (2, +∞) B. (1,2)
C. ( ∞, 2) ∪ ( 1, +∞) D. ( 2, 1)
π
sin , 1 ≤ ≤ 1
3.已知函数 ( ) = { 6 ，则 (3) =( )
( 2), > 1
1 1 √ 3 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
4.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 (单位：万元)对年销售量 (单位：吨)
和年利润 (单位：万元)的影响.对近8年的年宣传费 和年销售量 ( = 1,2, ,8)数据进行初步处理后，得
到下面的散点图及一些统计量的值．
有下列5个曲线类型：① = + ；② = √ + ；③ = + ln ；④ = 2 21 + e ；⑤ = 1 +
2，则较适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程的是( )
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③⑤
4
5.若命题“ > 0， + ≥ ”是真命题，则 可能是( )

A. 8 B. 6 C. 5 D. 3
6.已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 4 = 2 2， 2 = 2 1 + 1，则 15 =( )
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
π
7.已知 ∈ (0, )，√ 2sin cos = 1，则 2 =( )
2
4√ 2 4√ 2 √ 2
A. 2√ 2 B. C. D.
9 7 2
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1 3 4
8.已知函数 ( )的导函数 ′( ) = 3， = (log2 )， = (2

4)， = ( 23)，则( )
3
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 的分布列如下表：
1 2 3 4 5
1 1 3
1 2
16 4 16
1 1
其中 , 1, 成等比数列，则下列结论正确的是( ) 16 4
1 1
A. 1, , 2成等差数列 B. 1 = ± 4 8
15 7
C. (2 < < 5) = D. ( ) =
16 2

10.已知函数 ( ) = sin (2 + )，则( )
3

A. ( )的最小正周期为 B. ( )的图象关于直线 = 对称
12
5
C. ( )在( , 0)上单调递增 D. ( )的一个零点为 =
12 4 6
11.函数 ( )是定义在 上不恒为零的可导函数，对任意的 ， ∈ 均满足：( + ) · ( ) ( ) = ·
( + )， (1) = 2，则
A. (0) = 0 B. (2) = 8
C. ′(1) = 4 D. ∑ ( ) = ( 1) 2 +1 =1 + 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。

12.曲线 ( ) = sin 2cos 1在点( , 0)处的切线方程为 ．
2
13.幂函数 = ( )在(0, +∞)上单调递减，且经过点( 1, 1)，请写出符合条件的一个函数解析式 ．

14.已知 ， ∈ (0, )，若 = sin 2 + cos ，则 的最大值为 ．
2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
已知函数 ( ) = 3 4 + 4，
3
(1)求 ( )的单调区间和极值；
(2)当 ∈ [0,3]时，求 ( )的最值．
16.(本小题15分)
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π π π
已知 ( ) = sin ( + ) + sin ( ) + sin ( + )，
6 6 2
π
(1)求 ( )的值；
12
(2)在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ( ) = 2， + = 5， 的面积为√ 3，
求 ．
17.(本小题15分)
已知数列{ }的首项 1 = 3，且满足 +1 = 2

1( ∈ N )．
(1)求证：数列{ 1}为等比数列；
1
(2)记 = log2( 1)，数列{ }的前 项和 ，证明： < 1． +1
18.(本小题17分)
已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球， (2 ≤ ≤ 8)个白乒乓球．
(1)甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人
中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回．当 = 2时，
(ⅰ)求乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率；
(ⅱ)记 表示游戏结束时甲摸球的次数，求 的分布列．
(2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超
1
过3个黄乒乓球排在一起的概率为 ，若 > ，求 的最小值．
2
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = + ln + 1．
(1)当 < 0时，求函数 ( )的单调区间；
(2)讨论函数 ( )的零点的个数；
(3)对于任意的 > 0, ( ) < e2 恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 = 0
1
13. ( ) = (答案不唯一)

5
14.
4
1
15.(1)由 ( ) = 3 4 + 4，得 ′( ) = 2 4，
3
令 ′( ) = 0，解得 = ±2，
当 ∈ ( ∞, 2)时 ′( ) > 0，所以函数 ( )在( ∞, 2)上单调递增；
当 ∈ (2, +∞)时 ′( ) > 0，所以函数 ( )在(2, +∞)上单调递增；
当 ∈ ( 2,2)时 ′( ) < 0，所以函数 ( )在( 2,2)上单调递减；
1
所以当 = 2时，函数 ( )有极大值为 ( 2) = × ( 2)3
28
4 × ( 2) + 4 = ；
3 3
1 4
当 = 2时，函数 ( )有极小值为 (2) = × 23 4 × 2 + 4 = ．
3 3
综上， ( )的单调递增区间为( ∞, 2)，(2, +∞)，单调递减区间为( 2,2)；
28 4
函数 ( )有极大值为 ，有极小值为 ．
3 3
(2)由(1)得 ( )在[0,2]上单调递减，在(2,3]上单调递增，
1
又 (0) = 4， (3) = × 33 4 × 3 + 4 = 1，
3
4
又函数 ( )的极小值为 (2) = ，
3
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4
所以当 ∈ [0,3]时，函数 ( )的最大值为4，最小值为 ．
3
16.(1)由和差化积，诱导公式，辅助角公式可得：
π π
( ) = 2sin cos + cos = √ 3sin + cos = 2sin ( + )．
6 6
π π
则 ( ) = 2sin = √ 2；
12 4
π π
(2)由(1)， ( ) = 2 2sin ( + ) = 2 = ，
6 3
1 √ 3
又 的面积为√ 3，则 sin = = √ 3 = 4，
2 4
结合 + = 5及余弦定理， 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 3 = 25 12 = 13，
则 = √ 13．
17.(1)由 +1 = 2 1( ∈ N )得， +1 1 = 2( 1)，( ∈ N )，
又 1 1 = 2，
所以{ 1}是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知， 1 = 2 × 2
1 = 2 ，所以 = log2( 1) = ，
1 1 1 1
所以 = = ，
+1 ( +1) +1
1 1 1 1 1 1
= 1 + 2 + 3 + + = 1 + + + = 1 < 1． 2 2 3 +1 +1
C1C1 3
18.(1)( )由题意，乙第一次恰好摸到白球的概率为 = 6 2 = ．
C1C1 148 7
( )根据游戏规则， 的取值可能为1，2，3，4，
C1 C1 C1 1 3 13
( = 1) = 2 + 6 2
C1 C1

C1
= + = ；
4 14 28
8 8 7
C2 C1 3 1
( = 2) = 6 2
C
+ 6
C2 5 1 9
2 1 3 1 = + = ； C8 C6 C8 C 28 7 285
C4 1 5 1
( = 3) = 6
C2 C6 C2 3 1 5
4 1 + 5 1 = + = ； C8 C4 C C3 28 14 288
C6 1
( = 4) = 6
C2 1= ；
C6 18 C2 28
所以 的分布列为
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1 2 3 4
13 9 5 1

28 28 28 28
(2)整理乒乓球时，要使得至少2个黄球相邻，则有“黄黄—黄黄—黄黄”，“黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄
—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”5种情况．
可以先排列白球，通过插空法，让黄球排列在白球与白球之间的空位上．
所以“黄黄—黄黄—黄黄”有C3 +1种排法；
“黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”均有C2 +1种排法，总共3C
2
+1种；
“黄黄黄黄黄黄”有C1 +1种排法．
不超过3个黄球排在一起的情况只能为“黄黄—黄黄—黄黄”与“黄黄黄—黄黄黄”两种情况，
C3 +1+C
2 2
所以 = +1
+2 1 2
3 2 1 = 2 > ，即有 4 6 > 0， C +1+3C +1+C +1 +8 +6 2
解得 > 2 + √ 10或 < 2 √ 10(舍去)，所以 的最小值为6．
1 1
19.(1)函数 ( )的定义域为(0, +∞)， ′( ) = + ( > 0)． ′( ) = + > 0 0 < <

1 1
, ′( ) 0 ．

1 1
所以， ( )的单调递增区间是(0, )，单调递减区间是( , +∞)．

ln +1
(2) ( )定义域为(0, +∞)，由 ( ) = + ln + 1分离参数，得 = ．

ln +1
令 ( ) = ，

函数 ( )的零点的个数即为 ( )与直线 = 的交点个数即为原函数零点个数．
求导得， ′
ln
( ) = 2，令
′( ) = 0，解得 = 1．

当0 < < 1时， ′( ) < 0，所以 ( )在(0, 1)上单调递减；
当 > 1时， ′( ) > 0，所以 ( )在(1, +∞)上单调递增．
所以， ( )min = (1) = 1．
1 1 1
又因为 ( ) = 0，所以，当0 < < 时， ( ) > 0；当 > 时， ( ) < 0，
e e e
又 → +∞时， ( ) → 0．
当 < 1时， ( )与直线 = 无交点，即函数 ( )无零点；
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当 = 1或 ≥ 0时， ( )与直线 = 有一个交点，则函数 ( )有一个零点；
当 1 < < 0时， ( )与直线 = 有两个交点，则函数 ( )有两个零点．
综上所述：当 < 1时，函数 ( )无零点；
当 = 1或 ≥ 0时，函数 ( )有一个零点；
当 1 < < 0时，函数 ( )有两个零点．
(3)设 ( ) = ln + 2 ，则 ( )在(0, +∞)上为增函数，
1 2
而 ( ) = 1 < 0， (1) = 1 > 0，故 ( )在(0, +∞)有唯一解 ．
e e 0
e2 ln 1
而由题设可得任意的 > 0, < 恒成立．

令 ( ) = e 1，则 ′( ) = e 1，
当 < 0时， ′( ) < 0，函数 ( ) = e 1在( ∞, 0)上单调递减，
当 > 0时， ′( ) > 0，函数 ( ) = e 1在(0, +∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ (0)，所以e 1 ≥ 0，所以e ≥ + 1，当且仅当 = 0时取到等号，
所以当 > 0时，有 e2 = eln e2 = eln +2 ≥ (ln + 2 ) + 1，
当且仅当ln + 2 = 0，也就是当 = 0时取等号．
e2 ln 1 (ln +2 )+1 ln 1 2
所以 ≥ = = 2，当且仅当 = 时取等号．
0
所以 < 2，故 的取值范围是( ∞, 2)．
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