第二十二章二次函数单元复习检测卷（一）（含答案）人教版2025—2026学年九年级上册

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第二十二章二次函数单元复习检测卷（一）人教版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（ ）
A．或1 B．2或0 C．或0 D．1或2
3．在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　）
A． B． C． D．
4．若二次函数的对称轴是直线，则关于x的方程的解是（　　）
A． B．
C． D．
5．抛物线上部分点的坐标如表，下列说法错误的是（ ）


A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小 D．当时，
6．若点，在抛物线（）上，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6s；
②小球运动中的高度可以是30m；
③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点M（m﹣1，n）、N（﹣m﹣3，n）、P（1，p）．若p＞0，则该抛物线的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知方程的两根分别为，则二次函数的图象的对称轴为直线 ．
10．若是关于的二次函数，则的值是 ．
11．已知直线与抛物线存在两个交点，横坐标分别为，，与交点的横坐标为，并且，若，则m的值为 ．
12．已知为二次函数．
①若此二次函数图像开口向下，则a值为
②在①条件下，若时，满足，则m的值为
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，抛物线经过点．
(1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标．
(2)当时，求的取值范围．
14．某商店销售一种成本40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克（月销售量大于0）．设销售价为x元/千克，月销售利润为y元．
(1)若时，月销售量为________千克，销售利润为________元；
(2)求y关于x的函数关系式并直接写出x的取值范围；
(3)求月销售利润的最大值及此时的销售价．
15．课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题．
(1)当时，求该二次函数的最值．
(2)当取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由．
16．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．
（1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值．
17．如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴交于另一点B，D是第二象限内抛物线上一点．
(1)请直接写出点A、C的坐标及抛物线的解析式；
(2)连接，，求面积的最大值；
(3)如图2，连接，过点D作分别交、y轴于M、E两点，当M为线段的中点时，求点D的坐标．
18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1—8：ACBDDACB
二、填空题
9．
10．
11．
12． 3
三、解答题
13．【解】（1）解：把代入得：
，
解得：，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：由题意：，
∴抛物线开口向下，当时，有最大值，
当时，，
当时，，
∴当时，求的取值范围是．
14．【解】（1）解：依题意，（千克），
（元），
∴当时，月销售量为450千克，销售利润为6750元；
（2）解：依题意，，
∴，
则，
即；
（3）解：由（2）得，
∵
∴开口方向向下，
在对称轴为直线时，取最大值，
且，
∴售价为70元时，利润最大为9000元．
15．【解】（1）解：由题意，当时，
，
∴当时，y取最小值为；
（2）解：小滨的想法正确．理由如下：
由题意，，
∴当时，y取最小值为．
∵，
∴当时，有最大值0，
∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．
故小滨的想法正确．
16.【解答】（1）解：∵点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，
∴该二次函数的图象的对称轴为直线x，
∴，
解得a＝2，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+1．
（2）证明：∵Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+40，
∴不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）解：二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1图象的对称轴为直线xa，
当a＜0时，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
即a﹣1＝﹣3，
解得a＝﹣2；
当0≤a≤3，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝a时，y＝﹣3，
即a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3，
解得a1＝2，a2＝﹣1（舍去），
∴a的值为2；
当a＞3时，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝3时，y＝﹣3，
即9﹣6a+a﹣1＝﹣3，
解得a（舍去）．
综上所述，a的值为﹣2或2．
17．【解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴令，则，故；
∴令，则，解得
故；
∵抛物线经过A、C两点，
∴把，代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：过点D作直线轴，交于一点H，如图所示：
由（1）得，，
∵D是第二象限内抛物线上一点．
设，，
∵直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴
则
∵
∴开口向下，
∴在对称轴时，有最大值，
且．
（3）解：连接，如图所示：
由（1）得，，
∴令时，则，
即
解得
∵
∴
设的解析式为
把，代入，
得，
解得，
∴的解析式为，
∵，
∴设的解析式为，
即
∵D是第二象限内抛物线上一点．
设，，
则，
∴，
∵M为线段的中点时，
∴，
∴再把分别代入，
得，
整理得，
∴，
解得（舍去），
把代入，
得，
即点D的坐标为．
18．【解】（1）解：把 代入得：
解得 ，
抛物线的解析式为；
（2）解：直线上方的抛物线上存在点，使，
理由如下：
作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示：
，
，
，
，
，
，
设直线解析式为，
将代入可得，解得，
直线解析式为，
设直线解析式为，
把代入得：，解得，
直线解析式为，
联立，解得或，
；
（3）解：设直线解析式为，
将代入可得，解得，
直线解析式为，
设，
又，由勾股定理得，解得：或，故点，
设直线的表达式为，
将代入可得，则直线的表达式为，
由，可得直线的表达式为 ，
设直线的表达式为：，
抛物线的对称轴为：，
点，点，而点；
要使以为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形．
①若，由对称性得，
由，解得，
此时，故；
②若，则，
解得：或，
当时，，此时，
当时，，此时；
③若 ，则，
解得：或，
当时，，，此时，
当时，，四边形不存在，舍去；
综上，点的坐标为：或或或．
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