2025-2026学年上海杨浦高级高一上学期数学摸底考试卷（含答案）

杨高2025-2026学年第一学期高一年级数学开学考
一、填空题（本大题共有10题，满分30分）
1．已知全集，，则________．
2．已知的两边长，，则第三边的长的取值范围用区间表示
为________．
3．“存在，使得”的否定形式是________．
4．已知无论取何值，等式恒成立，则常数________．
5．已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是________．
6．已知集合，，其中为实数，，则的取值范围是________．
7．已知集合，若中至多有一个元素，则实数的取值范围是________．
8．关于的方程至少有一个负实根的充要条件是________．
9．设，，，是4个有理数，使得，则________．
10．已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是________．
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得4分，否则一律得零分．
11．设，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要
12．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C．或 D．
13．已知集合，，，则集合，，的关系为（ ）.
A． B． C． D．，
14．以某些整数为元素的集合具有以下性质：（1）中元素有正数，也有负数； （2）中元素有奇数，也有偶数； （3）；
（4）若、，则．则下列选项哪个是正确的（ ）.
A．集合中一定有0但没有2 B．集合中一定有0可能有2
C．集合中可能有0可能有2 D．集合中既没有0又没有2
三、解答题（满分54分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤．
15．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分．
（1）已知集合，，求；
（2）已知集合，，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值，若不存在，请说明理由．
16．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题5分．
（1）设，求关于的方程的解集．
（2）用反证法证明：若、、，且，，，则、、中至少有一个不小于0．
17．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分．
已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，，且，求的值．
18．（本题满分12分）本题共3个小题，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分．
如图，已知二次函数的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，连接、．
（1）求线段的长；
（2）若平分，求的值；
（3）该函数图象的对称轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19．（本题满分12分）本题共3个小题，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分．
已知正整数，，若正整数集的子集，，…，同时满足
条件①：对任意，存在唯一，使得；
条件②：对任意整数，及任意，均存在，使得，则称，，…，为“可表集合组”．
（1）若，，，则，是否为“7可表集合组”？说明理由，
（2）若，，为“可表集合组”，求的最小值；
（3）若，，为“15可表集合组”，求的最大值．
参考答案
一、填空题
1． 2． 3对任何，都有． 4．4 5．
6． 7．或 8． 9．3 10．1或
二、选择题
11．B 12．B 13．C 14．A
三、解答题（满分54分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤．
15．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分．
（1）已知集合，，求；
（2）已知集合，，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，
【解析】（1）由题意可得，解得，所以；
（2）存在，，理由如下：因为，则，
（i）若，则，此时，不合题意；
（ii）若，则或，
①当时，则，，符合题意；
②当时，此时，不合题意；综上所述：．
16．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题5分．
（1）设，求关于的方程的解集．
（2）用反证法证明：若、、，且，，，则、、中至少有一个不小于0．
【答案】（1）见解析 （2）证明见解析
【解析】（1）
①当时，，解集为；
②当时，解集为．
（2）证明：假设、、都小于0，即，，，则有，
因，，，且，，，
于是得
，与矛盾，
从而假设不成立，原结论成立，、、中至少有一个不小于0．
17．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分．
已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，，且，求的值．
【答案】（1）； （2）
【解析】（1）因为，所以，即1是方程的根，
所以，解得，所以由方程解得或，
所以，又由解得或，
所以，所以．
（2）由题可知，是方程的两个根，
因为，所以，解得，或
由韦达定理得，，因为，
即，解得或，又因为，或，所以．
18．（本题满分12分）本题共3个小题，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分．
如图，已知二次函数的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，连接、．
（1）求线段的长；
（2）若平分，求的值；
（3）该函数图象的对称轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）2； （2）； （3）存在，
【解析】（1）∵二次函数的图象与轴相交于点、，
∴令，则，∴，
∴或，∴，，∴，故答案为2：
（2）如下左图，由（1）知，，，∴，，
令，，∴，∴，过点作，
∴，∴，∴，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴，∴，
∴，在中，根据勾股定理得，，
∴，∴（舍）或（舍）或；
（3）存在，理由：假设存在，如上右图，∵二次函数，
∴抛物线对称轴为，∴点是的垂直平分线上，
∴是等边三角形，∴，，∴点是的垂直平分线上，
∴点是的外接圆的圆心，∵，∴，
∵，，∴，，
∴，∴，
∴函数图象的对称轴上存在点，使得为等边三角形．
19．（本题满分12分）本题共3个小题，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分．
已知正整数，，若正整数集的子集，，…，同时满足
条件①：对任意，存在唯一，使得；
条件②：对任意整数，及任意，均存在，使得，则称，，…，为“可表集合组”．
（1）若，，，则，是否为“7可表集合组”？说明理由，
（2）若，，为“可表集合组”，求的最小值；
（3）若，，为“15可表集合组”，求的最大值．
【答案】（1），不是“7可表集合组”，理由见解析； （2）7； （3）3
【解析】（1），不是“7可表集合组”．
因为，其元素中仅有一个奇数，则，若为偶数，则必为中两个偶数元素之和，至少为，可得，，
所以，不是“7可表集合组”．
（2）的最小值为7．首先给出的例子：
令，，可知则，为“7可表集合组”．
下面假设某个满足题设要求，则对任意，存在，使得．
注意到6表示为两个不同正整数的和只能是，，不妨设，，因为对任意，存在，使得，
注意到7表示为两个不同正整数的和只能是，，，
所以，，
注意到8表示为两个不同正整数的和只能是，，，
所以对任意，均有，与，是“可表集合组”矛盾．
所以假设不成立，综上所述：的最小值为7．
（3）的最大值为3．首先给出的例子：
令，，
，则，，为“15可表集合组”．
下面假设某个满足题设要求，
显然，，，也满足题设要求，故可不妨设，
令，
显然对任一下标，15，16，…，24这10个数中任一数均可写成的两个元素之和，
从而中元素至少有五个，注意，，，的元素个数之和为23，
从而必存在某个，使得的元素个数不大于5，
设，可知中两个不同元素之和所表示的15，16，…，24
这10个数恰可被中两个不同元素之和所表示，
则这些数的和为与，，，，均为正整数矛盾，所以假设不成立．
综上所述：的最大值为3．