2025-2026学年 苏科版八年级数学上册期中知识点复习题（1-3章）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年 苏科版八年级数学上册期中知识点复习题（1-3章）（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-27 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年八年级数学上册期中知识点复习题（1-3章）
【考点1 三角形的三边关系】
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．，, B．,,
C．，, D．,,
2．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ．
3．用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ．
4．现有、、、长的四根木棒，任选其中三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点2 三角形的角平分线、中线和高】
1．如图，在中，利用三角板能表示边上的高的为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．是的中线 B．是的角平分线
C． D．是的高
3．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6， AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差= ．
4．如图，已知中，点，分别是边，的中点．若的面积等于，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【考点3 全等三角形的性质】
1．如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点4 全等三角形的判定】
1．如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
2．小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心摔成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，可以选择的方法是（ ）
A．带（1）和（3）去 B．带（3）和（4）去
C．带（1）和（4）去 D．带（1）和（2）去
3．根据下列条件，能判定的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，与的周长相等
4．如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【考点5 角平分线的性质与判定】
1．如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是（ ）
A．5 B．6.8 C．7.5 D．8
4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，要画的角平分线，让一把直尺的一边与重合，让另一把直尺的一边与重合，并且两把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【考点6 线段垂直平分线的性质与判定】
1．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，，是边上的中线，点在上，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点7 等腰三角形的判定】
1．如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在中，，D，E分别是线段上的一点，根据下列条件之一，不能确定是等腰三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图,△ABC为等边三角形,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,OE∥AB交BC于点E,OF∥AC交BC于点F,图中等腰三角形共有( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ．
【考点8 等腰三角形的性质】
1．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°
2．如图，，则 ．
3．如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．不确定
4．如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ．
5．如图，在中，，，，，则 ．
【考点9 等边三角形的性质】
1．如图，以等边的边为腰作，使，连接，若，则 ．
2．如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为
3．如图，是等边的边的中点，且，于，于，则 ．
4．如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是 ．
【考点10 等边三角形的判定】
1．已知a，b，c为三边，且满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
2．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）
①有两个角是60°的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【考点11 直角三角形斜边的中线】
1．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上
三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，平分，于点，是的中点，则的周长是（ ）
A．9 B．10 C．13 D．20
3．如图所示，在四边形中，，，，为的中点，连接，若，则的度数为 ．
【考点12 平方根与算术平方根】
1．若，则的平方根是 ．
2．代数式的值最大时，的值为 ．
3．已知：满足关系，则的立方根是 ．
4．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（ ）
A．5 B．7 C．11 D．12
6．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．25
7．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点13 立方根】
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．的立方根是 B．的立方根是
C．0的立方根是0 D．的立方根是
2．若，则b等于（ ）
A．1000000 B．1000 C．10 D．10000
3．已知 则 （精确到百分位）
4．若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ．
【考点14 实数】
1．已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号）
2．如图，已知数轴上的点分别表示数、、1、2，则表示的点应落在线段（ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
3．若的整数部分是，小数部分是，则为（ ）
A． B． C． D．
4．对于的叙述，下列说法正确的是（ ）
A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数
C．它比大 D．它的相反数为
5．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【考点15 判断勾股数】
1．有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为 ．
2．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，，
3．勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；……可发现当一组勾股数的勾为（，为正整数）时，它的股、径分别为和．若一组勾股数的勾为26，则径为 ．
【考点16 利用勾股定理求线段长度】
1．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高的学生刚走到离门间距的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，，是斜边的中点，过点作于点，则线段的长度为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．5.2
3．如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【考点17 以弦图为背景的计算】
1．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（ ）
A． B． C． D．
2．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52 B．48 C．72 D．76
3．将两个“赵爽弦图”中的两个正方形和八个直角三角形按如图方式摆放围成正方形，空隙处增加四个正方形．记其中两个正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：
①；②；③若，则；④若，则，其中正确的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【考点18 判断三边能否构成直角三角形】
1．下列哪个条件不能判定为直角三角形（ ）
A． B．
C．，， D．
2．已知是的三边长，若，则的形状是 ．
3．如图，在长方形中，，，点，分别是，边上一点，且，．则图中的直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点19 已知两点求构成直角三角形的点】
1．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
2．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直．
【考点20 实数的运算】
1．计算：
(1) (2)
2．已知的平方根为，是的立方根．
(1)求，的值；
(2)求的算术平方根．
3．计算：
(1)； (2)．
4．求满足下列各式的未知数的值．
(1) (2)
5．如图是一个数值转换器（）
(1)当输入的x为时，输出的y值是______；
(2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______；
(3)若输出的y是，求x的负整数值．
【考点21 与折叠有关的角度的计算问题】
1．在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点与重合，折痕为．
(1)试求的周长；
(2)若，求的度数．
2．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，．
(1)求证：．
(2)若恰好平分，求的度数．
3．如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E．
(1)若折痕角，求帽子顶角的度数；
(2)设度，度．
①请用含的代数式表示，则________；
②当时，帽子比较美观，求此时的值．
【考点22 角的平分线与线段的垂直平分线】
1．在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F．
(1)求证：；
(2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由．
2．如图，，是的垂直平分线上两点，延长，交于点，交于点．
求证：
(1)是的角平分线；
(2)．
3．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H．
平分
，
即．
新知应用：
(1)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(2)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）．
【考点23 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】
1．如图1，是等边三角形，点D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接．
(1)若是的平分线，求的度数；
(2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，，试探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由．
2．如图（1），已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A，B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点，且当时，点恰好在（不含端点A，C）边上．
(1)在图（2）中画出当时的图形，并求出此时的长度；
(2)在点P的运动过程中，探究点到点A，C之间的距离的关系．
3．如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度．
(1)写出的等量关系；
(2)若，求的值．
【考点24 等腰三角形的性质与判定的综合】
1．如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若
(1)求证：是等腰三角形；
(2)点G是上一点，连接，若，，求的度数．
2．如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的度数．
3．已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，．
(1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °．
(2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值，
①求的度数；
②当时，求的度数．
(3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形．
【考点25 等边三角形的性质与判定的综合】
1．在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且．
(1)如图1，若点E是的中点，求证：．
(2)如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由．
2．如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证：
(1)是等边三角形；
(2)．
3．已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、．
(1)如图（1），如果，证明：；
(2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：．
【考点26 勾股定理的证明】
1．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
(1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值．
2．如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理．
请根据上述信息，回答下列问题：
(1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________；
(2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长．
3．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．著名的古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中给出了勾股定理的一种证明方法． 如图1，分别以的直角边及斜边为边向外作正方形，正方形和正方形，连接，作分别交于点．由四边形是正方形，可得．再由，可得．易得四边形和四边形是矩形（依据）． 思路梳理： 证明“”是关键，下面是“”的证明过程： 由四边形和四边形是正方形，易得． 点在同一直线上，即． ． 同理可证．从而可证明勾股定理．
任务：
(1)材料中的依据为______．
(2)请你补全材料中的证明过程．
(3)当不是直角三角形时，其三边关系显然不满足勾股定理．如图2，当是锐角三角形时，请直接写出与之间的关系，并利用勾股定理予以简单证明．（提示：过点作于点）
【考点27 勾股定理与折叠问题】
1．如图，小明同学将一个直角三角形的纸片折叠，与重合，折痕为，若已知，，你能求出的长吗？
2．已知，如图折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，如，．求的长．
3．如图①，在矩形纸片中，，．
【实践操作】
第一步：如图②，将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平；
第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去；
第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿折叠，得到，延长与交于点N，与交于点M．
【问题解决】
(1)在图②中证明四边形是正方形；
(2)请在图④中判断与的数量关系，并加以证明；
(3)请在图④中求的长度．
【考点28 利用勾股定理探究平方关系】
1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．
(1)若，，，，请求出，，，的值．
(2)若，，求的值．
(3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
2．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接．
(1)求证：.
(2)若，，，直接写出线段的长．
3．已知：在中，，．点、在线段上．
(1)如图1，如果，求证：．
(2)如图2，如果，求证：．
【考点29 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形】
1．已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足，
(1)直接写出______，______，______；
(2)判断的形状，并说明理由．
2．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
3．在中，，点，分别是，上的点，连接．
(1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”）
(2)如图，连接，若平分，，，，则 ．
(3)如图，若，，求证：点在的平分线上．
(4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，求线段的长．
【考点30 勾股定理的应用】
1．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点）
(1)求的长．
(2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度．
2．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算体育公园里一架秋千的绳索的长度．当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直．
(1)求绳索的长；
(2)直接写出将它往前推送，水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度 ．
3．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？
4．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是．
(1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间；
(2)C岛在A港的什么方向？
5．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米．
(1)求城镇之间的距离；
(2)现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？
6．综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．
(3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
【考点31 尺规作角平分线、线段垂直平分线】
1．如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
2．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法．
3．下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，，，是小路，现要在广场（四边形）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件：
①喷泉P到小路，的距离相等；
②喷泉P到入口A和D的距离相等．
请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）．
【考点32 利用勾股定理网格作图】
1．图①、图②、图③均是的正方形网格，的三个顶点A、B、C均在格点上． 每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1．在下图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中的上画出的高线；
(2)在图②中的上找一点E，连接，使与面积比为；
(3)在图③中的上找一点F，连接，使得．
2．如图是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长都是1，线段和的端点都在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出一个以线段为一边的平行四边形，所画的平行四边形的各顶点必须在小正方形的顶点上，且其周长为．
(2)在图中画出一个以线段为斜边的等腰，点G必须在小正方形的顶点上．连接，并直接写出的长．
3．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形．
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、．
(3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数．
4．如图均是边长为1的正方形组成的网格，小格的顶点叫格点，矩形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求作图：
(1)在图1中，在上找一点P，连接，使得；
(2)在图2中，在上找一点Q，连接，，使得平分．
参考答案
【考点1 三角形的三边关系】
1．C
解：A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
B.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
C.，且任意两边之和均大于第三边，能组成等边三角形；
D.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形．
故选：C．
2．
解：，
则．
故答案为：．
3．
解：设较短的边长是，则较长的边长是，
如果等腰三角形的腰长是底边长的倍，
，
，
此时等腰三角形的三边长分别是、、，满足三角形三边关系；
如果等腰三角形的底边长是腰长的倍，
，
，
此时等腰三角形的三边长分别是、、，不满足三角形三边关系，不能围成一个等腰三角形；
综上所述，等腰三角形的底边长是，
故答案为：．
4．A
根据三角形的三边关系，可以组成三角形的是、、
故可以组成三角形的个数是1
故答案为：A．
【考点2 三角形的角平分线、中线和高】
1．B
解：A、表示的是中边上的高，故此选项不符合题意；
B、表示的是中边上的高，故此选项符合题意；
C、不能表示的高，故此选项符合题意；
D、表示的是中边上的高，故此选项符合题意；
故选：B．
2．C
解：∵，即点E为中点，
∴是的中线，故A正确，不符合题意；
∵平分，
∴是的角平分线，故B正确，不符合题意；
∵平分，
∴．
∵，，
∴，故C错误，符合题意；
∵，即，
∴是的高，故D正确，不符合题意．
故选C．
3．2
解：已知D是BC边上的中线，可得BD=CD，
所以△ABD的周长-△ADC的周长=
故答案为：2
4．B
解：点是边的中点，的面积等于，
，
是的中点，
，
故选B．
【考点3 全等三角形的性质】
1．B
解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得，
故选：B．
2．C
解：∵在中，，且，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
3．B
解： ，
，
，
．
故选B．
【考点4 全等三角形的判定】
1．B
解：∵
∴ ，即
又∵
选项A：∵ ，，
∴ ，故A项不符合题意．
选项B：虽然，，，但这是“边边角”的情况，不能判定两个三角形全等，故B项符合题意．
选项C：∵ ，，
∴ ，故C项不符合题意．
选项D：∵ ，，
∴ ，故D项不符合题意．
故选：B．
2．D
解：A．带（1）和（3）去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
B．带（3）和（4）去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
C．带（1）和（4）去，只保留了原三角形的两个角，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
D．带（1）和（2）去，保留了原三角形的两个角和夹边，符合“角边角”定理，能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
故选：D．
3．D
根据全等三角形的判定定理，对选项逐个验证即可．
A．，，，没有边边角，故该选项不正确，不符合题意；
B．，，，不是对应边相等，故该选项不正确，不符合题意；
C．，，，没有对应边相等，故该选项不正确，不符合题意；
D．，，由与的周长，可得，根据边边边，能判定，故该选项正确，符合题意．
故选D．
4．B
解：甲中b、c与的边对应相等，但它们夹角是否相等未知，故甲与不一定全等，
乙中有两个角对应相等，而且两角夹边相等，满足，故乙与一定全等，
在丙图中，由边长为a的对角相等，而且还有另一组角对应相等，满足，故丙与一定全等，
综上可知能和全等的是乙、丙，
故选：B．
【考点5 角平分线的性质与判定】
1．B
如图，货物中转站在三角形内部有一个位置，在外部有三个位置，共有4个位置可选．
故选B．
2．D
解：∵，
∴，
∵O到三边的距离，
∴、分别平分和，
∴，
∴.
故选D.
3．D
解：如图，
过点作，垂足分别为，
∵是角平分线，
∴，设，
∵的面积是，是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选∶D．
4．A
解：如图，过P点作于C点，于D点，
∴，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴，
因为为公共边，
所以，
所以，
所以为的平分线．
故选：A．
【考点6 线段垂直平分线的性质与判定】
1．B
解：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
2．C
解：，是边上的中线，
，
垂直平分，
点在上，
，
故选：C．
3．A
解：∵，，
∴，
∵由作图可得：的垂直平分线交于，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
【考点7 等腰三角形的判定】
1．D
解：如图，
，
当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形，
当为底时，为等腰三角形，
满足条件的点共有个，
故选：D．
2．C
解：，
，
，
是的外角，
，
，
，
当时，
，
，
，
，故选项A可以确定是等腰三角形，故不符合题意；
当时，
则，
，
，
，
，故选项B可以确定是等腰三角形，故不符合题意；
当时，
则，
，
，
，
，故选项C不可以确定是等腰三角形，故符合题意；
当时，
则，
，
，
，
，故选项D可以确定是等腰三角形，故不符合题意．
故选C．
3．B
解：∵△ABC为正三角形，∴△ABC为等腰三角形；
∵OB，OC为角平分线，∴∠OBC=∠OCB，∴△BOC为等腰三角形；
∵OE∥AB，∴∠ABO=∠BOE=∠OBE，∴△BOE为等腰三角形；
同理，△COF为等腰三角形；
∠OEF=∠OFE，∴△EOF为等腰三角形．
所以题中共有5个等腰三角形
故选B．
4．5
解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如；
∴共有5个，
故答案为：5．
【考点8 等腰三角形的性质】
1．D
解：当高在三角形内部时，如图，
∵∠ABD=60°，BD⊥AC，
∴∠A=30°；
∴顶角是30°；
当高在三角形外部时，如图，
∵∠ABD=60°，BD⊥AC于D，
∴∠BAD=30°，
∴∠BAC=180°-30°=150°
∴顶角是150°．
故选：D．
2．60°
解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°-（∠CBD+∠BDC）=180°-60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-∠BCD-∠BCA=180°-120°-15°=45°，
∴∠CDE=180°-（∠ECD+∠CED）=180°-90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°，
∴∠DEF=180°-（∠EDF+∠EFC）=180°-120°=60°．
故答案为：60°．
3．C
解：设，．
∵，
∴，．
∵，
∴，．
∵为直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选C．
4．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
5．
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三线合一定理，三角形内角和定理，过点A作于H，由三线合一定理可得，由三角形内角和定理可得，则，可得，则．
【详解】解：如图所示，过点A作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点9 等边三角形的性质】
1．80
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：80．
2．
解：是边长为的等边三角形，
，
由折叠的性质得到：，
三个阴影部分的周长的和，
故答案为：．
3．5
解：∵为等边三角形，
∴，，
∵是边的中点，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
4．7
解：连接，交于点，
∵是等边三角形，且是高线，
∴垂直平分，,
∴.
即，
当点三点共线时，根据两点之间线段最短，最小，即最小，
∵是等边三角形，点E是边的中点，
∴是的高线.
∵，且，
∴，
∴最小值为7.
故答案为：7.
【考点10 等边三角形的判定】
1．C
，
，
，
，
或，
或，
∴是等腰三角形，
故选：C．
2．B
解：①若两个角都是60°，则第三个角也是60°，是等边三角形；
②有两个外角相等的三角形只能证明为等腰三角形，无法判断是否为等边三角形；
③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等，则三个内角都相等，是等边三角形；
④一边上的高也是这边中线的等腰三角形，可能是底边上的高与中线，等腰三角形有“三线合一”，不能判定为等边三角形．
以上能得到等边三角形的有2个，
故选：B．
3．D
解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，
∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选D．
【考点11 直角三角形斜边的中线】
1．B
解：由题意可知：，，
在中，，是的中线，
，
故选：B．
2．B
解：，，是的中点，
，
，平分，，
点是的中点，且，
，
，
的周长．
故选：B．
3．
解：如图，延长交延续于点，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点12 平方根与算术平方根】
1．
解：∵，
∴，
即的平方根是．
故答案为：
2．
解：，，
，且当时，取最小值0，
当时，代数式的值最大，最大值为．
故答案为：．
3．
解：由题意可得：
解得：，
所以，，
所以，，
故的立方根为，
故答案为：．
4．B
解：、，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
故选：．
5．C
解：∵的算术平方根是3，
∴，解得；
∵y是的整数部分，，
∴，
∴，
故选：C．
6．C
解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得：，
故，
则这个正数是：．
故选：C．
7．D
解：A． ，故该选项错误，不符合题题意；
B．表示算术平方根，结果应为非负数，即，故该选项错误，不符合题题意；
C． ，故 ，故该选项错误，不符合题题意；
D．，则 ，正确，符合题意．
故选D．
【考点13 立方根】
1．D
解：A．的立方根是，故选项正确；
B．的立方根是，故选项正确；
C．0的立方根是0，故选项正确；
D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误．
故选：D
2．A
∵，，
∴，，
∴，
故选：A．
3．
解：
故答案为：．
4．
∵是的算术平方根，是的立方根，
∴，，
∴．
故答案为：．
【考点14 实数】
1．，，
解：，
由题意可得，
整数有：，
分数有：，
无理数有：，
故答案为：，，．
2．A
解：∵，
∴，
∴，
∴，
即表示的点P落在线段上．
故选：A．
3．B
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
故选B．
4．B
解：、数轴上的点与实数一一对应，是实数，可以用数轴上的点表示，原选项说法错误；
、是有理数，是无理数，有理数与无理数的和为无理数，故是无理数，原选项说法正确；
、∵，
∴，原选项说法错误；
、 的相反数为，原选项说法错误；
故选：．
5．C
解：∵，，
∴，，
即，，
∴，，
又，
∴，
故选：C．
【考点15 判断勾股数】
1．
解：设第三个数为，
∵是一组勾股数，
∴①，
解得：（负值舍去），
②，
解得：（不是整数，不合题意，舍去)，
故答案为：．
2．C
解：A、∵，
∴2，3，5这组数不是勾股数，故此选项不符合题意；
B、∵和不是正整数，
∴，2，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴8，15，17这组数是勾股数，故此选项符合题意；
D、∵，，这三个数都不是正整数，
∴，，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．170
解：根据题意得，
当时，，
∴径为，
故答案为：170．
【考点16 利用勾股定理求线段长度】
1．C
如图，过点D作于点H，
依题意得，，，
∴，
∴．
故选C．
2．B
解：∵，
∴，
∵是斜边的中点，
∴，，
∴，
∴；
故选：B．
3．C
解：依题意，，，， ，
∵，
∴线段的长度最长，
故选：C．
4．C
解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度，
以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P，
所以数轴上的点P表示的数为：．
故选：C．
【考点17 以弦图为背景的计算】
1．D
解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，
∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，
∴它们的面积比为；
故选D．
2．D
解：由题意可知：，
∴，
∵，
∴ ，
∴风车的外围周长是；
故选：D．
3．A
解：设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边是a，较长直角边是b，斜边是c，则小正方形的边长是，
∴正方形的面积，正方形的面积，
∴，
∵正方形的边长是，
∴正方形的面积，
∴，
故①正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
故③错误，不符合题意；
∵J是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确，符合题意．
综上所述，正确的是①②④．
故选：A．
【考点18 判断三边能否构成直角三角形】
1．C
解：A、设，，，
，
，
是直角三角形；
B、，，
，即，
，
是直角三角形；
C、，，
∴，三边不能构成三角形，
不能判定是直角三角形；
D、，，
，
是直角三角形．
故选：C ．
2．直角三角形
解：∵，，，且，
∴
解得
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
3．D
解：∵在长方形中，，，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴图中的直角三角形有、、、，共个．
故选：D．
【考点19 已知两点求构成直角三角形的点】
1．C
解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
2．或或．
【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可．
【详解】解：设运动时间为
则，
当时，如图1所示，
过点作于点
，
中有，
，
中，，
中，，
，
，
解得：；
当时，如图2所示，
由可知，
又
；
当时，如图3所示，
过点作于点
由知，
中有，
中有，
，
又
当点移动秒或秒或秒时，与边垂直．
故答案为：或或．
【考点20 实数的运算】
1．（1）解：
；
（2）解：
2．（1）解：的平方根为，是的立方根，
，，
解得，；
（2）解：将，代入中得：
，
的算术平方根，
即的算术平方根．
3．（1）解：
；
（2）解：
．
4．（1）
（2）
5．（1）解：当时，，，，是无理数，
∴ 当输入的为时，输出的值是；
故答案为：；
（2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数，
∴当或时，始终输不出y值，
∴或或
（3）若第1次运算是，
∴，
∴，
解得或，
∵ 为负整数，
∴ 输入的值为；
若第2次运算是，
∴，，
∴，
解得或，
∵ 为负整数，
∴ 输入的值为，
∴，
∴的负整数值均为或．
【考点21 与折叠有关的角度的计算问题】
1．（1）解：根据折叠的性质，得，
∵的周长是，
∴的周长是，
∵，，
∴．
故的周长为14．
（2）解：∵，不妨设，
根据折叠的性质，得，
∴，
∵，
∴，
解得，
故．
2．（1）证明：由折叠可知，
，
，
，
，
；
（2）解：是的外角，
，
，
，
平分，
，
在中，，
．
3．（1）解：由题意得，，
，
，
，
由折叠的性质得，，
，
由轴对称的性质得，，
，
帽子顶角的度数为．
（2）解：①，
，
，
，
，
由轴对称的性质得，，
设度，度，
度，
在中，，
，
故答案为：；
②由（1）得，，
由①得，度，
度，
，
，
解得：，
，
的值为108．
【考点22 角的平分线与线段的垂直平分线】
1．（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBF，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=∠BAD=90°，
又∵BD=BD，
∴，
∴∠ADB=∠BDF，AB=BF；
（2）AD=AG，理由如下：
∵AE是斜边BC上的高，
∴AE⊥BC，
又∵DF⊥BC，
∴，
∴∠BGE=∠BDF，
又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，
∴∠AGD=∠ADB，
∴AG=AD．
2．（1）证明：点是的垂直平分线上的点，
，
，
交于点，
，
．
即是的角平分线．
（2）解：点是的垂直平分线上的点，
，
，
，，，
．
3．（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H
由探索新知，是的角平分线时，
，
∵，，
∴．
设，，
∴，
∴．
（2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H
由探索新知可知，对于，是角平分线时：
，
，
∵
∴．
∵，
∴．
故答案为；
（3）∵平分，
∴点D到，的距离相等，
∴，
∵，
∴，，
同理平分，
∴，
∴，，
连接，过点F作,，分别垂直于，，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
∴平分，
∴点F到，，三边的距离相等，
∴，
∵
∴，，，
∴
．
故答案为．
【考点23 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】
1．（1）解：设，
∵点与点关于对称，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：， 理由如下：
连接， 在上截取， 连接，
∵点与点关于对称，
∴， ，
∴是等边三角形，
∴， ，
∴，
∵，
，
，
，
，
．
2．（1）解：如图（2），已知，则，
由折叠可得，
∴
又∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：相等，理由如下：
在图（2）中，且由折叠可得
∴，是等边三角形，
在图（3）中，连接，
由对称可得，
∵是等边三角形
∴垂直平分，
∴垂直平分，
∴．
3．（1）解：由题意得度，度
度，
即，
解得；
（2）解：因为将沿边折叠到处，
所以度，
所以，
因为，
所以，即，
由（1）得，代入得
解得，
所以
【考点24 等腰三角形的性质与判定的综合】
1．（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
，
，
．
2．（1）证明：∵，点D是的中点，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，点D是的中点，，
∴．
在中，．
3．（1）解：∵，
∴，即为等腰三角形，
∵，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：70；
（2）①∵，，
∴，
∵，，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）若，
则，
∴．
①当时，，
∵，
∴此时不符合题意；
②当时，，
∵，
∴，
∴；
③当时，，
∴，
∴．
综上所述，当或时，是等腰三角形．
【考点25 等边三角形的性质与判定的综合】
1．（1）证明：∵是等边三角形，E是的中点，
∴，平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
过E作交于F，
∴
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴
在和中，
∴，
∴
∵，
∴
2．（1）证明：∵，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．（1）证明：∵，P是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【考点26 勾股定理的证明】
1．（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
∴，
即；
（2）解：在中，;
在中，，
所以，
解得，
∴，
∴．
2．（1）解：如图所示，割①补④，割⑤补⑥，割③补②；
（2）解：设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，
由题意可知中间小正方形的边长为，
∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，
∴，
所以．
由勾股定理，得，
∴．
∵，
∴，
则一个直角三角形的周长．
3．（1）解：依据是有三个角是直角的四边形是矩形，
（2）补全过程如下：
，
．
．
，
，
即．
（3）．
证明：如解图，过点作于点．
为锐角三角形，
点在线段上，即．
．
，
．
．
在中，根据勾股定理，得．
．
【考点27 勾股定理与折叠问题】
1．解：能；
∵是直角三角形，，，
∴，
由折叠可得，，，，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴．
2．解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
；
3．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）解；，证明如下：
如图所示，连接，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴ ，
∴；
（3）解：∵四边形是正方形，
∴，
设，则，
由折叠的性质可得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
【考点28 利用勾股定理探究平方关系】
1．（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点，
，
，，，，
，，，，
，，，；
（2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点，
，
，，
，，
；
（3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等．
2．（1）证明：作，交延长线于，连接
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
，
（2）解：设，
，，，
则，
，
，
，
即：，
由（1）知：，，，
，，
，
，
即：，
解得：，
即：．
3．（1）证明：如图所示，过点C作于F，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，
∵，
∴，
由旋转得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【考点29 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形】
1．（1）解：∵，，，，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
故答案为：，，．
（2）解：是直角三角形，理由：
由（1）得，，，
∵，
∴，
又∵a，b，c为的三边长，
∴是直角三角形．
2．（1）证明：∵，，，
∴
∴
∴是直角三角形；
（2）解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
3．（1）解：∵点为的中点，，
∴，
∵，，且，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）解：平分，，，
，
设，则，
在中，，
，
，
即，
故答案为：5；
（3）证明：如图，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
∴点在的平分线上；
（4）解：，理由如下：
由题意知，，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
；
②如图，连接，设，则，
，，
，，
由勾股定理，得，，
即，
，
线段的长为．
【考点30 勾股定理的应用】
1．（1）解：由题意，得．
设，则．
在中，由勾股定理，得，
即，
解得．
答：的长为．
（2）如图．
由题意，得，
所以．
在中，由勾股定理，得，
．
答：物体上升的高度为．
2．（1）解：由题意知，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
即绳索的长是．
（2）解：在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
即秋千踏板离地的垂直高度为.
故答案为：1．
3．（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米），
答：至少飞了米；
（2）解：由勾股定理得：，
，
解得：，
答：树折断处距离地面米．
4．（1）解：由题意可知．
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，而，
∴轮船从岛沿返回港所需的时间为．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴岛在港的北偏西方向上．
5．（1）解：如图所示，过点作于点，连接．
．
，，
，，
四边形为矩形，
千米，千米，
（千米），
在中，（千米），
答：城镇，之间的距离为13千米；
（2）解：如图，连接，，设千米，则千米．
，
，
∴，
解得，
中转站应修建在离点的距离为千米处．
6．（1）解：连接，
施工人员测量的是A，C两点之间的距离，
∵
∴，
∴，
即当测量A，C两点之间的距离为
∴满足勾股逆定理得；
∴，
故答案为：A，C；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴四边形的面积，
∴建造绿化地的费用（元）；
（3）解：∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元），
方案二：铺设管道所花的费用（元），
∵
∴铺设管道所需的最少费用为700元．
【考点31 尺规作角平分线、线段垂直平分线】
1．解：点P即为所求，如图所示：
2．解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求．
3．解：如图：点P的位置即为所求．
【考点32 利用勾股定理网格作图】
1．（1）解：，，
，
是等腰三角形，
如图：即为所求；
（2）解：在线段上截取，则，
与面积比即为．
如图：即为所求；
（3）解：如图：点F即为所求．，，是公共角，
，
又，
．
2．（1）解：，
∵以线段为一边的平行四边形周长为，
∴另一边长为，
画图如下；
（2）解：画图如下，
，，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
．
3．（1）解：如图，正方形即为所求，
（2）如图，即为所求，
（3）如图，，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
4．（1）解：如图1中，点P即为所求；
（2）解：如图2中，点Q即为所求．
【考点1 三角形的三边关系】
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．，, B．,,
C．，, D．,,
2．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ．
3．用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ．
4．现有、、、长的四根木棒，任选其中三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点2 三角形的角平分线、中线和高】
1．如图，在中，利用三角板能表示边上的高的为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．是的中线 B．是的角平分线
C． D．是的高
3．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6， AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差= ．
4．如图，已知中，点，分别是边，的中点．若的面积等于，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【考点3 全等三角形的性质】
1．如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点4 全等三角形的判定】
1．如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
2．小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心摔成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，可以选择的方法是（ ）
A．带（1）和（3）去 B．带（3）和（4）去
C．带（1）和（4）去 D．带（1）和（2）去
3．根据下列条件，能判定的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，与的周长相等
4．如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【考点5 角平分线的性质与判定】
1．如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是（ ）
A．5 B．6.8 C．7.5 D．8
4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，要画的角平分线，让一把直尺的一边与重合，让另一把直尺的一边与重合，并且两把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【考点6 线段垂直平分线的性质与判定】
1．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，，是边上的中线，点在上，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点7 等腰三角形的判定】
1．如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在中，，D，E分别是线段上的一点，根据下列条件之一，不能确定是等腰三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图,△ABC为等边三角形,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,OE∥AB交BC于点E,OF∥AC交BC于点F,图中等腰三角形共有( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ．
【考点8 等腰三角形的性质】
1．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°
2．如图，，则 ．
3．如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．不确定
4．如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ．
5．如图，在中，，，，，则 ．
【考点9 等边三角形的性质】
1．如图，以等边的边为腰作，使，连接，若，则 ．
2．如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为
3．如图，是等边的边的中点，且，于，于，则 ．
4．如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是 ．
【考点10 等边三角形的判定】
1．已知a，b，c为三边，且满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
2．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）
①有两个角是60°的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【考点11 直角三角形斜边的中线】
1．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上
三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，平分，于点，是的中点，则的周长是（ ）
A．9 B．10 C．13 D．20
3．如图所示，在四边形中，，，，为的中点，连接，若，则的度数为 ．
【考点12 平方根与算术平方根】
1．若，则的平方根是 ．
2．代数式的值最大时，的值为 ．
3．已知：满足关系，则的立方根是 ．
4．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（ ）
A．5 B．7 C．11 D．12
6．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．25
7．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点13 立方根】
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．的立方根是 B．的立方根是
C．0的立方根是0 D．的立方根是
2．若，则b等于（ ）
A．1000000 B．1000 C．10 D．10000
3．已知 则 （精确到百分位）
4．若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ．
【考点14 实数】
1．已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号）
2．如图，已知数轴上的点分别表示数、、1、2，则表示的点应落在线段（ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
3．若的整数部分是，小数部分是，则为（ ）
A． B． C． D．
4．对于的叙述，下列说法正确的是（ ）
A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数
C．它比大 D．它的相反数为
5．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【考点15 判断勾股数】
1．有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为 ．
2．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，，
3．勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；……可发现当一组勾股数的勾为（，为正整数）时，它的股、径分别为和．若一组勾股数的勾为26，则径为 ．
【考点16 利用勾股定理求线段长度】
1．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高的学生刚走到离门间距的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，，是斜边的中点，过点作于点，则线段的长度为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．5.2
3．如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【考点17 以弦图为背景的计算】
1．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（ ）
A． B． C． D．
2．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52 B．48 C．72 D．76
3．将两个“赵爽弦图”中的两个正方形和八个直角三角形按如图方式摆放围成正方形，空隙处增加四个正方形．记其中两个正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：
①；②；③若，则；④若，则，其中正确的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【考点18 判断三边能否构成直角三角形】
1．下列哪个条件不能判定为直角三角形（ ）
A． B．
C．，， D．
2．已知是的三边长，若，则的形状是 ．
3．如图，在长方形中，，，点，分别是，边上一点，且，．则图中的直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点19 已知两点求构成直角三角形的点】
1．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
2．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直．
【考点20 实数的运算】
1．计算：
(1) (2)
2．已知的平方根为，是的立方根．
(1)求，的值；
(2)求的算术平方根．
3．计算：
(1)； (2)．
4．求满足下列各式的未知数的值．
(1) (2)
5．如图是一个数值转换器（）
(1)当输入的x为时，输出的y值是______；
(2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______；
(3)若输出的y是，求x的负整数值．
【考点21 与折叠有关的角度的计算问题】
1．在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点与重合，折痕为．
(1)试求的周长；
(2)若，求的度数．
2．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，．
(1)求证：．
(2)若恰好平分，求的度数．
3．如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E．
(1)若折痕角，求帽子顶角的度数；
(2)设度，度．
①请用含的代数式表示，则________；
②当时，帽子比较美观，求此时的值．
【考点22 角的平分线与线段的垂直平分线】
1．在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F．
(1)求证：；
(2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由．
2．如图，，是的垂直平分线上两点，延长，交于点，交于点．
求证：
(1)是的角平分线；
(2)．
3．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H．
平分
，
即．
新知应用：
(1)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(2)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）．
【考点23 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】
1．如图1，是等边三角形，点D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接．
(1)若是的平分线，求的度数；
(2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，，试探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由．
2．如图（1），已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A，B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点，且当时，点恰好在（不含端点A，C）边上．
(1)在图（2）中画出当时的图形，并求出此时的长度；
(2)在点P的运动过程中，探究点到点A，C之间的距离的关系．
3．如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度．
(1)写出的等量关系；
(2)若，求的值．
【考点24 等腰三角形的性质与判定的综合】
1．如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若
(1)求证：是等腰三角形；
(2)点G是上一点，连接，若，，求的度数．
2．如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的度数．
3．已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，．
(1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °．
(2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值，
①求的度数；
②当时，求的度数．
(3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形．
【考点25 等边三角形的性质与判定的综合】
1．在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且．
(1)如图1，若点E是的中点，求证：．
(2)如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由．
2．如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证：
(1)是等边三角形；
(2)．
3．已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、．
(1)如图（1），如果，证明：；
(2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：．
【考点26 勾股定理的证明】
1．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
(1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值．
2．如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理．
请根据上述信息，回答下列问题：
(1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________；
(2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长．
3．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．著名的古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中给出了勾股定理的一种证明方法． 如图1，分别以的直角边及斜边为边向外作正方形，正方形和正方形，连接，作分别交于点．由四边形是正方形，可得．再由，可得．易得四边形和四边形是矩形（依据）． 思路梳理： 证明“”是关键，下面是“”的证明过程： 由四边形和四边形是正方形，易得． 点在同一直线上，即． ． 同理可证．从而可证明勾股定理．
任务：
(1)材料中的依据为______．
(2)请你补全材料中的证明过程．
(3)当不是直角三角形时，其三边关系显然不满足勾股定理．如图2，当是锐角三角形时，请直接写出与之间的关系，并利用勾股定理予以简单证明．（提示：过点作于点）
【考点27 勾股定理与折叠问题】
1．如图，小明同学将一个直角三角形的纸片折叠，与重合，折痕为，若已知，，你能求出的长吗？
2．已知，如图折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，如，．求的长．
3．如图①，在矩形纸片中，，．
【实践操作】
第一步：如图②，将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平；
第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去；
第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿折叠，得到，延长与交于点N，与交于点M．
【问题解决】
(1)在图②中证明四边形是正方形；
(2)请在图④中判断与的数量关系，并加以证明；
(3)请在图④中求的长度．
【考点28 利用勾股定理探究平方关系】
1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．
(1)若，，，，请求出，，，的值．
(2)若，，求的值．
(3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
2．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接．
(1)求证：.
(2)若，，，直接写出线段的长．
3．已知：在中，，．点、在线段上．
(1)如图1，如果，求证：．
(2)如图2，如果，求证：．
【考点29 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形】
1．已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足，
(1)直接写出______，______，______；
(2)判断的形状，并说明理由．
2．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
3．在中，，点，分别是，上的点，连接．
(1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”）
(2)如图，连接，若平分，，，，则 ．
(3)如图，若，，求证：点在的平分线上．
(4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，求线段的长．
【考点30 勾股定理的应用】
1．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点）
(1)求的长．
(2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度．
2．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算体育公园里一架秋千的绳索的长度．当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直．
(1)求绳索的长；
(2)直接写出将它往前推送，水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度 ．
3．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？
4．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是．
(1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间；
(2)C岛在A港的什么方向？
5．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米．
(1)求城镇之间的距离；
(2)现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？
6．综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．
(3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
【考点31 尺规作角平分线、线段垂直平分线】
1．如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
2．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法．
3．下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，，，是小路，现要在广场（四边形）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件：
①喷泉P到小路，的距离相等；
②喷泉P到入口A和D的距离相等．
请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）．
【考点32 利用勾股定理网格作图】
1．图①、图②、图③均是的正方形网格，的三个顶点A、B、C均在格点上． 每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1．在下图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中的上画出的高线；
(2)在图②中的上找一点E，连接，使与面积比为；
(3)在图③中的上找一点F，连接，使得．
2．如图是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长都是1，线段和的端点都在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出一个以线段为一边的平行四边形，所画的平行四边形的各顶点必须在小正方形的顶点上，且其周长为．
(2)在图中画出一个以线段为斜边的等腰，点G必须在小正方形的顶点上．连接，并直接写出的长．
3．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形．
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、．
(3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数．
4．如图均是边长为1的正方形组成的网格，小格的顶点叫格点，矩形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求作图：
(1)在图1中，在上找一点P，连接，使得；
(2)在图2中，在上找一点Q，连接，，使得平分．
参考答案
【考点1 三角形的三边关系】
1．C
解：A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
B.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
C.，且任意两边之和均大于第三边，能组成等边三角形；
D.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形．
故选：C．
2．
解：，
则．
故答案为：．
3．
解：设较短的边长是，则较长的边长是，
如果等腰三角形的腰长是底边长的倍，
，
，
此时等腰三角形的三边长分别是、、，满足三角形三边关系；
如果等腰三角形的底边长是腰长的倍，
，
，
此时等腰三角形的三边长分别是、、，不满足三角形三边关系，不能围成一个等腰三角形；
综上所述，等腰三角形的底边长是，
故答案为：．
4．A
根据三角形的三边关系，可以组成三角形的是、、
故可以组成三角形的个数是1
故答案为：A．
【考点2 三角形的角平分线、中线和高】
1．B
解：A、表示的是中边上的高，故此选项不符合题意；
B、表示的是中边上的高，故此选项符合题意；
C、不能表示的高，故此选项符合题意；
D、表示的是中边上的高，故此选项符合题意；
故选：B．
2．C
解：∵，即点E为中点，
∴是的中线，故A正确，不符合题意；
∵平分，
∴是的角平分线，故B正确，不符合题意；
∵平分，
∴．
∵，，
∴，故C错误，符合题意；
∵，即，
∴是的高，故D正确，不符合题意．
故选C．
3．2
解：已知D是BC边上的中线，可得BD=CD，
所以△ABD的周长-△ADC的周长=
故答案为：2
4．B
解：点是边的中点，的面积等于，
，
是的中点，
，
故选B．
【考点3 全等三角形的性质】
1．B
解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得，
故选：B．
2．C
解：∵在中，，且，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
3．B
解： ，
，
，
．
故选B．
【考点4 全等三角形的判定】
1．B
解：∵
∴ ，即
又∵
选项A：∵ ，，
∴ ，故A项不符合题意．
选项B：虽然，，，但这是“边边角”的情况，不能判定两个三角形全等，故B项符合题意．
选项C：∵ ，，
∴ ，故C项不符合题意．
选项D：∵ ，，
∴ ，故D项不符合题意．
故选：B．
2．D
解：A．带（1）和（3）去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
B．带（3）和（4）去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
C．带（1）和（4）去，只保留了原三角形的两个角，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
D．带（1）和（2）去，保留了原三角形的两个角和夹边，符合“角边角”定理，能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
故选：D．
3．D
根据全等三角形的判定定理，对选项逐个验证即可．
A．，，，没有边边角，故该选项不正确，不符合题意；
B．，，，不是对应边相等，故该选项不正确，不符合题意；
C．，，，没有对应边相等，故该选项不正确，不符合题意；
D．，，由与的周长，可得，根据边边边，能判定，故该选项正确，符合题意．
故选D．
4．B
解：甲中b、c与的边对应相等，但它们夹角是否相等未知，故甲与不一定全等，
乙中有两个角对应相等，而且两角夹边相等，满足，故乙与一定全等，
在丙图中，由边长为a的对角相等，而且还有另一组角对应相等，满足，故丙与一定全等，
综上可知能和全等的是乙、丙，
故选：B．
【考点5 角平分线的性质与判定】
1．B
如图，货物中转站在三角形内部有一个位置，在外部有三个位置，共有4个位置可选．
故选B．
2．D
解：∵，
∴，
∵O到三边的距离，
∴、分别平分和，
∴，
∴.
故选D.
3．D
解：如图，
过点作，垂足分别为，
∵是角平分线，
∴，设，
∵的面积是，是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选∶D．
4．A
解：如图，过P点作于C点，于D点，
∴，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴，
因为为公共边，
所以，
所以，
所以为的平分线．
故选：A．
【考点6 线段垂直平分线的性质与判定】
1．B
解：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
2．C
解：，是边上的中线，
，
垂直平分，
点在上，
，
故选：C．
3．A
解：∵，，
∴，
∵由作图可得：的垂直平分线交于，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
【考点7 等腰三角形的判定】
1．D
解：如图，
，
当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形，
当为底时，为等腰三角形，
满足条件的点共有个，
故选：D．
2．C
解：，
，
，
是的外角，
，
，
，
当时，
，
，
，
，故选项A可以确定是等腰三角形，故不符合题意；
当时，
则，
，
，
，
，故选项B可以确定是等腰三角形，故不符合题意；
当时，
则，
，
，
，
，故选项C不可以确定是等腰三角形，故符合题意；
当时，
则，
，
，
，
，故选项D可以确定是等腰三角形，故不符合题意．
故选C．
3．B
解：∵△ABC为正三角形，∴△ABC为等腰三角形；
∵OB，OC为角平分线，∴∠OBC=∠OCB，∴△BOC为等腰三角形；
∵OE∥AB，∴∠ABO=∠BOE=∠OBE，∴△BOE为等腰三角形；
同理，△COF为等腰三角形；
∠OEF=∠OFE，∴△EOF为等腰三角形．
所以题中共有5个等腰三角形
故选B．
4．5
解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如；
∴共有5个，
故答案为：5．
【考点8 等腰三角形的性质】
1．D
解：当高在三角形内部时，如图，
∵∠ABD=60°，BD⊥AC，
∴∠A=30°；
∴顶角是30°；
当高在三角形外部时，如图，
∵∠ABD=60°，BD⊥AC于D，
∴∠BAD=30°，
∴∠BAC=180°-30°=150°
∴顶角是150°．
故选：D．
2．60°
解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°-（∠CBD+∠BDC）=180°-60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-∠BCD-∠BCA=180°-120°-15°=45°，
∴∠CDE=180°-（∠ECD+∠CED）=180°-90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°，
∴∠DEF=180°-（∠EDF+∠EFC）=180°-120°=60°．
故答案为：60°．
3．C
解：设，．
∵，
∴，．
∵，
∴，．
∵为直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选C．
4．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
5．
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三线合一定理，三角形内角和定理，过点A作于H，由三线合一定理可得，由三角形内角和定理可得，则，可得，则．
【详解】解：如图所示，过点A作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点9 等边三角形的性质】
1．80
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：80．
2．
解：是边长为的等边三角形，
，
由折叠的性质得到：，
三个阴影部分的周长的和，
故答案为：．
3．5
解：∵为等边三角形，
∴，，
∵是边的中点，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
4．7
解：连接，交于点，
∵是等边三角形，且是高线，
∴垂直平分，,
∴.
即，
当点三点共线时，根据两点之间线段最短，最小，即最小，
∵是等边三角形，点E是边的中点，
∴是的高线.
∵，且，
∴，
∴最小值为7.
故答案为：7.
【考点10 等边三角形的判定】
1．C
，
，
，
，
或，
或，
∴是等腰三角形，
故选：C．
2．B
解：①若两个角都是60°，则第三个角也是60°，是等边三角形；
②有两个外角相等的三角形只能证明为等腰三角形，无法判断是否为等边三角形；
③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等，则三个内角都相等，是等边三角形；
④一边上的高也是这边中线的等腰三角形，可能是底边上的高与中线，等腰三角形有“三线合一”，不能判定为等边三角形．
以上能得到等边三角形的有2个，
故选：B．
3．D
解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，
∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选D．
【考点11 直角三角形斜边的中线】
1．B
解：由题意可知：，，
在中，，是的中线，
，
故选：B．
2．B
解：，，是的中点，
，
，平分，，
点是的中点，且，
，
，
的周长．
故选：B．
3．
解：如图，延长交延续于点，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点12 平方根与算术平方根】
1．
解：∵，
∴，
即的平方根是．
故答案为：
2．
解：，，
，且当时，取最小值0，
当时，代数式的值最大，最大值为．
故答案为：．
3．
解：由题意可得：
解得：，
所以，，
所以，，
故的立方根为，
故答案为：．
4．B
解：、，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
故选：．
5．C
解：∵的算术平方根是3，
∴，解得；
∵y是的整数部分，，
∴，
∴，
故选：C．
6．C
解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得：，
故，
则这个正数是：．
故选：C．
7．D
解：A． ，故该选项错误，不符合题题意；
B．表示算术平方根，结果应为非负数，即，故该选项错误，不符合题题意；
C． ，故 ，故该选项错误，不符合题题意；
D．，则 ，正确，符合题意．
故选D．
【考点13 立方根】
1．D
解：A．的立方根是，故选项正确；
B．的立方根是，故选项正确；
C．0的立方根是0，故选项正确；
D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误．
故选：D
2．A
∵，，
∴，，
∴，
故选：A．
3．
解：
故答案为：．
4．
∵是的算术平方根，是的立方根，
∴，，
∴．
故答案为：．
【考点14 实数】
1．，，
解：，
由题意可得，
整数有：，
分数有：，
无理数有：，
故答案为：，，．
2．A
解：∵，
∴，
∴，
∴，
即表示的点P落在线段上．
故选：A．
3．B
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
故选B．
4．B
解：、数轴上的点与实数一一对应，是实数，可以用数轴上的点表示，原选项说法错误；
、是有理数，是无理数，有理数与无理数的和为无理数，故是无理数，原选项说法正确；
、∵，
∴，原选项说法错误；
、 的相反数为，原选项说法错误；
故选：．
5．C
解：∵，，
∴，，
即，，
∴，，
又，
∴，
故选：C．
【考点15 判断勾股数】
1．
解：设第三个数为，
∵是一组勾股数，
∴①，
解得：（负值舍去），
②，
解得：（不是整数，不合题意，舍去)，
故答案为：．
2．C
解：A、∵，
∴2，3，5这组数不是勾股数，故此选项不符合题意；
B、∵和不是正整数，
∴，2，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴8，15，17这组数是勾股数，故此选项符合题意；
D、∵，，这三个数都不是正整数，
∴，，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．170
解：根据题意得，
当时，，
∴径为，
故答案为：170．
【考点16 利用勾股定理求线段长度】
1．C
如图，过点D作于点H，
依题意得，，，
∴，
∴．
故选C．
2．B
解：∵，
∴，
∵是斜边的中点，
∴，，
∴，
∴；
故选：B．
3．C
解：依题意，，，， ，
∵，
∴线段的长度最长，
故选：C．
4．C
解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度，
以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P，
所以数轴上的点P表示的数为：．
故选：C．
【考点17 以弦图为背景的计算】
1．D
解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，
∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，
∴它们的面积比为；
故选D．
2．D
解：由题意可知：，
∴，
∵，
∴ ，
∴风车的外围周长是；
故选：D．
3．A
解：设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边是a，较长直角边是b，斜边是c，则小正方形的边长是，
∴正方形的面积，正方形的面积，
∴，
∵正方形的边长是，
∴正方形的面积，
∴，
故①正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
故③错误，不符合题意；
∵J是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确，符合题意．
综上所述，正确的是①②④．
故选：A．
【考点18 判断三边能否构成直角三角形】
1．C
解：A、设，，，
，
，
是直角三角形；
B、，，
，即，
，
是直角三角形；
C、，，
∴，三边不能构成三角形，
不能判定是直角三角形；
D、，，
，
是直角三角形．
故选：C ．
2．直角三角形
解：∵，，，且，
∴
解得
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
3．D
解：∵在长方形中，，，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴图中的直角三角形有、、、，共个．
故选：D．
【考点19 已知两点求构成直角三角形的点】
1．C
解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
2．或或．
【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可．
【详解】解：设运动时间为
则，
当时，如图1所示，
过点作于点
，
中有，
，
中，，
中，，
，
，
解得：；
当时，如图2所示，
由可知，
又
；
当时，如图3所示，
过点作于点
由知，
中有，
中有，
，
又
当点移动秒或秒或秒时，与边垂直．
故答案为：或或．
【考点20 实数的运算】
1．（1）解：
；
（2）解：
2．（1）解：的平方根为，是的立方根，
，，
解得，；
（2）解：将，代入中得：
，
的算术平方根，
即的算术平方根．
3．（1）解：
；
（2）解：
．
4．（1）
（2）
5．（1）解：当时，，，，是无理数，
∴ 当输入的为时，输出的值是；
故答案为：；
（2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数，
∴当或时，始终输不出y值，
∴或或
（3）若第1次运算是，
∴，
∴，
解得或，
∵ 为负整数，
∴ 输入的值为；
若第2次运算是，
∴，，
∴，
解得或，
∵ 为负整数，
∴ 输入的值为，
∴，
∴的负整数值均为或．
【考点21 与折叠有关的角度的计算问题】
1．（1）解：根据折叠的性质，得，
∵的周长是，
∴的周长是，
∵，，
∴．
故的周长为14．
（2）解：∵，不妨设，
根据折叠的性质，得，
∴，
∵，
∴，
解得，
故．
2．（1）证明：由折叠可知，
，
，
，
，
；
（2）解：是的外角，
，
，
，
平分，
，
在中，，
．
3．（1）解：由题意得，，
，
，
，
由折叠的性质得，，
，
由轴对称的性质得，，
，
帽子顶角的度数为．
（2）解：①，
，
，
，
，
由轴对称的性质得，，
设度，度，
度，
在中，，
，
故答案为：；
②由（1）得，，
由①得，度，
度，
，
，
解得：，
，
的值为108．
【考点22 角的平分线与线段的垂直平分线】
1．（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBF，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=∠BAD=90°，
又∵BD=BD，
∴，
∴∠ADB=∠BDF，AB=BF；
（2）AD=AG，理由如下：
∵AE是斜边BC上的高，
∴AE⊥BC，
又∵DF⊥BC，
∴，
∴∠BGE=∠BDF，
又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，
∴∠AGD=∠ADB，
∴AG=AD．
2．（1）证明：点是的垂直平分线上的点，
，
，
交于点，
，
．
即是的角平分线．
（2）解：点是的垂直平分线上的点，
，
，
，，，
．
3．（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H
由探索新知，是的角平分线时，
，
∵，，
∴．
设，，
∴，
∴．
（2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H
由探索新知可知，对于，是角平分线时：
，
，
∵
∴．
∵，
∴．
故答案为；
（3）∵平分，
∴点D到，的距离相等，
∴，
∵，
∴，，
同理平分，
∴，
∴，，
连接，过点F作,，分别垂直于，，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
∴平分，
∴点F到，，三边的距离相等，
∴，
∵
∴，，，
∴
．
故答案为．
【考点23 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】
1．（1）解：设，
∵点与点关于对称，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：， 理由如下：
连接， 在上截取， 连接，
∵点与点关于对称，
∴， ，
∴是等边三角形，
∴， ，
∴，
∵，
，
，
，
，
．
2．（1）解：如图（2），已知，则，
由折叠可得，
∴
又∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：相等，理由如下：
在图（2）中，且由折叠可得
∴，是等边三角形，
在图（3）中，连接，
由对称可得，
∵是等边三角形
∴垂直平分，
∴垂直平分，
∴．
3．（1）解：由题意得度，度
度，
即，
解得；
（2）解：因为将沿边折叠到处，
所以度，
所以，
因为，
所以，即，
由（1）得，代入得
解得，
所以
【考点24 等腰三角形的性质与判定的综合】
1．（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
，
，
．
2．（1）证明：∵，点D是的中点，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，点D是的中点，，
∴．
在中，．
3．（1）解：∵，
∴，即为等腰三角形，
∵，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：70；
（2）①∵，，
∴，
∵，，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）若，
则，
∴．
①当时，，
∵，
∴此时不符合题意；
②当时，，
∵，
∴，
∴；
③当时，，
∴，
∴．
综上所述，当或时，是等腰三角形．
【考点25 等边三角形的性质与判定的综合】
1．（1）证明：∵是等边三角形，E是的中点，
∴，平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
过E作交于F，
∴
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴
在和中，
∴，
∴
∵，
∴
2．（1）证明：∵，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．（1）证明：∵，P是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【考点26 勾股定理的证明】
1．（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
∴，
即；
（2）解：在中，;
在中，，
所以，
解得，
∴，
∴．
2．（1）解：如图所示，割①补④，割⑤补⑥，割③补②；
（2）解：设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，
由题意可知中间小正方形的边长为，
∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，
∴，
所以．
由勾股定理，得，
∴．
∵，
∴，
则一个直角三角形的周长．
3．（1）解：依据是有三个角是直角的四边形是矩形，
（2）补全过程如下：
，
．
．
，
，
即．
（3）．
证明：如解图，过点作于点．
为锐角三角形，
点在线段上，即．
．
，
．
．
在中，根据勾股定理，得．
．
【考点27 勾股定理与折叠问题】
1．解：能；
∵是直角三角形，，，
∴，
由折叠可得，，，，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴．
2．解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
；
3．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）解；，证明如下：
如图所示，连接，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴ ，
∴；
（3）解：∵四边形是正方形，
∴，
设，则，
由折叠的性质可得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
【考点28 利用勾股定理探究平方关系】
1．（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点，
，
，，，，
，，，，
，，，；
（2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点，
，
，，
，，
；
（3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等．
2．（1）证明：作，交延长线于，连接
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
，
（2）解：设，
，，，
则，
，
，
，
即：，
由（1）知：，，，
，，
，
，
即：，
解得：，
即：．
3．（1）证明：如图所示，过点C作于F，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，
∵，
∴，
由旋转得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【考点29 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形】
1．（1）解：∵，，，，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
故答案为：，，．
（2）解：是直角三角形，理由：
由（1）得，，，
∵，
∴，
又∵a，b，c为的三边长，
∴是直角三角形．
2．（1）证明：∵，，，
∴
∴
∴是直角三角形；
（2）解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
3．（1）解：∵点为的中点，，
∴，
∵，，且，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）解：平分，，，
，
设，则，
在中，，
，
，
即，
故答案为：5；
（3）证明：如图，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
∴点在的平分线上；
（4）解：，理由如下：
由题意知，，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
；
②如图，连接，设，则，
，，
，，
由勾股定理，得，，
即，
，
线段的长为．
【考点30 勾股定理的应用】
1．（1）解：由题意，得．
设，则．
在中，由勾股定理，得，
即，
解得．
答：的长为．
（2）如图．
由题意，得，
所以．
在中，由勾股定理，得，
．
答：物体上升的高度为．
2．（1）解：由题意知，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
即绳索的长是．
（2）解：在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
即秋千踏板离地的垂直高度为.
故答案为：1．
3．（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米），
答：至少飞了米；
（2）解：由勾股定理得：，
，
解得：，
答：树折断处距离地面米．
4．（1）解：由题意可知．
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，而，
∴轮船从岛沿返回港所需的时间为．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴岛在港的北偏西方向上．
5．（1）解：如图所示，过点作于点，连接．
．
，，
，，
四边形为矩形，
千米，千米，
（千米），
在中，（千米），
答：城镇，之间的距离为13千米；
（2）解：如图，连接，，设千米，则千米．
，
，
∴，
解得，
中转站应修建在离点的距离为千米处．
6．（1）解：连接，
施工人员测量的是A，C两点之间的距离，
∵
∴，
∴，
即当测量A，C两点之间的距离为
∴满足勾股逆定理得；
∴，
故答案为：A，C；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴四边形的面积，
∴建造绿化地的费用（元）；
（3）解：∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元），
方案二：铺设管道所花的费用（元），
∵
∴铺设管道所需的最少费用为700元．
【考点31 尺规作角平分线、线段垂直平分线】
1．解：点P即为所求，如图所示：
2．解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求．
3．解：如图：点P的位置即为所求．
【考点32 利用勾股定理网格作图】
1．（1）解：，，
，
是等腰三角形，
如图：即为所求；
（2）解：在线段上截取，则，
与面积比即为．
如图：即为所求；
（3）解：如图：点F即为所求．，，是公共角，
，
又，
．
2．（1）解：，
∵以线段为一边的平行四边形周长为，
∴另一边长为，
画图如下；
（2）解：画图如下，
，，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
．
3．（1）解：如图，正方形即为所求，
（2）如图，即为所求，
（3）如图，，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
4．（1）解：如图1中，点P即为所求；
（2）解：如图2中，点Q即为所求．
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