2025-2026学年人教版八年级数学上学期期中测试卷（13-15章） （含答案）

2025-2026学年八年级数学上学期期中测试卷（13-15章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．如图所示的是可调躺椅的示意图，与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，若使，则图中应减少（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是等边三角形，是边上的动点（不与点，重合），连结，点，分别在线段，的延长线上，且，在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和的变化情况为（ ）
A．一直变大 B．一直变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
3．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，点A，B分别在射线，上（均不与点O重合），的角平分线与角平分线交于点 E．随着点A，B位置的变化，对于和，下列判断正确的是（ ）
A． 和的度数均会改变
B．和的度数均不会改变
C．只有的度数不会改变
D．只有的度数不会改变
5．如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，平分交于，，，于，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形中，E为上一点，过B作于点G，延长至点F，使得，连接．若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时，．其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在中，，点为中点，连接，点、点分别为上两动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，在中，，图中阴影部分的面积为25平方厘米，则的面积为 平方厘米．
12．如图，是等边三角形，，则的度数为 ．
13．如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ．
14．如图，的度数是 ．
15．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 个．
16．如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）李明、林红和红军三位同学同时测量的三边长，李明说：“的周长是．”红军说∶“的三边长都是整数．”
(1)若是最大边，则的最大长度为；
(2)林红说：“的长度为．”若是等腰三角形，求边的长度．
18．（6分）如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且．
(1)求证：；
(2)延长交延长线于点，求证：；
19．（8分）如图1，在中，，，点是的中点，点是边上一点．直线垂直于直线，垂足为点F，交于点G．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)如图2，直线垂直于直线，垂足为点H，交的延长线于点M，找出图中与相等的线段，并证明．
20．（8分）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题．
【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；
，
，
∵，，
，，
，
，
∵
，
__________；
②，，则__________；
【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；
【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________．
21．（10分）如图，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），连接，交于点O．
(1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为 ．
(2)如图2，若，BE是的高，则的度数为 ．
(3)如图3，若，BE是的角平分线，求的度数．
22．（10分）如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动．
(1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系；
(2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等．
(3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇．
23．（12分）为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，．
(1)如图1，作于F，求证：；
(2)在图1中，连接交于M，如图2，求的值；
(3)如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论．
24．（12分）综合实践
教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程．
(1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定．
若，则的度数为 ．
求证：．
(2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由．
(3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．A
解：如图，延长交于点，
由图可知，，，，
，
，
，
，
则图中应减少，
故选：A．
2．D
解：设等边的边长为，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴与的周长之和为
，
∴与的周长之和随着的变化而变化，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，
∴在动点从点运动到点的过程中，的值是先变小后变大，
∴在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和的变化情况为先变小后变大，
故选：D．
3．B
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴.
故选：B．
4．D
解：∵平分，
∴，
∴，
∵随着点A，B位置的改变，的大小也随之改变，
∴的度数会改变．
∵平分，
∴，
∴
，
∴随着点A，B位置的改变，的度数不会改变．
故选：D
5．C
解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
6．C
解：延长交于点，
平分，
，
，
，
在与中，
，
，
，，，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
7．A
解：如图，过C作于H，则；
在正方形中，；
，
；
；
，
；
在与中，
，
，
；
，
，
即，
；
，
，
，
．
故选：A．
8．A
解：如图，过点C作，使得，连接，，交于点M，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，且此时点F与点M重合，
∵,
∴，
∴，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即此时，
∵
∴，
∴此时．
故选：A．
9．D
解：连接，如图

∵，，
∴是等边三角形，
∴， ，
∵，
∴，故①符合题意；
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴， 故②符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴， 故③符合题意；
，，
，
∵，，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，故④符合题意；
综上分析可知：正确的有4个．
故选：．
10．A
解：连接，过点作的对称点，连接，过点作于点，作于点，
∴，，
∵，点为中点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
当点共线时，取得最小值，如图：
记交于点，
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴此时，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵关于对称，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题
11．200
解：因为与等高，
又因为，
所以，
同理，，
所以．
所以（平方厘米）
故答案为：200．
12．
解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
13．
解：如图，
根据题意得，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
解：如图，根据题意，得，且，
由，
故
；
故答案为：．
15．6
解：以为公共边可画出三个三角形和原三角形全等．以为公共边可画出三个三角形和原三角形全等，所以可画出6个这样的三角形．
故答案为：6．
16．5
解：在上截取，连接，
设，则由题意得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
三、解答题
17．（1）解：设三边长分别为，，，且，，均为正整数，最大边长为．
∵的周长是，
∴．则
根据三角形的三边关系，
∴
∴，
∵是正整数，则的最大值为，
故答案为：7．
（2）解：知，周长为，且三边长均为整数，因此．
设，，则，且，为正整数．
是等腰三角形，即至少两边相等．可能情形如下：
，则，代入得．边长为，，，能构成三角形．
，则，代入得．边长为，，，能构成三角形．
：即，则得，边长为，，，能构成三角形
综上所述，的长度为或或
18．（1）证明：过点A作于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：根据折叠可知：，
∵；
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵点D是中点，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（3）．理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
在和中，
∴，
∴．
20．解：（1）①，
，
∵，，
，，
，
，
∵，，，
∴；
故答案为：
②由①知，
，
∵，，
∴；
故答案为：；
（2）结论：．理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
；
（3）延长，过点作于，如图所示：
，，
，
，，
∴，
，，
，
延长，过点作于，如图所示：
，
，
，
，
由平行线间的平行线段相等可得，
．
故答案为：．
21．（1）∵是的中线，
∴，
∴与的周长差为：
．
故答案为：3；
（2）∵是的高，
∴．
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）∵，
∴，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，
∴
．
22．（1）解：全等，理由如下：
当时，，，
∵，，
∴，
在与中，
，
，
，
，
∴，
线段与线段垂直．
（2）解：设点的运动速度，
∵的运动速度与的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，则只存在这种情况，
∴，，
∴，
解得，
∴当点的运动速度为时，能使与全等．
（3）解：，分别是，中点，，
，
以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，
第一次二者相遇时，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，
设运动时间为秒，
则，
解得：，
故经过，点与点第一次相遇．
23．（1）证明：∵为等腰直角三角形，．
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
∴，
∴的值为2；
（3）解：，理由如下：
在上截取，如图，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
24．（1）解：，，
；
故答案为：；
证明：是等边三角形，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，即；
（3）解：，理由如下：
延长到，使，连接，如图：
，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
．