江苏省响水清源高中、滨海东坎高中2025-2026学年高二上学期第一次学情检测联考数学试卷（含解析）

2025-2026学年高二上学期第一次学情检测联考数学试题
一、单选题
1．已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．若直线：与直线：平行，则＝（ ）
A． B．或3 C． D．3
5．已知直线的倾斜角的余弦值为，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
6．下列四个命题：
①经过定点的直线都可以用方程表示；
②经过定点的直线都可以用方程表示；
③不经过原点的直线都可以用方程表示；
④经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示，
其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线，圆，点，则（ ）
A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离
C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离
10．已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（ ）
A． B． C． D．
11．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．过点作曲线的切线，则切线方程为
三、填空题
12．已知两条直线和互相垂直，则a＝ .
13．若点在圆外，则实数的取值范围为 ．
14．已知圆，直线.若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为 .
四、解答题
15．（1）已知直线过点，且在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线方程；
（2）已知点，直线，点在上，且，求点的坐标．
16．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为．
(1)若的角平分线所在的直线方程为，求点坐标；
(2)在（1）的条件下，求边所在的直线方程．
17．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求切线方程．
18．已知直线．
(1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
(2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．
19．已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点．

(1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程；
(2)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B A B C D BC BCD
题号 11
答案 BD
1．B
根据两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】设两平行线间的距离为，则.
故选：B
2．A
根据题意作出图形，利用垂径定理可求得，继而求出圆的半径，写出圆的方程.
【详解】

如图，过点作于，依题意，,因,故，
从而，圆的半径为：,
故所求圆的方程为：，即.
故选：A.
3．C
根据直径求出圆心、半径即可得解.
【详解】因为为直径，所以圆心为，
半径，
所以圆的方程为.
故选：C.
4．B
根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可.
【详解】因为两直线平行，所以：
，
所以或.
故选：B
5．A
根据直线倾斜角求出直线斜率，利用斜率求.
【详解】由题意可知直线的斜率一定存在，
设直线倾斜角为α，则斜率为，
由，得，因此．
故选：A．
6．B
由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对四个命题得答案.
【详解】①，过点且垂直于轴的直线不能用方程表示，故①错误；
②，经过定点且垂直于轴的直线不能用不能用方程表示，故②错误；
③，垂直于两坐标轴的直线不能用方程表示，故③错误；
④，当两个不同的点、的连线不垂直于坐标轴时，直线方程为，
化为后包含两点连线垂直于坐标轴，
∴经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示，故④正确.
∴正确命题的个数是1个.
故选：B.
7．C
根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解.
【详解】由，得到，
所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图，
当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点，
当直线与曲线相切时，由，解得或（舍），
由图可知，实数的取值范围是，
故选：C.
8．D
先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围．
【详解】直线的方程可化为，由，可得，
所以，直线过定点，
设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
将代入方程：
可得：不成立，不在直线上，
所以，即，
因为所以或
故直线的倾斜角的取值范围是．
故选：D．
9．BC
根据点与圆的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项．
【详解】由圆，得圆心，半径．
对于A，若在圆上，则，
圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故A错误．
对于B，若在圆内，则，
圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故B正确．
对于C，若在圆外，则，
圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确．
对于D，若在直线上，则，
圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故D错误．
故选：BC.
10．BCD
根据已知得，的交点坐标为，又过定点，讨论经过点，或与平行，或与平行求参数值，即可得.
【详解】由，解得，所以，的交点坐标为，又过定点，
若直线，，不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行，
当经过点时，，解得，
当与平行时，且，解得，
当与平行时，，解得，
故a的值为，，.
故选：BCD
11．BD
由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确.
【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为，
对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方，
所以它的最大值为，所以A错误；
对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即，
由圆心到直线的距离，解得，
所以的最大值为，所以B正确；
对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，
圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误；
对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上，
则点与圆心连线的斜率为，
根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为，
所以切线方程为，即，所以D正确.
故选：BD.
12．
由两直线互相垂直斜率间的关系，求的值.
【详解】直线斜率为3，直线和互相垂直，
则直线的斜率.
故答案为：
13．
根据条件，得，即可求解.
【详解】因为点在圆外，
则，解得，
故答案为：.
14．
由题可知，圆的半径是2，圆上点到直线距离为1，该距离为半径的一半，则要使圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则圆心到l的距离为1，据此即可求解．
【详解】由题可知，圆的圆心为(0，0)，半径为2，
故要使圆上恰有3个点到l的距离为1，
则圆心到直线l的距离为1，
即．
故答案为：．
15．（1）和，（2）
（1）根据截距是否为0，即可利用待定系数法求解，
（2）根据垂直满足的斜率关系即可求解.
【详解】（1）当直线经过原点时，设直线，代入可得，
当直线截距不为0时，设，代入可得，解得
故直线方程为，即，
综上可得直线方程为和
（2）设，
由于直线的斜率为
故，
又，解得则，
故
16．(1)；
(2)．
（1）设，根据的中点在直线上，以及的平分线所在的直线方程为，联立方程组求出点的坐标；
（2）根据直线上的点到直线的距离相等，结合直线方程求解即可.
【详解】（1）设，则的中点为，所以，即，①
因为的平分线所在的直线方程为，所以，②
联立①②求解可得，
所以点的坐标为.
（2）直线方程为，即，
设直线的方程为，则，
在直线上取点，由角平分线的性质可知，到直线的距离相等，
则，即，
又，所以，整理得，
解得或，所以直线的斜率或，
当时，直线的方程为，即，与直线重合，舍去；
当时，直线的方程为，即，满足题意.
所以直线的方程为.
17．(1)；
(2)或
（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解：
（2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可.
【详解】（1）由题意设圆心，
因为，即，
解得，即，半径，
所以圆的标准方程为；
（2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为，
此时圆心到直线的距离为，符合条件；
当切线的斜率存在时，设过的切线方程为，
即，
则圆心到切线的距离，解得，
此时切线的方程为：，即，
综上所述：过的切线方程为或．
18．(1)；
(2)
（1）数形结合，结合直线图象可得解；
（2）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值．
【详解】（1）
如图所示，结合图象可知，
当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；
当时，直线斜率存在，方程为，
又直线不经过第二象限，则，解得；
综上，.
（2）已知直线，且由题意知，
令，得，得，
令，得，得，
则，
所以当时，取最小值，
此时直线的方程为，即.
19．(1)；
(2)或．
【详解】（1）根据题意，．
设，则，
由于，所以，
得
将其代入，得，
故点的轨迹方程为．
（2）设圆心到直线的距离为，
根据垂径定理可得，
当斜率不存在时，直线的方程为：，
圆心到直线的距离为3，符合题意；
当斜率存在时，设直线，
，解得．
此时直线，即；
∴直线的方程为或．