浙江省绍兴市嵊州市高级中学2025-2026学年高一上学期期中模拟数学试卷（含答案）

数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，则集合可用列举法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定形式是（ ）（其中为常数）
A． B．
C． D．
3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知a，b，c满足，且，那么下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，,，则“为奇数”是“是同一个函数”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．<< B．<<
C． D．
7．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（…为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在30℃的保鲜时间是18小时，在20℃的保鲜时间是36小时，则该食品在0℃的保鲜时间是（ ）
A．54小时 B．72小时 C．108小时 D．144小时
8．已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知正数a，b满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则（ ）
A． B．函数的图象关于直线对称
C．函数是奇函数 D．函数的图象关于点中心对称
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．存在实数m，使得为偶函数；
B．存在实数m，使得为奇函数；
C．任意实数，存在实数，使得；
D．若在区间上单调递减，的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若幂函数经过点，则______.
13．数学学习过程中，要时刻记得这些注意点：遇到集合注意空集，遇到函数注意定义域，遇到含参方程要找定点，遇到向量要注意零向量，已知曲线且过定点，若且，则的最小值为______.
14．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则称函数具有性质，已知函数具有性质，则不等式的解集为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）化简求值
(1) ;
(2)
16．（本题15分）已知全集，不等式的解集是，
，.
(1)计算；
(2)若不等式的解集为，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17．（本题15分）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，.
(1)求证：是奇函数；
(2)判断的正负，并说明理由.
18．（本题17分）已知函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)若方程在上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．
19．（本题17分）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，请完成下列问题.
(1)当，时，求函数图象的对称中心点坐标；
(2)在（1）的条件下，若，关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围；
(3)若，证明：.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 得分
答案 D D B C C C D A
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11 得分
答案 ACD AD BC
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
3 13．16 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）
解：（1）
----------------------------------------------------------3分
；-------------------------------------------------------------6分
（2）
-------------------9分
------------------------------------------------------------------------------12分
.---------------------------------------------------------------------------------------------------13分
16．（本题15分）
解：（1）由，得，-------------3分
而，
所以或.----------------------------------------6分
（2）由不等式的解集是，
得是方程的二根，且，-----------------------------------9分
则，解得，不等式为，-------------------------------------------------------------------------------------------------11分
即，解得，
即，--------------------------------------------------------------------------12分
由，得，，---------------------------------------13分
由“”是“”的充分不必要条件，得，则或，解得，
所以实数的取值范围是.-----------------------------------------------------------------15分
17．（本题15分）
解：（1）因为函数的定义域为，
令，得，即，---------------------------------3分
令，可得，即，
所以在上为奇函数.-------------------------------------------------------------6分
（2），理由如下：------------------------------------------------7分
因为在上为奇函数，
则，-------------11分
当时，，即，
所以.----------------------------------------------------15分
18．（本题17分）
解：（1）根据题意，因为是奇函数，其定义域为，--1分
所以，--------3分
解得；------------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）由（1）的结论，，
函数在上单调递减，证明如下：------------------------------------------6分
任取，
所以，-------8分
由，可得，
所以，
所以，即，
所以在上单调递减．----------------------------------------------------------10分
（3）方程等价于，-------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分
因为方程在上恰有两个不相等的实数根，
且在上单调递减，
所以在上恰有两个不相等的实数根，----------- ---------14分
令，则方程转化为在上恰有两个不相等的实数根，
由二次函数的图象与性质可得，解得，------------------16分
所以的取值范围是．----------------------------------------------------17分
19．（本题17分）
解：（1）设的对称中心点坐标为，则为奇函数，
，即，-------------2分
，
，
，
即，--------------------------------------------------------------4分
，，对称中心点坐标为.------------------------5分
（2）由题意得，则，令，，--------6分
则原方程可化为，即，
因为关于的方程有三个不同的实数解，
所以方程有两个异根，且，
------------------------------------------------------------------------------------------------------------8分
令，
当时，，即，解得，----10分
当时，，即，解得，
综上所述：.-----------------------------------------------------------------------------12分
（3），
不妨设，--------------------------------------------------------------------------------------------------14分
，，----------------------------------------16分
.-----------------------------------------17分