江西省赣州市于都县第二中学2025-2026学年高二上学期第二次周练数学试卷（图片版，含答案）

于都二中 高二上学期第二次周练数学试卷
一、单选题
1 ．已知直线2x - 2y - 6 = 0 和直线x - y -1 = 0 平行，则这两条平行线之间的距离为 ( )
A ． B ． ·、i2 C． 2·、 D ． 4 ·、
2 ．圆x2 + y2 + 4x - 6y + 5 = 0 的圆心坐标为 ( )
A ． (|(4, - ), B ． (-2, 3) C． (|(-4, ), D ． (2, -3)
3 ．已知点 A(1, 1) ， B (5, 3) ，则以线段 AB 为直径的圆的方程为 ( )
A ． (x - 2)2 + (y - 3)2 = 5 B ．(x - 2)2 + (y - 3)2 = 1
C． (x - 3)2 + (y - 2)2 = 5 D ． (x - 3)2 + (y - 2)2 = 1
4. 已知圆 C : x2 + y2 - 8y +15 = 0 ，直线l : x + y - 5 = 0 ，则直线 l 与圆 C 的位置关系为 ( )
A ．相交 B ．相离 C．相切 D ．相交或相切
5. 圆 C : (x +1)2 + (y- 2)2 = 4 关于直线 x = 1 对称的圆的标准方程为 ( )
A. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4 B. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 4
C. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 4 D. (x + 3)2 + (y + 2)2 = 4
6 ．“ a ∈(-∞, -3)U(2, + ∞)”是“点(-1, -2) 在圆x2 +y2 -ax-2y +a2 -15 = 0外部”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
7 ．已知直线l ：(m + 2)x +(m -1)y + m -1 = 0 ，若直线l 与连接 A(1, -2) ，B (2, 1) 两点的线段总有公共点， 则l 的倾斜角范围为 ( )
A ． [- , ] B ． [ , π ) C． [ , ] D ．「|L0, U [ , π )
8 ．已知θ ∈ (0, π ) ，直线l1 : x cos θ - y +1 = 0 ， l2 : (2 cosθ+ 3) x + 2y - 2 = 0 ，若l1 丄 l2 ，则 θ = ( )
π π 2π 3π
A ． B ． C． D ．
6 3 3 4
二、多选题
9 ．已知x2 + y2 - 4x + 6 y +k = 0表示圆，则下列结论正确的是 ( )
A ．圆心坐标为(-2, 3)
B ．当k = 0 时，半径r = ·
C．圆心到直线x + y-1 = 0 的距离为、
D ．当k = 4 时，圆面积为16π
10. 已知三条直线l1 , l2 , l3 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ，倾斜角分别为 α , β, Y ，且 k1 < k2 < k3 ，则下列选项可能正 确的是 ( )
A. Y < β < α B. α < β < Y
C. β < Y < α D. Y < α < β
11 ．古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262 - 前190年）发现：平面内到两个定点A, B 的距离之 比为定值λ ( λ ≠ 1 ）的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称
阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(-2, 0) ， B (4, 0) ，平面内的动点P 满足： PB (PA) = 2 ，则下列
关于动点P 的结论正确的是 ( )
A ．点P 的轨迹方程为(x - 6)2 + y2 = 16
B ．当P, A, B 三点不共线时， △PAB 面积的最大值是12
C．当 A, B, P 三点不共线时，若点P 的轨迹与线段 AB 交于M ，则上APM = 上BPM
D ．若点Q(5, -1) ，则2PB + PQ 的最小值为7
三、填空题
12 ．直线 l1 的倾斜角是直线l : y = - ·、i3x +1 的倾斜角的 ，则 l1 的斜率为______.
13 ．已知直线l ： x - 2y + 3 = 0 平分圆C ： x2 + y2 - ay - 3 = 0 的周长，则实数a = .
(
2
2
x
+
y
)14 ．著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．” 事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知0 < x < 2, 0 < y < 1 ，则
+ ·x2 + (1 - y)2 + ·、(2 - x)2 + y2 + ·(2 - x)2 + (1 - y)2 的最小值为 ．
四、解答题
15 ．在平面直角坐标系xOy 中，存在四点A(0, 1), B (7, 0), C (1, 0), D (1, 3)．
(1)求过三点A, B, C 的圆M 的方程，并判断点D 与圆M 的位置关系；
(2)若过点D 的直线l 被圆M截得的弦长为 8 ，求直线l 的方程．
16 ．已知△ABC 的三个顶点的坐标为A(2, 3) 、B (1, -2) 、 C (-8, 1) ．
(1)求AB 边的垂直平分线所在直线的截距式方程；
(2)求 上BAC 的平分线所在直线的一般式方程；
17 ．过原点 O 的直线 l 与圆C : (x -1)2 + y 2 = 4 交于 A ，B 两点，且点P(-3, 2) ．
(1)过点 P 作圆 C 的切线 m ，求切线 m 的方程；
(2)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程．
18 ．如图，在四棱锥P - ABCD 中，平面PAB 丄平面 ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形， AD / /BC ， 上 ABC = 90。，且PA = AD = 2 ， AB = BC = 1 ， PB = ·、 ， E 为PD 的中点．
(1)证明： CE / / 平面PAB ；
(2)求三棱锥P - ACE 的体积；
(3)求二面角E - AC - D 的余弦值．
19 ．已知圆C 过点E(1, 4) 和点F (3, 2) ，且圆心在直线4x - 3y = 0 上．
(1)求圆C 的方程；
(2)已知直线l1 与圆C 交于点 B ，D ，求 △CBD 的面积的取值范围；
(3)若直线l2 过点A(1, 0) ，且与圆C 相交于 P ，Q 两点，线段 PQ 的中点为M , l2 与l3 ： x + 2y + 2 = 0 的交点 为N ，求证： AM . AN为定值．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B C A A B D B BC BCD ABC
12. 13. 3 14. 2·、i5
15 ．(1) x2 + y2 - 8x - 8y + 7 = 0 ，D 在圆 M 内；(2)4x + 3y -13 = 0 或x = 1 .
【详解】（1）设圆 M 方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ，
(
把
A
，
B
，
C
三点坐标代入可得：
{
49
+
7
D
+
F
=
0,
解得
D
= -
8
，
E
=
-
8
，
F
=
7
，
)〔1+ E + F = 0,
l1+ D + F = 0,
所以圆 M 方程是x2 + y2 -8x -8y + 7 = 0,
把 D 点坐标代入可得： 1+ 9 - 8 - 24 + 7 < 0 ，故 D 在圆 M 内；
（2） 由（1）可知圆 M： (x - 4)2 + (y - 4)2 = 25 ，则圆心M(4, 4) ，半径r = 5 ， 由题意可知圆心到直线 l 的距离是 ·52 - 42 = 3，
当直线 l 斜率存在时，设直线 l 方程为： y = k (x -1) + 3 → kx -y + 3 -k = 0 ，
所以由点到直线的距离公式得 3k -1 (
1
+
k
2
) = 3 ，解得k = - ，故直线 l 的方程为4x + 3y-13 = 0 ；
当直线 l 斜率不存在时，则直线 l 方程为： x = 1 ，此时圆心到直线 l 的距离是 3 ，符合题意. 综上所述，直线 l 的方程为4x + 3y-13 = 0 或x = 1 .
x + y = 1
16 ．(1) 4 4 ；(2) x - y +1 = 0
5
【详解】（1）易知AB 的中点为M(|( , ), ，」kAB = 5 ， :AB 边的垂直平分线的斜率为- ，
x + y = 1
所以 AB 边的垂直平分线所在直线的一般式方程为： x + 5y - 4 = 0 ，则截距式方程为 4 4 ．
5
（2）因为 A (-)-B-→ = (-1, -5) ， A (-)- = (-10, -2)，
A (-)-B-→ ( -Y26 -5S26) A (-)- ( -5·、 - ·、i26 ) A (-)-B-→ A (-)- ( -3Y26 -3S26 )
: A (-)-B-→ = |( 26 , 26 , ， A (-)- = |( 26 , 26 , ， : A (-)-B-→ + A (-)- = (| 13 , 13 , ，
( -3·、 -3·、)
即 上BAC 的平分线所在直线的一个方向向量为|( 13 , 13 , ， 故 上BAC 的平分线所在直线的斜率为1，
所以 上BAC 的平分线所在直线的一般式方程： x - y +1 = 0 ．
(
2
1
+
y
=
4
)17 ．(1) y = 2 或4x + 3y + 6 = 0 ；(2)(|(x - ),
【详解】（1） 由题知圆心C(1, 0) ，半径r = 2 ，
当直线斜率不存在时，直线方程为x = -3 ，
此时圆心到直线的距离-3 -1 = 4 > 2 ，直线与圆相离，不符合题意；
当直线斜率存在时，设切线方程为y - 2 = k (x + 3) ，即kx -y + 3k + 2 = 0 ，
圆心到直线的距离d = k- 0 + 3k + 2 ·、 = r =2 ，即d = 4k + 2 ·、 = 2 ,
整理得12k2 +16k = 0 ，解得k = 0 或k = - ，所以切线m 的方程为y = 2 或4x + 3y + 6 = 0 ．
（2）设M (x, y) ，圆心C(1, 0) ，因为 M 弦 AB 的中点，所以CM 丄 AB ，
又直线 l 过原点 O ，所以CM 丄 OM ， C (-)-M- = (x -1, y) , O (-)-M--→ =( x, y) ，
C (-)-M- . O (-)-M--→ = (x - 1,y ). (x ,y )= x (x - 1)+ y 2 = 0 ，整理得(|(x - ), 2 + y 2 = ，
所以 M 的轨迹方程为(|(x - ), 2 + y 2 = ．
18 ．(1)证明见解析；(2) ；(3)
【详解】（1）取PA 中点M ，连接EM ， BM
E 为PD 的中点，M 为PA 中点，所以EM Ⅱ AD ，且EM = AD ，
又 AD ∥BC ， BC = 1 ， AD = 2 ， BC = AD ，所以有EM∥BC ，且EM = BC ， 所以四边形BCEM 为平行四边形，
则 CE ∥ BM ，又BM 平面PAB ， CE 丈 平面PAB ，所以CE //平面PAB ．
（2）底面 ABCD 是直角梯形， BC∥AD ， AD 平面PAD ，BC 丈 平面PAD ， 所以BC //平面PAD ，则点C 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离， 所以三棱锥P - ACE 的体积VP-ACE = VC-PAE = VB-PAE = VE-PAB ，
又E 为PD 的中点，则点E 到平面PAB 的距离等于点D 到平面PAB 的距离的一半，
(
E
PAB
2
D
PAB
)所以V - = 1 V - ，
又PA = AD = 2 ， AB = BC = 1 ， PB = · , 所以PA2 + AB2 = PB2 ，故 AB 丄 AP ，
又 上 ABC = 90。， BC//AD ，所以 AB 丄 AD ，
平面PAB 丄 平面 ABCD ，且平面PAB ∩平面 ABCD = AB ， 又 AD 平面 ABCD ，所以 AD 丄 平面PAB ，
故VE-PAB = VD-PAB = × × S△PAB × AD = × × × PA× AB × AD = × × × 2 × 1 × 2 = .
（3）因为平面PAB 丄 平面 ABCD ，且其交线为 AB ，
又 AP 平面PAB ， AP 丄 AB ，所以AP 丄 平面 ABCD ， 取 AD 的中点F ，连接EF ，
在△PAD 中， E ，F 分别为PD ， AD 的中点，
所以 AP∥EF ， EF = AP = 1 则EF 丄 平面 ABCD ， 过F 作FN 丄 AC 于N ，连接EN ，则有EN 丄 AC ， 所以上ENF 为二面角E - AC - D 的平面角，
在直角梯形 ABCD 中， AB = BC = 1 ， 上 ABC = 90。，所以上BAC = 45。，所以上FAC = 45。， 又 AF = AD = 1 ，所以FN = ，
tan上ENF = EF = 1 =
在Rt△EFN 中， FN 2 ，所以cos上ENF = 3 ，
2
即二面角E - AC - D 的余弦值为 ．
19.(1) (x - 3)2 + (y - 4)2 = 4 ；(2)(0, 2] ；(3)证明见解析
【详解】（1）设圆心C(a, b) ，由圆心在直线4x - 3y = 0 上及点E(1, 4) 和点F (3, 2) 都在圆C 上，
(
〔
4
a
-
3
b
=
0
〔
4
a
-
3
b
=
0
)得{l(a - 1)2 + (b - 4)2 = (a - 3)2 + (b - 2)2 ，即{la -b = -1 ，
(
〔
a
=
3
)解得{lb = 4 ，即C(3, 4) ，圆C 的半径r =| CE |= 2 ，所以圆C 的方程为(x - 3)2 + (y - 4)2 = 4 ．
（2）设圆心C 到直线l1 的距离为 d ，则(|( BD,) 2 + d 2 = r 2 → |BD |2 = 4 (4-d 2 ) ， 因为直线l1 与圆C 交于两点，所以0 所以S△CBD = BD × d = × · × d = ·、 = ·- (d 2 - 2)2 + 4 ，
由于0 < d < 2 ，则d2 ∈ (0, 4) ，因此S△CBD ∈ (0, 2]， 所以△CBD 的面积的取值范围为(0, 2] ．
（3）当l2 斜率不存在时， l2 于圆 C 相切，不合题意； 如图，直线l2 的斜率必定存在，且不为 0，
设其方程为y = k(x -1)(k ≠ 0) ，即kx - y - k = 0 ，
因为M 为 PQ 的中点，所以直线 CM 与l2 垂直，则直线 CM 的方程为y - 4 = - (x - 3) ，
因此
AM . AN = · . · = . ··i1+ k2 . = 6 ， 所以| AM | . | AN | 为定值．